第42章几何综合型问题.doc

四十二章 几何综合型问题 7(2012贵州六盘水，7，3分)下列命题为真命题的是（ ）A平面内任意三个点确定一个圆B五边形的内角和为540C如果ab,则ac2bc2 D如果两条直线被第三条直线所截那么所截得的同位角相等分析：根据命题的定义：对一件事情做出判断的语句叫命题正确的命题叫真命题，据此即对四个选项进行分析即可回答解答：解：A、平面内任意三点确定一个圆是一个假命题，如三点在一条直线上，不能构成圆，故本选项错误；B、五边形的内角和为540，故本选项正确；C、如果则，如果c=0,结论不成立，故本选项错误；D、如果两条直线被第三条直线所截，那么所得的同位角相等没有平行线，故本选项错误；故选B点评：此题考查了命题的定义，包括真命题和假命题 13. （2012贵州省毕节市，13，3分）下列命题是假命题的是（ ）A.同弧或等弧所对的圆周角相等 B.平分弦的直径垂直于弦C.两条平行线间的距离处处相等 D.正方形的两条对角线互相垂直平分解析：分析是否为假命题，可以举出反例；也可以分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案解答：解：A、错误，同弧或等弧所对的圆周角相等或互补，是假命题；B、平分弦的直径垂直于弦是正确的，是真命题；C、两条平行线间的距离处处相等是正确的，是真命题；D、正方形的两条对角线互相垂直平分是正确的，是真命题故选A点评：主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理31. ( 2012年四川省巴中市,31,12)如图12，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tanACB=,点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且CEF=ACB.BACOx图12DEFy(1)求AC的长和点D的坐标；（2）说明AEF与DCE相似；（3）当EFC为等腰三角形时，求点E的坐标.【解析】四边形ABCO为矩形,B=900tanACB=,在RtACB中，设BC=3k,AB=4k,由勾股定理，AC=5K,AB=4k=16,k=4,AC=20,OA=BC=3k=12,点A的坐标为（12，0），而点D与点A关于y轴对称,点D的坐标为（12，0）由：CDE=EAF,AEF=DCE，得出AEFDCE分类讨论：当CE=EF时，则AEFDCE，AE=CD，即AO+OE=CDBACOx27题答案图DEFyG设E(x,0),有12+x=20,x=8此时，点E的坐标为（8.0）当EF=FC时，FCE=FEC=ACB,tanFCG =tanACB=,作FGCE于G,在RtFCG中，设CE=6a,则CG=3aFG=4a,于是CF=5a,AEFDCECE2=CFAC,即36a2=5a20,a=CE=6=.在RtCEO中，OE=E（,0）当CE=CF时，E与D重合与题目矛盾。【答案】AC=20,D(12.0) 由：CDE=EAF,AEF=DCE，得出AEFDCE E（8.0）或E（,0）【点评】本题难度比较大，综合考查了解直角三角形，勾股定理、相似三角形的条件、矩形又一次展现了数形结合思想的必要性。25(本题满分12分)如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE已知tanCBE，A(3，0)，D(1，0)，E(0，3)(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；(2)求证：CB是ABE外接圆的切线；(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(4)设AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0t3)时，AOE与ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围图甲AEDCByxO图乙(备用图)AEDCByxO21世纪教育网【解析】 (1)解：由题意，设抛物线解析式为ya(x3)(x1)将E(0，3)代入上式，解得：a1yx22x3则点B(1，4)2分(2)如图6，证明：过点B作BMy于点M，则M(0，4)在RtAOE中，OAOE3， 