713基本不等式（最值定理）.doc

高中数学专题教学研习本资源由专人彭剑平整理，未经允许不得复制影印，资源仅供教师研习，欢迎批评指正说明：Level A为基本（要求熟悉掌握），Level B为高考（常考规律总结），Level C为竞赛（拓展的课外知识）注： 本资源仅提供pdf版本 交流： 博客：/ansontop 邮箱：anson_专题：基本不等式（最值定理）& 基本知识点（Level A）【1】常用不等式和重要的不等式（1），（当且仅当时取“”）（2），则（当且仅当时取“”）（3）若，则（糖水的浓度问题）【2】均值定理（基本不等式）的概念均值定理： 若，则（当且仅当时取“”）即：，（当且仅当时取“”）称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数S 注意：17字方针：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”；变形：（当且仅当时取“”）_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）下列命题中正确的是： 的最小值是； 的最大值是； 的最小值是； 的最小值是答案：（2）若，则的最小值是 答案：（3）正数满足，则的最小值为 答案：【3】最值定理（基本不等式的应用）最值定理：设，由得：（1）如积（定值），则当且仅当时有最小值；（2）如和（定值），则当且仅当时有最大值即：积定和最小，和定积最大注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等& 拓展知识点（Level B）【1】应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”（1）凑系数（乘、除变量系数）（2）凑项（加、减常数项）（3）调整分子（4）变用公式基本不等式有几个常用变形：， ，前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视（5）连用公式（6）对数变换（7）三角变换（8）常数代换（逆用条件） 已知，若，则有： ，若则有：_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）（凑系数）当 时，求函的数最大值答案：暂无（2）（凑项）已知 ，求函数的最大值答案：暂无（3）（调整分子）求函数的值域答案：暂无（4）（变用公式）求函数的最大值答案：暂无（5）（连用公式）已知，求的最小值答案：暂无（6）（对数变换）已知，且，求的最大值答案：暂无（7）（三角变换）已知，且，求的最大值答案：暂无（8）（常数代换）已知，且，求的最小值答案：暂无（9）如果正数、满足，则的取值范围是 答案：【2】最值定理推广已知，则有（1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小（2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大【3】“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：（1）平方和为定值若（为定值，），可设，其中在，上是增函数，在上是减函数在，上是增函数，在，上是减函数令，其中由，得，从而在上是减函数（2）和为定值若（为定值，），则 在上是增函数，在上是减函数当时，在，上是减函数，在，上是增函数；当时，在，上是减函数，在，上是增函数在上是减函数，在上是增函数（3）积为定值若（为定值，），则当时，在，上是减函数，在，上是增函数；当时，在，上是增函数当时，在，上是减函数，在，上是增函数；当时，在，上是减函数在，上是减函数，在，上是增函数（4）倒数和为定值若（为定值，），则成等差数列且均不为零，可设公差为，其中，则，得，当时，在，上是减函数，在，上是增函数；当时，在，上是增函数，在，上减函数当时，在，上上是减函数，在，上是增函数；当时，在，上是减函数，在，上是增函数令，其中且，从而在上是增函数，在上是减函数【4】比较大小常用方法（不等式的证明方法）（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果Step 1: 作差：对要比较大小的两个数（或式）作差Step 2: 变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和Step 3: 判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号S 技巧：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）：要证，且，只要证（3）综合分析法：由因导果，执果索因；要证，只需证，只需证（4）图像法其中比较法（作差、作商）是最基本的方法（5）平方法（6）分子（或分母）有理化（7）利用函数的单调性：（本质仍然是放缩法，与换元法、最值法紧密联系）常用的放缩技巧（数列单元有专讲）有：（8）利用基本不等式（其余的如柯西不等式）利用基本不等式法即利用最值法：如：，则恒成立，则恒成立（9）反证法：对于“至多”“至少”问题、存在性问题、否定形式的命题等，总之“正难则反”（10）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；具体运用：是构造斜率、点到直线距离、两点间距离、直线与圆的位置关系、辅助圆等（11）数学归纳法（12）寻找中间量与“”比，与“”比或放缩法（13）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：已知，可设，；已知，可设， ；已知，可设，；已知，可设，_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）（放缩法）证明：答案：证明：（2）设，比较的大小答案：当时，（时取等号）；当时，（时取等号）（3）设，试比较的大小答案：（4）比较1+与的大小答案：当或时，1+；当时，1+；当时，1+（5）已知，求证： 