小学奥数36个经典（7-8）.doc

第7讲 牛吃草问题 牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难度牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率. 下面给出几例牛吃草及其相关问题 1. 草场有一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周?(这类问题由牛顿最先提出，所以又叫“牛顿问题”) 【分析与解】 27头牛吃6周相当于276=162头牛吃1周时间，吃了原有的草加上6周新长的草； 23头牛吃9周相当于239=207头牛吃1周时间，吃了原有的草加上9周新长的草；于是，多出了207-162=45头牛，多吃了9-6=3周新长的草所以453=15头牛1周可以吃1周新长出的草即相当于给出15头牛专门吃新长出的草于是27-15=12头牛6周吃完原有的草，现在有21头牛，减去15头吃长出的草，于是21-15=6头牛来吃原来的草； 所以需要1266=12(周)，于是2l头牛需吃12周评注：我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃，这样就把问题化归为一般工程问题了 一般方法： 先求出变化的草相当于多少头牛来吃：(甲牛头数时间甲-乙牛头数时间乙)(时间甲-时间乙)； 再进行如下运算：(甲牛头数-变化草相当头数)时问甲(丙牛头数-变化草相当头数)=时间丙 或者：(甲牛头数-变化草相当头数)时间甲时间丙+变化草相当头数丙所需的头数 2有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷草地上的草一样厚而且长得一样快第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周问：第三块草地可供50头牛吃几周? 【分析与解】 我们知道246=144头牛吃一周吃2个(2公顷+2公顷周长的草).3612=432头牛吃一周吃4个(2公顷+2公顷12周长的草)于是1442=72头牛吃一周吃2公顷+2公顷6周长的草4324=108头牛吃一周吃2公顷+2公顷12周长的草所以108-72=36头牛一周吃2公顷126=6周长的草即366=d头牛1周吃2公顷1周长的草 对每2公顷配6头牛专吃新长的草，则正好于是4公顷，配426=12头牛专吃新长的草，即24-12=12头牛吃6周吃完4公顷，所以1头牛吃61(42)=36周吃完2公顷 所以10公顷，需要1026=30头牛专吃新长的草，剩下50-30=20头牛来吃10公顷草，要36 (102)20=9周 于是50头牛需要9周吃10公顷的草3如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长牧民带着一群牛先在号草地上吃草，两天之后把号草地的草吃光(在这2天内其他草地的草正常生长)之后他让一半牛在号草地吃草，一半牛在号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光然后牧民把的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外号的牛放在号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？【分析与解】 一群牛，2天，吃了1块+1块2天新长的；一群牛，6天，吃了2块+2块2+6=8天新长的；即3天，吃了1块+1块8天新长的.即群牛，1天，吃了1块1天新长的. 又因为，的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外的牛放在号草地吃草，它们同时吃完.所以，=2阴影部分面积.于是，整个为块地.那么需要群牛吃新长的草，于是=现在.所以需要吃：天.所以，一开始将一群牛放到整个草地，则需吃30天. 4现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间? 【分析与解】 我们注意到：牛、马45天吃了 原有+45天新长的草 牛、马90天吃了 2原有+90天新长的草 马、羊60天吃了 原有+60天新长的草 牛、羊90天吃了 原有+90天新长的草 马 90天吃了 原有+90天新长的草 所以，由、知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合知，羊吃了90天，吃了90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草 所以，知马60天吃完原有的草，知牛90天吃完原有的草 现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草. 所需时间为l=36天. 所以，牛、羊、马一起吃，需36天 5. 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快它们的面积分别是公顷、10公顷和24公顷已知12头牛4星期吃完第一片牧场的草，21头牛9星期吃完第二片牧场的草，那么多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草? 【分析与解】 由于三片牧场的公顷数不一致，给计算带来困难，如果将其均转化为1公顷时的情形 所以表1中，3.6-0.9=2.7头牛吃4星期吃完l公顷原有的草，那么18星期吃完1公顷原有的草需要2.7(184)=0.6头牛，加上专门吃新长草的O9头牛，共需0.6+0.9=1.5头牛，18星期才能吃完1公顷牧场的草 所以需1.524=36头牛18星期才能吃完第三片牧场的草第8讲 不定方程与整数分拆 求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题 补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考思维导引详解五年级第15讲 余数问题. 解不定方程的4个步骤：判断是否有解；化简方程；求特解；求通解 本讲讲解顺序：包括1、2、3题包括4、5题包括6、7题，其中步骤中加入百鸡问题 复杂不定方程：、依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程整数分拆问题：11、12、13、14、15 1在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个? 【分析与解】 设这个两位数为，则数字和为，这个数可以表达为，有 即，亦即 注意到和都是0到9的整数，且不能为0，因此只能为1、2、3或4，相应地的取值为2、4、6、8 综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48 2设A和B都是自然数，并且满足,那么A+B等于多少? 【分析与解】 将等式两边通分，有3A+llB=17,显然有B=l，A=2时满足，此时A+B=2+1=3 3甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支? 【分析与解】设购买甲级铅笔支，乙级铅笔支 有7+3=50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法： 将系数与常数对3取模(系数7，3中，3最小)： 得=2(mod 3)，所以可以取2，此时取12；还可以取2+3=5，此时取5； 即、,对应为14、10 所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支4有纸币60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元? 【分析与解】 设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张，列方程如下： 由 (2)(1)得 注意到式左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元 5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计问：剩余部分的管子最少是多少厘米? 