图6AEDCByxOP3123P2M1245，AE3在RtEMB中，EMOMOE1BM，MEBMBE45，BEBEA1801MEB90AB是ABE外接圆的直径3分在RtABE中，tanBAEtanCBE，BAECBE在RtABE中，BAE390，CBE390CBA90，即CBABCB是ABE外接圆的切线5分(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，)8分(4)解：设直线AB的解析式为ykxb将A(3，0)，B(1，4)代入，得解得y2x6过点E作射线EFx轴交AB于点F，当y3时，得x，F(，3)9分情况一：如图7，当0t时，设AOE平移到DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G则ONADt，过点H作LKx轴于点K，交EF于点L由AHDFHM，得即解得HK2tS阴SMNDSGNASHAD33(3t)2t2tt23t11分图7AEDCByxOFMLHGKND图8AEDCByxOFPQVIR情况二：如图8，当t3时，设AOE平移到PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V由IQAIPF，得即解得IQ2(3t)S阴SIQASVQA(3t)2(3t)(3t)2(3t)2t23t综上所述：s12分【答案】(1) yx22x3， B(1，4)；(2) 证明：如图，过点B作BMy于点M，则M(0，4)在RtAOE中，OAOE3， 图6AEDCByxOP3123P2M1245，AE3在RtEMB中，EMOMOE1BM，MEBMBE45，BEBEA1801MEB90AB是ABE外接圆的直径3分在RtABE中，tanBAEtanCBE，BAECBE在RtABE中，BAE390，CBE390CBA90，即CBABCB是ABE外接圆的切线(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，)(4) s【点评】本题以平面直角坐标系为背景，综合考察了二次函数、直线与圆的位置关系、锐角三角函数、三角形相似、勾股定理、待定系数法、分类讨论等知识，而且是中考的压轴题。知识点丰富全面，考查了学生综合运用知识、分类讨论思想来解决问题的能力。第1小题常规题，利用待定系数法求二次函数的解析式，难度较低；第2小题是利用勾股定理、锐角三角函数、90的圆周角所对的弦是直径、等量代换等证明圆的切线，综合性较强，难度中等；第3小题，考察了分类讨论思想，在坐标轴上找点，构造寻找相似三角形，难度中等；第4小题，利用分类讨论思想、二次函数、和差法计算阴影部分面积，是压轴题的最后一题，将中下层面的学生拒之题外，难度较大.23.（2012河南，23，11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点A在轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作轴的垂线交直线AB与点C，作PDAB于点DBCDXOPAY（1）求及的值（2）设点P的横坐标为 用含的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值； 连接PB，线段PC把PBD分成两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为9:10？若存在，直接写出值；若不存在，说明理由.23.解析：（1）根据题意知，点A纵坐标为0，求出横坐标，点B纵坐标为3，也可求出横坐标，将A、B两点坐标代人求出，设直线与轴交于点，则，轴，.能求ACP的正弦；（2）在RtPCD中，用m表示出PC，结合上面求出的值，表示出PD的长；分别过点D,B作DFPC，BGPC，垂足分别为F，G，利用PCD与PCB公共边PC，分别用m表示出它们的高DF，BG，在RtPDF中，又当时.解得当时，解得解：（1）由，得到 由，得到经过两点，设直线与轴交于点，则轴，.（2）由（1）可知抛物线的解析式为在RtPCD中， 当时，有最大值存在满足条件的值，点评：本题是一道函数与几何问题的综合题，先根据一次函数与抛物线的交点坐标求出函数的解析式，然后利用图象上面点的坐标来表示图形中线段的长，图形的面积等问题，再建立方程，或根据二次函数的性质求最值.27(2012江苏苏州，27，8分)如图，已知半径为2的O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2x4）（1）当x=时，求弦PA、PB的长度；（2）当x为何值时，PDCD的值最大？最大值是多少？分析：（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形PCA与三角形PAB相似，由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在直角三角形PAB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长；（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PCEC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PCPD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值解答：解：（1）O与直线l相切于点A，且AB为O的直径