沪科版八年级下册19.2 平行四边形——三角形的中位线的综合应用

19.2 平行四边形三角形的中位线的综合应用 例1如图1，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）.（A）线段EF的长逐渐增大 （B）线段EF的长逐渐减小 （C）线段EF的长不变 （D）线段EF的长与点P的位置有关 分析：由E，F分别为AP，RP的中点，由此可联想三角形的中位线，故连接AR，由于已知条件可知EF为ARP的中位线，根据中位线定理可知EF=AR， 由于点P从点C到点D移动的移动过程中，AR始终不变，EF的长度也不变. 解：连接AR，E，F分别是PA，PR的中点，EF=AB，AR不变，线段EF的长不变.故选（C）. 点评：本题通过巧妙地连接AR，把问题转化为三角形中位线问题，借助于中位线的性质俩来解决. 二、借助中位线定理求长度例2某花木场有一块如四边形ABCD的空地(如图2)，两对角线相等，各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC= cm 分析：根据E、F分别为BA，BC的中点，可知EF为ABC的中位线，根据中位线定理可得EF=AC，同理可得HG=AC，HE=BD，FG=BD，根据两对角线相等可得EF=FG=GH=HE，由此可求到EF的长，也就求到AC的长. 解：E，F分别是BA，BC的中点，EF=AC，同理可得HG=AC， E，H分别是AB，AD的中点，EH=BD，同理可得FG=BD，AC=BD，EF=FG=GH=HE，EF+FG+GH+HE=40cm，EF=10cm，AC=2EF=20cm. 点评：根据已知条件的特点，本题是将四边形问题转化为三角形问题，通过多次利用三角形中位线的性质，确定EF的长，进而求到AC的长.三、借助中位线定理说理 例3 如图3，在ABC中，BCAC，点D在BC上，且DCAC,ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.说明EFCB理由 分析：根据E为AB的中点，要说明EF/BC，可说明EF为ABC的中位线，为此，需要证明F为AD的中点.解：CF平分ACB，DCF=ACF. 又DC=AC，CF是ACD的中线， 点F是AD的中点. 点E是AB的中点， EF/BD，即 EFBC. 点评：本题根据点E为AB的中点联想三角形的中位线，打开了证明的思路，在解决类似问题中应注意中位线的应用.构造中位线 “遇中点找中点，联想中位线”是一个解题突破口，但在一般问题中，要应用中位线的性质时，往往需要作辅助线.下面介绍几种如何构造中位线的方法，供大家参考.一、连中点，构造三角形的中位线例1如图1，D、E、F分别是等边三角形ABC的边AB、BC、AC的中点，P为BC上任意一点，DPM是等边三角形.连接FM.那么EP与FM相等吗？为什么？分析：由D、E、F是中点，想到连接中点，得到中位线DE、DF.这样就可以把EP、FM放到DPE、DMF中，进而推出它们全等使问题得以解决.解：连接DF、DE.因为D、E、F分别是等边三角形ABC的边AB、BC、AC的中点，所以DFBC，DF=BC；DEAC,DE=AC.所以四边形DECF是平行四边形.所以C=EDF=60.因为ABC、DPM是等边三角形，所以BCAC，DPDM，PDM60.所以DFDE.因为EDP60PDF，FDM60PDF，所以EDPFDM.所以DEPDFM. 所以EPFM.跟踪训练1 如图2，四边形ABCD中，AC=BD，AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、CD的中点，MN交BD于点E、交AC于点F.OE与EF相等吗？为什么？二、找中点，构造三角形的中位线例2如图3，在四边形ABCD中，ABCD，M、N分别是BC、AD边的中点，延长BA、MN交于点F，延长CD交MF于点E.请说明1与2相等.分析：因为M、分别是BC、AD的中点，若连接BD，取其中点G，再连接NG、MG,则NGAB，NGAB，MGCD，MGCD.这样把1与2通过中位线移到同一个等腰三角形M中，从而使问题得以解决.解：连接BD，取BD的中点G，连接NG、MG，则NGAB，NGAB，MGCD，MGCD.所以1GNM，2GMN.因为ABCD，所以NGMG.所以GNMGMN.所以1=2.跟踪训练2如图4，ABC的一个外角平分线AE与过点C的直线互相垂直，垂足为点E，D为BC的中点，试说明：DEAB，且DE=（AB+AC）答案 1.解：取AD的中点，连接GM、GN，得GMBD，GNAC，且GMBD，GNAC，因为ACBD，故GMGN，所以GMNGNM，又OEFGMN，OFEGNM，所以OEFOFE，所以OEOF 2.解：延长BA、CE相交于点F，由AECF，AE平分CAF，得EFEC，AFAC，又D是BC的中点，所以DE是BCF的中位线，故有DEAB，且DE=BF=（AB+AC）课堂学习检测一、填空题：1(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边_叫做三角形的中位线(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线_第三边，并且等于_2如图，ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A、B、C分别为EF、EG、GF的中点，ABC的周长为_如果ABC、EFG、ABC分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是_3ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE4，AD3，AE2，则ABC的周长为_二、解答题4已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形5已知：ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点求证：四边形DEFG是平行四边形综合、运用、诊断6已知：如图，E为ABCD中DC边的延长线上的一点，且CEDC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF求证：AB2OF7已知：如图，在ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G求证：GFGC8已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点求证：AHFBGF拓展、探究、思考9已知：如图，ABC中，D是BC边的中点，AE平分BAC，BEAE于E点，若AB5，AC7，求ED10如图在ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BDCE，M、N分别是BE、CD的中点过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗?为什么?参考答案1(1)中点的线段；(2)平行于三角形的，第三边的一半216，64()n1 3184提示：可连结BD(或AC)5略6连结BE，CE ABABE