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北师大版 高中数学选修2 2 第一章第四节 平利县中学 教师 龙涛 2015年3月23日 问题情境一 2 你的猜想正确吗 1 求出数列前4项 你能得到什么猜想 2 你认为你的结论一定正确吗 如何证明猜想是正确的 问题情境二 2 从n 5开始逐个往下验证的想法价值不大 我们需要寻求一种方法 通过有限个步骤的推理 证明n取所有正整数都成立 这种由前几项归纳得出一般的通项公式的方法 由特殊到一般 我们称为不完全归纳法 其结果不一定可靠 还需证明的 为了证明此类与正整数有关的问题 我们需要学习数学归纳法 北师大版 高中数学选修2 2 第一章第四节 目标 1 初步理解数学归纳法原理 2 理解和记住数学归纳法证明数学命题的两个步骤 3 初步体会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式 4 掌握归纳与猜想的关系 能运用数学归纳法解决简单实际问题 骨牌全倒下 需要哪些条件呢 问题探究 我们先从多米诺骨牌游戏说起 当n k证明当n k 1时命题也成立 从而命题对所有的正整数n都成立 1 证明当n取时命题成立 2 假设 证明一个与正整数n有关的命题 按下列步骤进行 第一个值n0 归纳奠基 归纳递推 n0 N k n0 k N 时命题成立 生成概念 例1 用数学归纳法证明 证明 那么当n k 1时 这就是说 当n k 1时 等式也成立 由 1 和 2 可知的等式对任何都成立 用上假设递推才真 写完结论才算完整 需要证明的式子是 怎样用假设 带入原题中 不带假设中 1 证明 由 可知对任何n N 时 等式都成立 这就是说 当n k 1时 等式也成立 需要证明的式子是 找准起点奠基要稳 用上假设递推才真 写完结论才算完整 1 用数学归纳法证明的对象是与有关的命题 正整数 2 在用数学归纳法证明中 两个基本步骤缺一不可 3 书写必须规范 1 证明当n取第1个值时 命题成立 2 假设n k时命题成立 证明n k 1时命题也成立 3 由 1 2 得出结论 两个步骤一个结论 例2 已知数列满足 试猜想的通项公式并用数学归纳法证明 解 请同学们练习用数学归纳法证明这个结论 下面用数学归纳法证明 平面内有n n 2 条直线 其中任何两条不平行 任何三条不过同一点 试猜想交点的个数f n 并证明你的结论 1 6 3 2条直线 3条直线 4条直线 请证明你的结论 下面用数学归纳法证明 由 1 2 可知对任何时 公式成立 这就是说 当n k 1时 公式也成立 思考 1 用数学归纳法来证明问题需要几个步骤 这些步骤能否缺少 书写上要注意什么 2 数学归纳法蕴含着什么数学思想 3 前面学习的归纳法和数学归纳法一样吗 反思提高 1 与正整数有关的数学命题可以考虑用数学归纳法证明 要掌握数学归纳法的书写格式 即两个步骤 一个结论 2 数学归纳法是一种方法 更是一种思想 是一种用 有限 的手段解决 无限 的问题 3 归纳法与数学归纳法是两个貌合神离的概念 归纳法是
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