，ABl，又PCl，ABPC，CPA=PAB，AB是O的直径，APB=90，又PCl，PCA=APB=90，PCAAPB，=，即PA2=PCAB，PC=，AB=4，PA=，RtAPB中，AB=4，PA=，由勾股定理得：PB=；（2）过O作OEPD，垂足为E，PD是O的弦，OEPD，PE=ED，又CEO=ECA=OAC=90，四边形OACE为矩形，CE=OA=2，又PC=x，PE=ED=PCCE=x2，CD=PCPD=x2（x2）=4x，PDCD=2（x2）（4x）=2x2+12x16=2（x3）2+2，2x4，当x=3时，PDCD的值最大，最大值是2点评：此题考查了切线的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键（2012哈尔滨，题号28分值 10） 28(本题10分) 已知：在ABC中，ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MNAC于点N，PQAB于点Q，A0=MN (1)如图l，求证：PC=AN； (2)如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，DKE=ABC，EFPM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长【解析】本题是对三角形全等、相似、勾股定理、三角函数的综合考查.（1）先证明AQPMNA，得AN=PQ，PA=AM，再利用等角的余角相等证ABP=CBP，结合角平分线性质说明PQ=PC，从而PQ=AN得证；（2）NP=2，PC=3，结合（1）中结论易知AN=3，AP=AM=5，由勾股定理可计算MN=AQ=5通过PNMPBC可得BC=6，则BP可求；设CK=2m,CF=3m,通过PNEPKC， NE、EM可用m表示，由sinPBC= sinEMH=，可将EH、FH用m表示；作ER垂直BF于R，有tanBPC=tanEFR=2可求RF值，在RTREP中勾股定理计算EF，可求m值，进而CK、BK可计算；计算tanPKC= tanBDK=1，tanABC=，作KG垂直BA于G，设KG=4n,则BG=3n,BK=5n=3,n值可得解，BD=7n，DQ=AB-BD-AQ可解.【答案】证明：（1）MAAM，MNAP，BAM=ANM=90，PAQ+MAN=MAN+AMN=90，PAQ=AMN. PQA=ANM=90，AQ=MN，APQMNA，AN=PQ，AM=AP，AMN=APN，又因为APM=BPC，BPC+PBC=90，AMB+ABM=90。ABM=PBC，又PQAB，PCBC，PQ=PC，AN=PC；（2）NP=2，PC=5，由（1）知PA=NC=5，AC=8，AM=AP=5，AQ=MN=4.设CK=2m,CF=3m.MNBF，PNMPBC，PNEPKC，BC=6，NE=，BF=6+3m,ME=4-,BP=3,sinPBC= sinEMH=,EFPM，FH=BF sinPBC=（6+3m），EH=EM sinEMH=（4-）.作ER垂直BF于R，则ER=NC=5.RFE+REF=RFE+PBC=90，REF=PBC，tanBPC=tanEFR=2，RF=，EF=，m=,CK=3，BK=3.PKC+DKE=ABC+BDK，DKE=ABC，BDK=PKC.tanPKC=1，tanBDK=1，作KGBA于G，tanBDK=1，tanABC=，设KG=4n,则BG=3n,GD=4n,BK=5n=3, n=，BD=7n=.AB=10，AQ=4，BQ=6，DQ=BQ-BD=.【点评】本题第二问的难点在于如何巧妙添加辅助线、如何反复利用相似、同角（等角）的三角函数表示其他相关线段并列方程求解. 由MNBF推到三角形相似、结合CK：CF=2:3设定参数表示其他线段是本题的突破口，同角（等角）的三角函数值相等、勾股定理是解答本题的重要工具. 解答此类题目的宗旨是根据已知条件表示能表示的所有线段，寻找各线段之间的关系，建立起联系，逐步推进达到求解的目的.23（2012四川达州，23，12分）（12分）如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（-2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE. （1）填空：点D的坐标为（ ），点E的坐标为（ ）.（2）若抛物线经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式.（3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在轴上时，正方形和抛物线均停止运动. 在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为，求关于平移时间（秒）的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围.