H矩阵预条件对角占优性的改进--王佳佳

矩阵的预条件对角占优性王佳佳 指导教师: 王学忠（河西学院数学与统计学院 甘肃张掖 734000）摘 要 文7中作者研究了如何建立适当的预条件矩阵, 把一个非对角占优的矩阵转化为对角占优矩阵, 在文7的基础上，我们进一步讨论了对角占优性与参数的关系，得到了对角占优性最强时的参数取值，为应用提供了理论依据。关键词 迭代法; 矩阵; 预条件矩阵; 对角占优性中图分类号 O151.26Preconditioned Diagonally Dominant Properties of H-matrixLi Xiaomei Instructor: Wang Xuezhong(School of Mathematics and Statistics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000)Abstract In 7, Li and Wang studied how to establish appropriate preconditioned matrices for transforming a H-matrix which is non-diagonally dominant matrix into the diagonally dominant matrix. In this paper, we discuss the relation between the diagonally dominant properties and parameters based on the conclusion of 7 and obtain the parameters on best diagonally dominant properties. Keywords Iterative method; H-matrix; Preconditions matrix; Diagonally dominant properties1 引言对于给定的线性方程组, (1)其中和已知, 未知. 当用迭代法求解时迭代格式为,其中称为迭代矩阵, 称为初值1. 我们用到的经典迭代法有Jacobi迭代法1, Gauss-Seidel迭代法1, SOR()迭代法1, 它们的迭代格式分别为,而且当系数矩阵为严格对角占优矩阵时, 这三种迭代法都收敛2, 当系数矩阵的对角占优性越强时, 迭代法的收敛速度越快. 但是, 在实际问题中我们所遇到的系数矩阵不一定严格对角占优, 因此, 对原方程组进行预条件等价变形, 把非对角占优矩阵转化为对角占优矩阵便显得十分重要. 例如, 我们可以找两个非奇异矩阵和使得严格对角占优, 这样便把解的问题转化为解其同解问题, (2)和.因此, 找到好的和便成为问题的关键, 其中和称为预条件矩阵5. 对和的选取方式有很多种, 现在已有许多形式上比较简单的预条件稀疏矩阵, 具体形式可参考文献5，7. 本文在文7的基础上主要考虑与的对角占优性之间的关系，找到了比的对角占优性最强时的参数取值，为应用提供了理论依据.2 预备知识定义13 设, 若可以表示为, 其中, 则当时, 称为非奇异的矩阵, 简称矩阵.定义24 设, 令, , 则称矩阵为的比较矩阵, 记作, 即,其中, 表示以和中元素的模为元素的矩阵. 若是非奇异的矩阵, 则称为非奇异的矩阵, 简称矩阵.定义33 设, 若满足,且至少有一个使上述不等式严格成立, 则称为弱严格对角占优矩阵; 如果上述个不等式都严格成立, 则称为严格对角占优矩阵.定义43 设, 若存在正对角矩阵, 使得为行（列）严格对角占优矩阵, 则称为行（列）广义对角占优矩阵.引理14 是矩阵的充要条件是存在使, 其中.引理25 是对角元全为1的矩阵, 若, 则成立不等式.引理35 是矩阵的充要条件是存在正对角矩阵, 使得为行（列）严格对角占优矩阵.3 主要结论及证明 若是对角元全为1的矩阵, 我们考虑文7中提到的如下预条件矩阵和,其中是参数.定理1 若是对角元全为1的矩阵，假设存在一个正的向量 使得 让，那么.证明 由知， 定理2 是对角元全为1的矩阵, 假设存在一个正向量, 使得, 如果满足条件, 那么, 是矩阵, 并且是严格对角占优矩阵, 其中是常数. 证明 让, 取, 则 ，（1）当时， ,（2）当时， .因此, 是矩阵, 并且是严格对角占优矩阵. 从上面的证明我们可以看出, 定理1的结论很好, 但在具体的应用过程中, 我们很难确定和的数值, 从而给解题带来不便, 因此可考虑对和取特殊值来避免此不便. 现对和取特殊值为,可得下面的定理. 推论1 是对角元全为1的矩阵, 让和，如果, 那么, 是矩阵, 并且是严格对角占优矩阵, 其中是常数.定理3 是对角元全为1的矩阵, 让和，如果,那么是比对角占优性更强的矩阵.证明 显然，只需表明即可，（1）当时， ,（2）当时， . 参 考 文 献1刑志栋, 曹建荣. 矩阵数值分析M, 第2版. 西安: 陕西科学技术出版社, 2005.9.2张凯院, 徐仲. 数值代数M, 第2版. 北京: 科学出版社, 2006.8.3陈公宁. 矩阵理论与应用M, 第2版. 北京: 科学出版社, 2007.8.4黄廷祝, 杨传胜. 特殊矩阵分析及应用M. 北京: 科学出版社, 2007.8.5王学忠. 矩阵方程组的预条件迭代法和预条件对角占优性D