高中数学 第二章 统计 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布课件 新人教A版必修3(1).ppt

2 2用样本估计总体 2 2 1用样本的频率分布估计总体分布 一 频率分布表 问题思考 1 我国是世界上严重缺水的国家之一 城市缺水问题较为突出 某市政府为了节约生活用水 计划在本市试行居民生活用水定额管理 即确定一个居民月用水量标准a 用水量不超过a的部分按平价收费 超出a的部分按议价收费 如果希望大部分居民的日常生活不受影响 那么标准a定为多少比较合理呢 你认为 为了较为合理地确定出这个标准 需要做哪些工作 提示a定为大部分居民的月均用水量比较合理 为了制定一个较为合理的标准a 必须先了解全市居民日常用水量的分布情况 比如月均用水量在哪个范围的居民最多 他们占全市居民的百分比情况等 2 由于城市住户较多 为了了解全市居民日常用水量的整体分布情况 应采用怎样的方法 提示采用抽样调查的方式 通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况 3 假如通过抽样调查 我们获得100位居民某年的月均用水量如下 单位 t 3 12 52 02 01 51 01 61 81 91 63 42 62 22 21 51 20 20 40 30 43 22 72 32 11 61 23 71 50 53 83 32 82 32 21 71 33 61 70 64 13 22 92 42 31 81 43 51 90 84 33 02 92 42 41 91 31 41 80 72 02 52 82 32 31 81 31 31 60 92 32 62 72 42 11 71 41 21 50 52 42 52 62 32 11 61 01 01 70 82 42 82 52 22 01 51 01 21 80 62 2上述100个数据中的最大值和最小值分别是什么 由此说明样本数据的变化范围是什么 提示最大值是4 3t 最小值是0 2t 数据的变化范围为4 1t 4 样本数据中的最大值和最小值的差称为极差 如果将上述100个数据按组距为0 5t进行分组 那么这些数据共分为多少组 各组数据的取值范围可以如何设定 提示 4 3 0 2 0 5 8 2 因此可以将数据分为9组 各组数据的取值范围可如下设定 0 0 5 0 5 1 1 1 5 4 4 5 5 对样本数据进行分组 其组数是由哪些因素确定的 提示对样本数据进行分组 组距的确定没有固定的标准 但组数太多或太少 都会影响我们了解数据的分布情况 数据分组的组数与样本容量有关 一般样本容量越大 所分组数越多 6 一般地 列出一组样本数据的频率分布表可以分哪几个步骤进行 提示第一步 求极差 第二步 决定组距与组数 第三步 确定分组点 将数据分组 第四步 列频率分布表 7 你能列出上述100个数据的频率分布表吗 提示100位居民月均用水量的频率分布表如表所示 二 频率分布直方图 问题思考 1 数据分析的基本方法有哪两种 提示 1 借助于表格 分析数据的一种方法是用紧凑的表格改变数据的排列方式 此法是通过改变数据的呈现形式 为我们提供解释数据的依据 2 借助于图形 分析数据的另一种基本方法是用图将它们画出来 此法可以达到两个目的 一是从数据中提取信息 二是利用图形传递信息 2 为了直观反映样本数据在各组中的分布情况 你能根据上述所列频率分布表画出频率分布直方图吗 提示频率分布直方图为 3 样本数据的频率分布直方图是根据频率分布表画出来的 频率分布直方图的作图步骤如何 提示第一步 作出平面直角坐标系 第二步 在横轴上均匀地标出各组分点 在纵轴上标出单位长度 第三步 以组距为宽 各组的频率与组距的比值为高 分别画出各组对应的小长方形 4 频率分布直方图中长方形的高表示什么 小长方形的面积表示什么 所有小长方形的面积和等于多少 提示频率分布直方图中长方形的高表示 小长方形的面积表示该组的频率 所有小长方形的面积和等于1 5 做一做1 容量为100的样本的频率分布直方图如图所示 试根据图形中的数据填空 1 样本数据落在范围 6 10 内的频率为 2 样本数据落在范围 10 14 内的频数为 解析 1 样本数据落在范围 6 10 内的频率为0 08 4 0 32 2 样本数据落在范围 10 14 内的频数为0 09 4 100 36 答案 1 0 32 2 36 三 频率分布折线图 总体密度曲线 问题思考 1 在频率分布直方图中 依次连接各小长方形上端的中点 就得到一条折线 这条折线称为频率分布折线图 你能在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中作出频率分布折线图吗 2 你认为频率分布折线图能大致反映样本数据的频率分布吗 提示因为折线图是取了长方形上端的中点 即每一组数据平均值对应的频率 所以能大致反映样本数据的频率分布 3 当总体中的个体数很多时 如抽样调查全国城市居民月均用水量 随着样本容量增加 作图时所分的组数增多 组距减少 你能想象出相应的频率分布折线图会发生什么变化吗 提示由于组数增多 组距减少 长方形上端中点的数量增多 且间距变小 各相邻长方形上端中点的折线缩短 折线变得近似于曲线 4 在上述背景下 相应的频率分布折线图越来越接近于一条光滑曲线 统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线 