运动停止时，求抛物线的顶点坐标.解析：对于（1），可知OC=1，过D作DF垂直y轴，则OBCFCD，则FC=OB=2，DF=OC=1，故点D坐标为（-1，3），同理可得E点坐标为（-3，2）；对于（2），可用待定系数法，求出抛物线的解析式；对于（3），可考虑当点D、B、E运动到y轴上时是三种情况，在这三个时间段内分别讨论，能做到不混淆、不重、不漏；求抛物线的顶点坐标，可以先求出点E平移到y轴后的坐标，从而可确定抛物线是如何平移，即可求出抛物线平移后的顶点坐标。答案：（1）D（-1，3）、E（-3，2）（2分）（2）抛物线经过（0，2）、（-1，3）、（-3，2），则.（3分）解得 .（4分）（3）当点D运动到y轴上时，t=.当0t时，如右图设DC交y轴于点FtanBCO=2,又BCO=FCCtanFCC=2, 即=2CC=t,FC=2t.SCCF=CCFC=tt=5 t2（5分）当点B运动到点C时，t=1.当t1时，如右图设DE交y轴于点G，过G作GHBC于H.在RtBOC中，BC=GH=,CH=GH=CC=t,HC=t-,GD=t-S梯形CCDG=(t-+t) =5t-（7分）当点E运动到y轴上时，t=. 当1t时，如右图所示设DE、EB分别交y轴于点M、NCC=t，BC=,CB=t-,BN=2CB=t-BE=,EN=BE-BN=-tEM=EN=(-t)SMNE=(-t)(-t)=5t2-15t+S五边形BCDMN=S正方形BCDE-SMNE=(5t2-15t+)=-5t2+15t-综上所述，S与x的函数关系式为：当0t时, S=5当t1时，S=5t当1t时，S=-5t2+15t.（9分）当点E运动到点E时，运动停止.如下图所示CBE=BOC=90，BCO=BCEBOCEBCOB=2，BE=BC=CE=OE=OC+CE=1+=E（0，）.（10分）由点E（-3，2）运动到点E（0，）,可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位.=原抛物线顶点坐标为（，）（11分）运动停止时，抛物线的顶点坐标为（，）（12分）点评：本题以直角坐标系内的正方形为基本图形，设计出正方形沿着某条直线平移的运动型问题，考查了三角形全等、三角形相似的判定及其性质，图形的平移及其性质等知识点，考察了待定系数法、数形结合方法，分类思想方法，具体有较强的综合性和一定的区分度。28(2012江苏苏州，28，12分)如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0x2.5（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；（2）记DGP的面积为S1，CDG的面积为S2试说明S1S2是常数；（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长分析：（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由GCDAPG，利用对应边成比例可解出x的值（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可（3）延长PD交AC于点Q，然后判断DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在RtDGP中，解直角三角形可得出PD的长度解答：解：（1）CGAP，GCDAPG，=，GF=4，CD=DA=1，AF=x，GD=3x，AG=4x，=，即y=，y关于x的函数关系式为y=，当y=3时，=3，解得x=2.5，经检验的x=2.5是分式方程的根故x的值为2.5；（2）S1=GPGD=（3x）=，S2=GDCD=（3x）1=，S1S2=即为常数；（3）延长PD交AC于点Q正方形ABCD中，AC为对角线，CAD=45，PQAC，ADQ=45，GDP=ADQ=45DGP是等腰直角三角形，则GD=GP，3x=，化简得：x25x+5=0解得：x=，0x2.5，x=，在RtDGP中，PD=（3x）=点评：此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识，解答本题的关键是用移动的时间表示出有关线段的长度，然后运用所学知识进行求解23（2012深圳市 23 ，19分）如图9，平在面直角从标系中，直线的位置随的不同取值而变化。（1）已知M的圆心坐标为（4，2），半径为2 当 时，直线经过圆心M；当 时，直线与 M相切；（2）若把M换成矩形，如图9，其三个顶点的坐标分别为：。设直线扫过矩形的面积为，当由小到大变化时，请求出与的函数关系式。图9图9图9-3【解析】：（1）若直线经过圆心，则点M在直线上，将M（4，2）代入直线解析式中，即可求出的值；（2）当直线与M相切时，构造直角三角形，得用相似或解直角三角形的方法，可求的值，注意分类。