【分析与解】 24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度必是12的倍数，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余剩余管料长不小于2厘米 另一方面，374=2712+412+2，而3612=3，2412=2，有39+22=31即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米 因此剩余部分的管子最少是2厘米 6某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树那么其中有多少名男职工? 【分析与解】设男职工人，孩子人，则女职工3-人(注意，为何设孩子数为人，而不是设女职工为人)， 那么有=216，化简为=216，即=72 有. 但是，女职工人数为必须是自然数，所以只有时，满足那么男职工数只能为12名 7一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的? 【分析与解】设0.7米，0.8米两种木条分别，根，则0.7+0.8=3.43.6， 即7+8=34，36，37，38，39 将系数，常数对7取模，有6，l，2，3，4(mod 7)，于是最小分别取6,1,2，3，4 但是当取6时，86=48超过34，无法取值所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的 8.小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1元2角2分那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封? 【分析与解】显然，为了使3种信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最后才是平信但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分 所以，2分，10+2分应该为平信的邮费，最小取3，才是8的倍数，所以平信至少要寄4封，此时剩下的邮费为122-32=90，所以再寄4封挂号信，航空信1封即可 于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封 9.有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个? 【分析与解】 为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码1307：184，所以3克、5克的砝码应组合为4克，或4+7克重 设3克的砝码个，5克的砝码个，则 当=0时，有，无自然数解； 当=1时，有，有=2，=1，此时7克的砝码取17个，所以共需2+1+17=21个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个 当1时，7克的砝码取得较少，而3、5克的砝码却取得较多，不是最少的取砝码情形所以共需2+1+17=20个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个 105种商品的价格如表81，其中的单位是元现用60元钱恰好买了10件商品，那么有多少种不同的选购方式? 【分析与解】 设B、C、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、(10-b-c-d-e)件，则有 =60 =310，显然只能取0，1，2有=310，其中d可取0，1，2，3，4 (1)当d=0时，有=310，将系数，常数对6取模得： 4(mod 6)，于是最小取4，那么有18b=310-434=138，b不为自然数所以d=0时。不满足；(2)有=233，将系数，常数对6取模得：5(mod 6),于是最小,那么有18b=233-435=18,；(3)有=156，将系数，常数对6取模得：O(mod 6)，于是最小取0，那么有18b=156，b不为自然数，所以d=2时，不满足；(4)有=79，将系数、常数对6取模得：1(mod 6)，于是最小那么有18b=7943=36(5)当d=4时，有=2，显然不满足有=190，其中d可以取0、1、2(1)有=190，将系数、常数对6取模有：4(mod 6)，于是最小那么有18b=190-434=18,(2)当d=1时，有=113，将系数、常数对6取模有：5(mod 6)，于是最小取5，即18+215=113，显然d=1时，不满足；(3)有=36,显然有时有=70，只能取0，有=70，将系数、常数对6取模有：4(rood 6)，于是最小取4，那么有18+172=70，显然不满足最后可得到如下表的满足情况：共有4种不同的选购方法 11有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片画片只有两种：3分一张和5分一张每11人都尽量多买5分一张的画片问他们所买的3分画片的总数是多少张? 【分析与解】 钱数除以5余0，1，2，3，4的人，分别买0，2，4，1，3张3分的画片因此，可将钱数8分至5角2分这45种分为9组，每连续5个在一组，每组买3分画片0+2+4+1+3=10张，9组共买109=90张，去掉5角1分钱中买的2张3分画片，5角2分中买的4张3分画片，43个人买的3分画片的总数是90-2-4=84张 12哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”试将168表示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1 【分析与解】 个位数字是1的两位质数有11，31，41，61，71 其中168-11=157，168-31=137，168-41=127，168-61=107，都不是两位数，只有168-71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97是惟一解13(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少? (2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少? 【分析与解】 (1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然10个互不相等的质数和最小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50 所以，其中一定可以有某几个质数相等 欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9个2，那么最大质数不超过5029=32，而不超过32的最大质数为31 又有，所以满足条件的最大质数为31 (2)最大的质数必大于5，否则10个质数的之和将不大于50 所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7 607=84，而4=2+2，恰好有即8个7与2个2的和为60，显然其中最大的质数最小为7 14有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种? 【分析与解】 注意到所有38枚硬币的总币值恰好是100分(即1元)，于是除了50分和100分外，其他98种币值就可以两两配对了，即 (1，99)；(2，98)；(3，97)；(4，96)；(49，51)； 每一对币值中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成，则另一个也一定可以，显然50分和100分的币值是可以组成的，因此只需要讨论币值为1分，2分，3分，48分和49分这49种情况 1分和3分的币值显然不能构成 2分，4分，6分，46分，48分等2；4种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成 5分，7分，9分，47分，49分等23种奇数币值的只须分别在4分，6分,8分，46分、48分的构成方法上，用一枚伍分硬币去换两