那么下图中阴影部分的面积有何实际意义 提示图中阴影部分的面积 就是总体在区间 a b 内的取值的百分比 5 对于一个总体 如果总体密度曲线客观存在 能否通过样本数据准确地画出总体密度曲线 为什么 提示不能 由于频率分布折线图是随着随机抽取的样本 样本容量和分组情况的变化而变化的 因此不能由样本的频率分布折线图得到准确的总体密度曲线 四 茎叶图 问题思考 1 茎叶图 顾名思义 茎是指中间的一列数 叶就是从茎的旁边生长出来的数 当数据是两位有效数字时 用中间的数字表示十位数 两边的数字表示个位数 已知某赛季甲 乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况原始记录如下 甲运动员得分 13 51 23 8 26 38 16 33 14 28 39 乙运动员得分 49 24 12 31 50 31 44 36 15 37 25 36 39 你能作出这两组数据的茎叶图吗 2 你能通过该图说明哪个运动员的发挥更稳定吗 提示从图中看出乙运动员的得分基本上是对称的 叶的分布是 单峰 的 并且数据更集中于峰值附近 这说明乙运动员发挥更稳定 3 用茎叶图表示数据的分布情况是一种好方法 你认为茎叶图有哪些优点 有什么缺陷 提示优点 1 保留了原始数据 没有损失样本信息 2 数据可以随时记录 添加或修改 缺陷 茎叶图便于表示两位有效数字的数据 而且茎叶图只方便记录一组或两组的数据 两组以上的数据虽然能够记录 但是没有表示两组记录那么直观 清晰 当样本数据较多时 就显得不太方便 因为每一个数据都要在图中占据一个空间 如果数据很多 枝叶就会很长 4 一般地 画出一组样本数据的茎叶图的步骤如何 提示第一步 将每个数据分为 茎 高位 和 叶 低位 两部分 第二步 将最小的茎和最大的茎之间的数按大小次序排成一列 写在左 右 侧 第三步 将各个数据的叶按次序写在茎右 左 侧 5 做一做2 某小组10名学生的英语口语测试成绩如茎叶图所示 则这10名学生的平均成绩为 解析 这10名学生的平均成绩为 79 79 74 82 84 85 89 80 91 92 83 5 答案 83 5 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 频率分布直方图中的纵轴表示频率 2 频率分布直方图中每个小长方形的面积等于相应组的频率 3 从总体中抽取一个样本 用样本的分布估计总体的分布 样本容量越小估计越准确 4 用茎叶图表示三位数时茎表示前两位数 叶表示最后一位数 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例1 为调查某校高一年级男生的身高 随机抽取40名高一男生 实测身高数据 单位 cm 如下 171163163166166168168160168165171169167169151168170168160174165168174158167156157164169180176157162161158164163163167161 1 作出频率分布表 2 画出频率分布直方图 分析找出此组数据的最大值和最小值 确定分组的组距和组数 先列出频数分布表 再由频率分布表绘制频率分布直方图 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 最低身高151cm 最高身高180cm 它们的差是180 151 29 即极差为29 确定组距为4 组数为8 频率分布表如下 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 频率分布直方图如下 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟绘制频率分布直方图的注意事项 1 计算极差 需要找出这组数的最大值和最小值 当数据很多时 可选一个数当参照 2 将一批数据分组 目的是要描述数据分布规律 要根据数据多少来确定分组数目 一般来说 数据越多 分组越多 3 在将数据分组 决定分组点时 一般使分组点比数据多一位小数 并且把第一组的起点稍微减小一点 4 列频率分布表时 可通过逐一判断各个数据落在哪个小组内 以 正 字确定各个小组内数据的个数 5 画频率分布直方图时 纵坐标表示频率与组距的比值 一定不能标成频率 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1有一个容量为50的样本 数据分组及各组的频数如下 12 5 15 5 3 15 5 18 5 8 18 5 21 5 9 21 5 24 5 11 24 5 27 5 10 27 5 30 5 5 30 5 33 5 4 1 列出样本频率分布表 2 画出频率分布直方图 3 画出数据频率分布折线图 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 频率分布表如下 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 频率分布直方图如下 3 数据频率分布折线图如下 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例2 某中学高二 2 班甲 乙两名学生自进入高中以来 每次数学考试成绩情况如下 甲 95 81 75 91 86 89 71 65 76 88 94 110 