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文档简介

2 1直线与方程2 1 5平面上两点间的距离 平面解析几何初步 在一条直线型的河流l的同侧有两个村庄a b 现在要在河流旁边共建造一水厂c向两个村庄供水 要求从水厂向两个村庄铺设的管道最短 则水厂应当建在什么地方 我们知道平面上两点间的连线的长中线段的长最短 那么 应当铺设的管道最短是多少 1 p1 x1 y1 p2 x2 y2 两点间的距离公式为 特别 当直线p1p2平行于x轴时 当直线p1p2平行于y轴时 当p1 p2中有一个是原点时 则有 2 利用两点间的距离公式解决相关平面几何问题的基本步骤可归纳为 第一步 第二步 第三步 把代数运算结果 翻译 成几何关系 两点间的距离公式 两点间的距离公式可用来计算平面直角坐标系内任意两已知坐标点间的距离 公式的推导体现解析几何中常用的数学思想方法 坐标法 通过学习应当深刻理会用坐标法解决问题的基本思路 两点间的距离问题 已知四边形abcd各顶点坐标分别为a 7 0 b 2 3 c 5 6 d 4 9 判断这个四边形是哪种四边形 分析 结合四边形的有关知识 判断边的长度以及边所在直线的斜率 规律总结 根据斜率判断对边是否平行 再根据对角线的长度 边的长度来确定是哪种四边形 变式训练 1 已知点a 1 2 b 3 4 c 5 0 求证 abc是等腰三角形 用解析法解决平面几何问题 已知rt abc b为直角 ab a bc b 建立适当的坐标系 写出顶点a b c的坐标 并求证斜边ac的中点m到三个顶点的距离相等 分析 取直角边所在的直线为坐标轴建立坐标系 再写出各顶点坐标 给出证明 解析 取边ba所在的直线为x轴 边bc所在的直线为y轴 建立直角坐标系 如右图 则三个顶点的坐标分别为a a 0 b 0 0 c 0 b 规律总结 在建立坐标系时 适当的坐标系能使运算更加简便 如本例以两直角边为坐标轴建立坐标系 故在建坐标系时要有效地利用条件中的垂直 对称等关系 2 a b两个厂距一条河分别为400m和100m a b两厂之间距离500m 把小河看做一条直线 今在小河边上建一座抽水站 供a b两厂用水 要使抽水站到a b两厂铺设的水管长度之和最短 问抽水站应建在什么地方 分析 这是一个对称问题 点a关于河的对称点a 与点b的连线 交小河于点p 则pa pb pa pb 此点即为所求 证明略 解析 如右图 以小河所在直线为x轴 过点a的垂线为y轴 建立直角坐标系 变式训练 则点a 0 400 点b a 100 过点b作bc ao于点c 在 abc中 ab 500 ac 400 100 300 由勾股定理得bc 400 b 400 100 点a 0 400 关于x轴的对称点a 0 400 由两点式 得直线a b的方程为 令y 0 得x 320 即点p 320 0 故抽水站 点p 在距o点320m处 如上图 时 到a b两厂的水管长度之和最短 基础巩固 两点间距离公式的正用 1 平面上两点a 1 2 b 3
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