36正项级数(续)

第二节 正项级数及其审敛法（续）上次课我们介绍了正项级数得比较审敛法，有两种形式比较审敛法1（基本形式） 设和是两个正项级数，且自某项起有，则（1）如果级数收敛，则级数也收敛（2）如果级数发散，则级数也发散比较审敛法2（极限形式） 设和是两个正项级数，如果极限有确定的意义，那末（1）当时，两个级数有相同的敛散性（2）当时，收敛则收敛（3）当时，发散则发散上面审敛法表示，正项级数的敛散性取决于它的通项趋于零的速度，（可以比较-级数和调和级数）当两个级数的通项趋于零时的速度相仿（同阶无穷小）时，它们具有相同的敛散性例3：判定下列级数的敛散性（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） ；解 （1），取，可知原级数发散（2），取，可知原级数收敛（3）当时，级数发散；当时，取原级数收敛，综上所述，当时，级数发散，当时，级数收敛。（4），取可知原级数收敛。（5），取，可知级数收敛。（6），所以取可知原级数收敛；由上可见，用比较审敛法判别正项级数的敛散性时，依赖于我们掌握的基本级数由于我们掌握的基本级数有限，使得在实践中难以应用比较审敛法处理各种各样的正项级数的敛散性问题为此我们再在比较审敛法的基础上介绍两个在实用上方便的、无需基本级数的审敛法比值审敛法和根值审敛法比值审敛法（达朗贝尔（DAlembert）判别法） 设是正项级数，如果极限有确定的意义，那末当时，级数收敛；当时，级数发散当时，级数可能收敛也可能发散证（1）当时，可取定一个适当小的正数，使得，由极限的定义，对此正数，存在一个正整数，当时，有，即有，从而 ， ，因为，故级数收敛，所以收敛，从而收敛当时，可以证明一般项极限不为零，于是级数发散当时，级数收敛而发散，而对其应用比值审敛法，均有例4 判定级数的敛散性解 由于；所给级数收敛例5 利用级数收敛的必要条件证明极限证 一般说来，当通项为连乘形式时，采用比值审敛法。记，构造级数，由于所作级数收敛，从而其一般项趋于零，即根值审敛法（柯西判别法）设级数为正项级数，则当时级数收敛，当时；级数发散；当时，级数可能收敛，也可能发散证当时，由极限的定义，取一个合适的正数，存在一个正整数，当时，有，即，而级数收敛，所以收敛，从而收敛后面结论自己看书例7判断级数的敛散性解一般说来，当通项为某变量的次方时，通常利用根值审敛法。，所以原级数收敛最后再补充一个收敛准则积分审敛法 设在上非负且单调递减；()，级数收敛收敛例8 讨论的敛散性解 令，当时又，故在上是正的且单调递减，故由积分审敛法可知级数收敛例9 利用适当的判别法判断下列级数的敛散性（1）；（2）；（3）；（4）（）（5）解 （1），（）所以原级数收敛（2），所以原级数发散（3），（）所以原级数收敛（4）当时，原级数为，由于发散，所以发散当时，所以原级数发散当时，（）所以原级数收敛。综上所述，当时，原级数发散，当时，原级数收敛。该问题还可以用根值审敛法判断（5）所以原级数收敛。例10 设，并且级数与都收敛，证明级数也收敛。证 由于，所以，由于与都收敛，所以收敛，所以也收