（3）直线在运动中，扫过知形之前，扫过的面积为0，直线扫过矩形时，扫过的图形分别为三角形，直角梯形，五边形、矩形，故可分5种情况，求出与的函数关系式，是典型的分段函数。【解答】：（1） ； 如图93，易求，则，又则，由于，则，设则，有，, 故，代入，求得，类似可求（2）如图94 当时，直线不扫过知形，此时图9-4 时，直线扫过矩形的面积为三角形的面积，由于直线与轴的交点为意，故 当时，直线扫过矩形的面积为直角梯形的面积，此时与DC交点为 当时，直线扫地矩形的面积为五边形，此时直线与DC的交点为则 当时，直线扫过矩形的面积即为矩形的面积，故综上，【点评】：本题主要考查分段函数和分类计论思想。分类时要做到不重不漏，各种情况要仔细分析，计算量大。各种情况根据图形的特点，用面积公式求解。23(2012广东汕头，23，12分)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8把BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点G；E、F分别是CD和BD上的点，线段EF交AD于点H，把FDE沿EF折叠，使点D落在D处，点D恰好与点A重合（1）求证：ABGCDG；（2）求tanABG的值；（3）求EF的长分析：（1）根据翻折变换的性质可知C=BAG=90，CD=AB=CD，AGB=DGC，故可得出结论；（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8x，在RtABG中利用勾股定理即可求出AG的长，进而得出tanABG的值；（3）由AEF是DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=AD=4，再根据tanABG即可得出EH的长，同理可得HF是ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结论解答：（1）证明：BDC由BDC翻折而成，C=BAG=90，CD=AB=CD，AGB=DGC，ABG=ADE，在：ABGCDG中，ABGCDG；（2）解：由（1）可知ABGCDG，GD=GB，AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8x，在RtABG中，AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8x）2，解得x=，tanABG=；（3）解：AEF是DEF翻折而成，EF垂直平分AD，HD=AD=4，tanABG=tanADE=，EH=HD=4=，EF垂直平分AD，ABAD，HF是ABD的中位线，HF=AB=6=3，EF=EH+HF=+3=点评：本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性质、矩形的性质及解直角三角形，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键25（2012山西，25，12分）问题情境：将一副直角三角板（RtABC和RtDEF）按图1所示的方式摆放，其中ACB=90，CA=CB，FDE=90，O是AB的中点，点D与点O重合，DFAC于点M，DEBC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解：OM=ON，证明如下：连接CO，则CO是AB边上中线，CA=CB，CO是ACB的角平分线（依据1）OMAC，ONBC，OM=ON（依据2）反思交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1： 依据2： （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程拓展延伸：（3）将图1中的RtDEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程【解析】（1）解：故答案为：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），角平分线上的点到角的两边距离相等（2）证明：CA=CB，A=B，O是AB的中点，OA=OBDFAC，DEBC，AMO=BNO=90，在OMA和ONB中，OMAONB（AAS），OM=ON （3）解：OM=ON，OMON理由如下：连接CO，则CO是AB边上的中线ACB=90，OC=AB=OB，又CA=CB，CAB=B=45，1=2=45，AOC=BOC=90，2=B，BNDE，BND=90，又B=45，3=45，3=B，DN=NBACB=90，NCM=90又BNDE，DNC=90四边形DMCN是矩形，DN=MC，MC=NB，MOCNOB（SAS），OM=ON，MOC=NOB，MOCCON=NOBCON，即MON=BOC=90，OMON【答案】（1）解：故答案为：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），角平分线上的点到角的两边距离相等（2）证明过程省略（3）解：OM=ON，OMON理由见解析【点评】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质等初数中常见的几何知识点.