107乙 83 86 93 99 88 103 98 114 98 79 78 106 101画出两人数学成绩的茎叶图 并根据茎叶图对两人的成绩进行比较 分析题中数据均为两位数或三位数 可用十位数字或百位 十位数字为茎 个位数字为叶作茎叶图 然后根据茎叶图分析两人成绩 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 甲 乙两人数学成绩的茎叶图如图所示 从这个茎叶图上可以看出 乙同学的得分情况是大致对称的 中位数是98 甲同学的得分情况也大致对称 中位数是88 乙同学的成绩比较稳定 总体情况比甲同学好 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟绘制茎叶图的注意事项 1 绘制茎叶图关键是分清茎和叶 一般地说 当数据是两位数时 十位上的数字为 茎 个位上的数字为 叶 如果是小数 通常把整数部分作为 茎 小数部分作为 叶 解题时要根据数据的特点合理地选择茎和叶 2 应用茎叶图对两组数据进行比较时 要从数据分布的对称性 中位数 稳定性等几方面来比较 3 茎叶图只适用于样本数据较少的情况 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2某次运动会甲 乙两名射击运动员的成绩如下 甲 9 4 8 7 7 5 8 4 10 1 10 5 10 7 7 2 7 8 10 8 乙 9 1 8 7 7 1 9 8 9 7 8 5 10 1 9 2 10 1 9 1 用茎叶图表示甲 乙两人的成绩 并根据茎叶图分析甲 乙两人的成绩哪个较好 解 甲 乙两人的成绩的茎叶图如图所示 从茎叶图上可以看出 甲的成绩的中位数为9 05 乙的成绩的中位数为9 15 乙的成绩大致对称 可以看出乙的成绩比较稳定 所以乙的成绩较好 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例3 为了检测某种产品的质量 抽取了一个容量为100的样本 数据的分组情况与频数如下 10 75 10 85 3 10 85 10 95 9 10 95 11 05 13 11 05 11 15 16 11 15 11 25 26 11 25 11 35 20 11 35 11 45 7 11 45 11 55 4 11 55 11 65 2 1 列出频率分布表 2 画出频率分布直方图以及频率分布折线图 3 据上述图表 估计数据落在 10 95 11 35 范围内的可能性是百分之几 4 数据小于11 20的可能性是百分之几 分析根据画频率分布直方图的步骤先画频率分布直方图 再画折线图 最后结合直方图的特征解决 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 频率分布表如下 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 频率分布直方图及频率分布折线图如图所示 3 由上述图表可知数据落在 10 95 11 35 范围内的频率为1 0 03 0 09 0 07 0 04 0 02 0 75 即数据落在 10 95 11 35 范围内的可能性是75 探究一 探究二 探究三 思维辨析 4 数据小于11 20的可能性即数据小于11 20的频率 设为x 则 x 0 41 11 20 11 15 0 67 0 41 11 25 11 15 所以x 0 41 0 13 即x 0 54 从而估计数据小于11 20的可能性是54 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3为了了解某校高一年级学生的体能情况 抽取部分学生进行一分钟跳绳测试 将所得数据整理后 画出频率分布直方图 如图 图中从左到右各小长方形的面积之比为2 4 17 15 9 3 若已知第二小组的频数为12 则 1 第二小组的频率是多少 样本容量是多少 2 若次数在110以上 含110 为达标 则该校全体高一年级学生的达标率是多少 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 对频率分布直方图理解不正确而致误 典例 中小学生的视力状况受到社会的广泛关注 某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名 对他们的视力状况进行一次调查统计 将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图 如下图所示 从左至右五个小组的频率之比依次是5 7 12 10 6 则全市高一学生视力在 3 95 4 25 范围内的学生约有多少人 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 正解由图知 第五小组的频率为0 5 0 3 0 15 所以第一小组的频率为0 15 0 125 所以全市6万名高一学生中视力在 3 95 4 25 范围内的学生约有60000 0 125 7500 人 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练有一个容量为100的样本 其频率分布直方图如图所示 根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间 4 6 内的频数为