3. 4函数单调性与曲线的凹凸性

3. 4 函数单调性与曲线的凹凸性一 教学目的（一）知识目的（1）了解函数单调性与曲线的凹凸性的有关概念；（2）会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点；（二）能力目标（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；（3）训练学生思维的灵活性。（三）德育目标（1）激发学生的内在动机；（2）养成良好的学习习惯。二 教学的重、难点及教学设计（一） 教学重点：应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性（二） 教学难点：用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导（三） 教学设计要点：1用导数判断函数的单调性；2用导数判断函数图形的凹凸性和拐点；3单调性及凹凸性的应用；三 教学过程1、函数单调性的判定法 如果函数y=f(x)在a , b上单调增加（单调减少）, 那么它的图形是一条沿x 轴正向上升（下降）的曲线. 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）, 即y=f (x)0(y=f (x)0). 由此可见, 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系. 反过来, 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？ 定理1(函数单调性的判定法) 设函数y=f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导. (1)如果在(a, b)内f (x)0, 那么函数y=f(x)在a, b上单调增加; (2)如果在(a, b)内f (x)0, 那么函数y=f(x)在a, b上单调减少. 证明 只证(1). 在a, b上任取两点x1 , x2 (x1 x2 ), 应用拉格朗日中值定理, 得到f(x2 )-f(x1 )=f (x)(x2-x1) (x1 x0, 因此, 如果在(a, b)内导数f (x)保持正号, 即f (x)0, 那么也有f (x)0. 于是 f(x2 )-f(x1 )=f (x)(x2 -x1 )0, 即 f(x1 )0, 所以由判定法可知函数y=x-cos x 在0, 2p上的单调增加. 例2 讨论函数y=e x -x-1的单调性. （没指明在什么区间怎么办？) 解 y=e x -1. 函数y=e x -x-1的定义域为(-, +). 因为在(-, 0)内y0, 所以函数y=e x -x-1在0, +)上单调增加. 例3. 讨论函数的单调性. 解: 函数的定义域为(-, +). 函数的导数为 (x0), 函数在x=0处不可导. 当x=0时, 函数的导数不存在. 因为x0时, y0时, y0, 所以函数在0, +)上单调增加. 如果函数在定义区间上连续, 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续, 那么只要用方程f (x)=0的根及导数不存在的点来划分函数f(x)的定义区间, 就能保证f (x)在各个部分区间内保持固定的符号, 因而函数f(x)在每个部分区间上单调. 例4. 确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间. 解 这个函数的定义域为:(-, +). 函数的导数为:f (x)=6x2 -18x +12 = 6(x-1)(x-2). 导数为零的点有两个: x1 =1、x2 =2. 列表分析: (-, 11, 22, +)f (x)+-+f(x)函数f(x)在区间(-, 1和2, +)内单调增加, 在区间1, 2上单调减少. 例5. 讨论函数y=x3的单调性. 解 函数的定义域为: (-, +). 函数的导数为: y=3x2 . 除当x=0时, y=0外, 在其余各点处均有y0. 因此函数y=x 3在区间(-, 0及0, +)内都是单调增加的. 从而在整个定义域: (-, +)内是单调增加的. 在x=0处曲线有一水平切线. 一般地, 如果f (x)在某区间内的有限个点处为零, 在其余各点处均为正（或负）时, 那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 例6. 证明: 当x1时, . 证明: 令, 则 . 因为当x1时, f (x)0, 因此f(x)在1, +)上f(x)单调增加, 从而当x1时, f(x)f(1). 由于f(1)=0, 故f(x)f(1)=0, 即 , 也就是(x1). 二、曲线的凹凸与拐点 定义 （凹凸性）设f(x)在区间I上连续, 如果对I上任意两点x 1, x 2, 恒有, 那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有, 那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧). 定义 设函数y=f(x)在区间I上连续, 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的. 凹凸性的判定: 定理 设f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内具有一阶和二阶导数, 那么 (1)若在(a, b)内f (x)0, 则f(x)在a, b上的图形是凹的; (2)若在(a, b)内f (x)0, 则f(x)在a, b上的图形是凸的. 简要证明 只证(1). 设x1, x2a, b, 且x1x2, 记. 由拉格朗日中值公式, 得 , , , , 两式相加并应用拉格朗日中值公式得 , , 即, 所以f(x)在a, b上的图形是凹的. 拐点: 连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点. 确定曲线y=f(x)的凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求出在二阶导数f (x); (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点; (4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点; 注: 根据具体情况（1）（3）步有时省略. 例1. 判断曲线y=ln x 的凹凸性. 解: , . 因为在函数y=ln x的定义域(0, +)内, y0, 所以曲线y=ln x是凸的. 例2. 判断曲线y=x3的凹凸性. 解: y=3x 2, y=6x . 由y=0, 得x=0. 因为当x0时, y0时, y0, 所以曲线在0, +)内为凹的. 例3. 求曲线y=2x 3+3x 2-2x+14的拐点. 解: y=6x 2+6x-12, . 令y=0, 得. 因为当时, y0, 所以点(, )是曲线的拐点. 例4. 求曲线y=3x 4-4x 3+1的拐点及凹、凸的区间. 解: (1)函数y=3x 4-4x 3+1的定义域为(-, +); (2),; (3)解方程y=0, 得, ; (4)列表判断: (-, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +) f (x) + 0 - 0 + f(x) 1 11/27 在区间(-, 0和2/3, +)上曲线是凹的, 在区间0, 2/3上曲线是凸的. 点(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点. 例5 问曲线y=x 4是否有拐点？解 y=4x 3, y=12x 2. 当x 0时, y0, 在区间(-, +)内曲线是凹的,