对考生的综合能力有一定的要求，故是选拔考生较好的能力题难度较大23（本题满分10分） （2012山东东营，23，10分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE求证：CECF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE45，请你利用（1）的结论证明：GEBEGD（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90，ABBC，E是AB上一点，且DCE45，BE4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积（第23题图1）AEBCDF（第23题图3）B CA D E （第23题图2）AEBCDG【解析】（1）利用已知条件，可证出BCEDCF（SAS），即CE=CF（2）延长AD至F，使DF=BE连接CF借助（1）的全等得出BCE=DCF，GCF=BCE+DCG=90-GCE=45，即GCF=GCE，又因为CE=CF，CG=CG，ECGFCG，EG=GF，GE=DF+GD=BE+GD（3）过C作CGAD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）再设AB=x，利用（1）、（2）的结论，在RtAED中利用勾股定理可求出x【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，BCCD，BCDF，BEDF，CBECDFCECF（2）证明： 如图2，延长AD至F，使DF=BE连接CF 由（1）知CBECDF，BCEDCFBCEECDDCFECD,即ECFBCD90，又GCE45，GCFGCE45CECF，GCEGCF，GCGC，ECGFCGGEGF,GEDFGDBEGD （3）如图3，过C作CGAD，交AD延长线于G在直角梯形ABCD中，ADBC，AB90，又CGA90，ABBC，四边形ABCD 为正方形AGBC已知DCE45，根据（1）（2）可知，EDBEDG所以10=4+DG，即DG=6.设ABx，则AEx4，ADx6,在RtAED中，即解这个方程，得：x12，或x2（舍去）AB12所以梯形ABCD的面积为S=【点评】本题是一道几何综合题，内容涉及三角形的全等、图形的旋转以及勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力本题的设计由浅入深，循序渐进，考虑到学生的个体差异AEBCDGFB CA D E GB CA D E G专项八 几何综合型问题（42）23（湖南株洲市8,23题）（本题满分8分）如图，在ABC中，C=90,BC=5米,AC=12米。M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒。运动时间为t秒。（1）、当t 为何值时，AMN=ANM ? （2）、当t 为何值时，AMN的面积最大？并求出这个最大值。【解析】(1)当两角相等可知，AM=AN，列出方程求出t的值，（2）面积的最值问题是利用二次函数的最值问题，根据题意写出三角形的面积与t的函数关系式，根据自变量的取值及二次函数的性质求出最值.【解】（1）、依题意有 1分 2分解得：t=4 秒，即为所求。 3分（2）、 解法一：如图作 4分 6分 8分21世纪教育网解法二： 4分 6分 8分【点评】求最大面积、最大利润等问题，一定要考虑到函数关系式的应用，特别是二次函数的应用。19. (2012四川省南充市，19，8分) 矩形ABCD中，AB=2AD,E为AD的中点，EFEC交AB于点F，连接FC.（1）求证：AEFDCE;（2）求tanECF的值.解析：（1）由四边形ABCD是矩形，EFEC，易得A=D=90，AFE=DEC，由有两组角对应相等的两个三角形相似，即可判定AEFDCE；（2）由AEFDCE，根据相似三角形的对应边成比例，可得，又由矩形ABCD中，AB=2AD，E为AD的中点，tanECF=，即可求得答案答案：解：（1）在矩形ABCD中，A=D=900. EFEC，FEC =900.FEA+CED=900.FEA+EAF=900.EAF=CED.AEFDCE. （2）AB=2AD，E为AD的中点, .AEFDCE. .在中，.点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义此题难度适中，在根据题意无法直接求得三角形中边的长短时，可考虑利用三角形的相似关系，通过对应边的比例相等的特点，结合题中的线段间倍数关系，推得某角的三角函数值。