答案：暂无（6）已知，求证：答案：暂无（7）已知，且，求证：答案：暂无（8）若、是不全相等的正数，求证：答案：暂无（9）已知，求证：答案：暂无（10）若，求证：答案：暂无（11）已知，求证：答案：暂无【6】重要不等式（1）（1）和积不等式（当且仅当时取到“”）变形：（当时，）注意：，（当且仅当时取“”号）（2）均值不等式补充两个正数、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“调和平均几何平均算术平均平方平均”（当且仅当时取“”）（根据目标不等式左右的运算结构选用）、，（当且仅当时，取等号）（双倍延拓）S 记忆技巧：“调几算幂”（3）常见三角不等式若，则若，则& 深化知识点（Level C）【1】常用的近似计算公式（当充分小时）（1）； （2）；（3）；（4）（为弧度）；（为弧度）；（为弧度）【2】重要不等式（2）续重要不等式（1）（4）均值不等式拓展：幂平均不等式：（，当且仅当时取“”）“几何平均算术平均（为正数）”：（，当且仅当时取“”）（5）含立方的几个重要不等式（、为正数）：推证：（等式即可成立，或时取“”）（6）放缩不等式：，则S 记忆技巧：（，糖水的浓度问题） S 拓展：，则：，若，则，【3】放缩法（1）定义：指若直接证明不等式较困难，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小，而达到证明不等式成立的一种方法即证明，可构造出函数式，使，且，其中数学式，常通过将放大，或将缩小而构成（2）放缩法证明不等式的依据：不等式的传递性；等量加不等量为不等量；同分子异分母（或同分母异分子）的两个分式大小的比较等（3）放缩法的实质是非等价转化，放缩没有确定的准则和程序，放缩目的性很强，需按题意适当放缩即通过放缩将复杂的一边化简，凑出另一边的形式（4）放缩法的一些操作技巧： 添加或舍去一些项，如：； 将分子或分母放大（或缩小），； 基本不等式，如：； 利用常用结论：iii（程度大）；（程度小）；iii，则特例：，等可推知：（5）放缩法的常见题型： 一边为无限项的和或积，另一边为定值； 在证明涉及求和的不等式时，通过逐项放缩的手段，一方面放缩，另一方面使放缩之后便于求和，以达到求和目的； 恰当引入辅助函数，通过函数单调性达到放缩目的； 对涉及正整数的不等式，可以先考虑用数学归纳法进行整体放缩； 运用公式性质，函数单调性； 运用绝对值不等式； 运用二项式定理，利用三角有界性放缩，利用三角形的三边关系进行放缩； 舍弃或添加一些项进行放缩将部分项放缩，或每项放缩； 裂项利用一些熟悉的关系式放缩；（6）放缩尺度：放缩法证明不等式，需要根据不等式两端的特点及已知特点，谨慎的采取措施，进行适当的放缩，任何不适宜都会导致推证的失败，也就是运用放缩法证明不等式要把握放缩的尺度；放缩法是一种证题技巧，要想用好证题，必须有明确的目标目标可以从要证明的结论中考查，即要认真的分析结论特点，由结论的特点探究解题规律；放缩尺度：放缩到可裂项，放缩到可用公式，【4】重要不等式（3）续重要不等式（2）（7）绝对值不等式，（时，取“”）S 拓展：双向不等式：（左边当时取得等号，右边当时取得等号）（8）含绝对值不等式 复数集内的三角形不等式：其中左边在复数、对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数、对应的向量共线且同向（反向）时取等号 向量不等式：S 注意：、同向或有、反向或有；、不共线(这些和实数集中类似) 代数不等式：、同号或有；、异号或有（9）柯西不等式（代数形式）设、均为实数，则：，其中等号当且仅当时成立（向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立（三角形式）设，为任意实数，则：S 思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？（推广形式）设，则：等号成立当且仅当时成立（约定时，）推广形式变式1：若，则，等号成立条件为推广形式变式2：设，同号且不为，则，等号成立当且仅当（10）琴生不等式若函数的是上的凸函数，则对内的任意数，都有：当且仅当时等号成立S 拓展：琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数，对于定义域中任意两点有：或，则称为凸（或凹）函数（11）排序不定式一般地设有两组实数 （1） （2）满足 （3） （4）另设 （5）是实数组（2）的一个排列，记逆序积和，乱序积和，似序积和，那么 ，且等式成立当且仅当，或者（12）切比雪夫不等式：若，则证明：由题设和排序不等式，有，将上述n个不等式叠加后，两边同除，即得欲证的不等式& 高阶阅读【高阶阅读1】排序不定式的证明预备知识：引理1：（Abel变换）设（1）（2）为任意两组有序的实数组，令，那么： ，事实上： 引理2：设实数组（2）满足（4）式，实数组（5）是实数组（2）的任意一个排列，那么显然有 引理3：设实数组（2）满足（4），那么若存在使等号成立当且仅当证明：首先：，不妨设，那么由引理2，有，则由