解题时还要注意数形结合思想的应用。24. （2012浙江省嘉兴市，24，14分）在平面直角坐标系xOy中,点P是抛物线y上的动点(点P在笫一象限内).连结OP,过点O作OP的垂线交抛物线于另一点Q.连结PQ,交y轴于点M.作PAx轴于点A,QBx轴于点B.设点P的横坐标为m.(1)如图,当m=时,求线段OP的长和tanPOM的值;在y轴上找一点C,使OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,求点C的坐标;(2)如图,连结AM、BM,分别与OP、OQ相交于点D、E。用含m的代数式表示点Q的坐标;求证:四边形ODME是矩形。【解析】(1)欲求线段OP的长,需要先求得点P的坐标,把P点的横坐标m代入,可得;由PAx轴, 得PAMO, tanPOMtanOPA.欲求点C的坐标, 需要先求得点Q的坐标.设Q(n,),由题意可得,进而得Q(,),OQ.以OQ为腰, 分别讨论当OQOC和OQCQ时,点C的坐标即可.(2)由P点的横坐标为m,利用相似三角形的性质可推得点Q(,).先利用待定系数法求得直线PQ的函数解析式,进而得点M的坐标.利用相似三角形的判定证得QBOMOA,进而证得Q0 MA. 同理可证:EM OD. 又EOD=90 .所以四边形ODME是矩形。 【答案】 (1)把m=代入, y2.P(,2), OP.PAx轴,PAMO.tanPOMtanOPA.设Q(n,),tanQOBtanPON, .,Q(,),OQ.当OQOC时,则,;当OQCQ时,则.综上所述,所求点C的坐标为: ,.(2)P(m ,),设Q(n,). APOBOQ,.,得Q(,). 设直线PO的廨析式为:y=kx+b,把P(m ,)、Q(,)代入得:解得b1, M(0,1),QBOMOA=90, ,QBOMOA.MAO=QOB, QO MA.同理可证:EM OD.又EOD=90, 四边形ODME是矩形。【点评】本题是一道几何代数综合题,主要考查了一次函数,二次函数, 勾股定理, 相似三角形的性质与判定,矩形的判定及方程思想,分类讨论,特殊到一般的数学思想等的综合应用.解题的关键:灵活应用所学,求出关键点P、Q、M点的坐标.(1)中,运用了勾股定理,平行线的性质,锐角三角函数的意义; 运用了方程思想,分类讨论的思想. (2)中相似三角形的性质与判定,矩形的判定. 26（2012湖北襄阳，26，13分）如图12，在矩形OABC中，AO10，AB8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线yax2bxc经过O，D，C三点（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由图12【解析】（1）根据折叠前后的相等线段，先在RtOEC中求出OE长，再在RtADE中运用勾股定理构建方程求AD然后将O，D，C三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c求出a，b，c即可（2）分别用含的代数式表示CQ和CP的长，再利用相似三角形产生的相似比构建含t的方程，解之即得（3）从两定点C，E形成的边CE为平行四边形的边和对角线两个角度分析求解【答案】解：（1）四边形ABCO为矩形，OABAOCB90，ABCO8，AOBC10由题意得，BDCEDCBDEC90，ECBC10，EDBD由勾股定理易得EO6AE1064设ADx，则BDDE8x，由勾股定理，得x242(8x)2解之得，x3，AD3抛物线yax2bxc过点O（0，0），c0抛物线yax2bxc过点D(3，10)，C(8，0)，解之得抛物线的解析式为：yx2x（2）DEAOEC90，OCEOEC90，DEAOCE由（1）可得AD3，AE4，DE5而CQt，EP2t，PC102t当PQCDAE90时，ADEQPC，即，解得t当QPCDAE90时，ADEPQC，即，解得t当t或时，以P，Q，C为顶点的三角形与ADE相似（3）存在M1（4，32），N1（4，38）M2（12，32），N2（4，26）M3（4，），N3（4，）【点评】本题是一道直线形坐标几何问题，综合考查轴对称，全等三角形，矩形的性质，相似三角形，勾股定理与方程，平行四边形等方面的知识重点考查学生综合运用数学知识解决综合问题的能力，以及运用方程思想，数形结合思想和分类讨论的思想解决问题的能力本题入口较宽，第（1）问就是教材习题，能保证大部分考生得分，具有公平性；第（2）问属于动态探究问题，根据相似三角形产生的相似比建立含t的方程是求解关键第（3）问情况有三种，所要求的点有六个，如何条理清晰的进行分类得出点的位置是解题先决条件这类问题通常是以两定点形成的边为突破口，把它当作边和对角线分别思23（2012四川攀枝花，23，12分）（12分）如图9，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=（1）