7.3.3直线与圆、圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系一、选择题(每小题5分,共25分)1.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是( )A.内切 B.相交 C.外切 D.外离【解析】选B.将两圆化成标准方程分别为x2+y2=1,(x-2)2+(y+1)2=9,可知圆心距d=5,由于2d2a2+a232所以1a29,所以-3a-1或1a3,故选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.圆C1:(x-2)2+(y-2)2=1和圆C2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系为_.【解析】通过利用两点间的距离公式计算|C1C2|,寻找其与两圆的半径和、差的关系,判断可知|C1C2|=5-2=4-1=r2-r1,所以内切.答案:内切7.(2015大连高一检测)若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是_.【解析】因为点A(a,b)在圆x2+y2=4上,所以a2+b2=4.又圆x2+(y-b)2=1的圆心C1(0,b),半径r1=1,圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a,0),半径r2=1,则d=|C1C2|=a2+b2=4=2,所以d=r1+r2,所以两圆外切.答案:外切8.若两圆x2+y2=m和x2+y2+6x-8y-11=0有公共点,则实数m的取值范围是_.【解析】由于两圆的圆心和半径分别为O1(0,0),r1=m,O2(-3,4),r2=6,它们有公共点,指两圆相切或相交.所以|m-6|32+42m+6,解得1m121.答案:1m121三、解答题(每小题10分,共20分)9.求过点A(4,-1)且与圆C:(x+1)2+(y-3)2=5相切于点B(1,2)的圆的方程.【解析】设所求圆的圆心M(a,b),半径为r,已知圆的圆心为C(-1,3),因为切点B在连心线上,即C,B,M三点共线,所以a+1b-3=1+12-3,即a+2b-5=0.由于AB的垂直平分线为x-y-2=0,圆心M在AB的垂直平分线上,所以a-b-2=0.联立解得a=3,b=1.故圆心坐标为M(3,1),r=|MB|=5,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.10.已知两圆x2+y2-10x-10y=0,x2+y2+6x-2y-40=0.求(1)它们的公共弦所在直线的方程.(2)公共弦长.【解析】(1)x2+y2-10x-10y=0;x2+y2+6x-2y-40=0;-得:2x+y-5=0为公共弦所在直线的方程.(2)将圆x2+y2-10x-10y=0,化为标准方程为(x-5)2+(y-5)2=50,该圆圆心为(5,5),则此圆心到直线2x+y-5=0的距离d=|25+5-5|22+12=25,故弦长为250-20=230. 提高训练一、选择题(每小题5分,共10分)1.设集合M=(x,y)|x2+y225,N=(x,y)|(x-a)2+y29,若MN=M,则实数a的取值范围是( )A.-2,2 B.(-,-2)(2,+) C.(-2,2) D.-2,2【解析】选D.因为MN=MNM,所以两个圆内含或内切,从而|a|5-3=2,解得a-2,2.2.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )A.52-4 B.17-1 C.6-22 D.17【解析】选A.由题意知,圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9的圆心分别为C1(2,3),C2(3,4),且|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-4,点C1(2,3)关于x轴的对称点为C(2,-3),所以|PC1|+|PC2|=|PC|+|PC2|CC2|=52,即|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-452-4.二、填空题(每小题5分,共10分)3.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则圆C1(x-a)2+(y+2)2=5与圆C2:x2+y2+2x-4y=0的位置关系是_.【解析】因为直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心(-1,2),故3(-1)+2+a=0,即a=1,因此圆C1与圆C2的标准方程分别为:(x-1)2+(y+2)2=5,(x+1)2+(y-2)2=5,而d=|C1C2|=22+42=25=R+r,故两圆外切.答案:外切4.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=_.【解析】圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径为r1=1,圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0的圆心为C2(3,4),半径为r2=25-m,所以C1C2=5,r1+r2=1+25-m,因为圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,所以5=1+25-m,m=9.答案:9三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知圆M:x2+y2=10和圆N:x2+y2+2x+2y-14=0,求过两圆交点且面积最小的圆的方程.【解析】设两圆交点为A,B,则以AB为直径的圆就是所求的圆.直线AB的方程为x+y-2=0.两圆圆心连线的方程为x-y=0.解方程组x+y-2=0,x-y=0,得圆心坐标为(1,1).圆心M(0,0)到直线AB的距离为d=2,弦AB的长为|AB|=2(10)2-(2)2=42,所以所求圆的半径为22.所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=8.6.圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2(2,1).(1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程,并求公切线方程.(2)若圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=22,求圆O2的方程.【解析】(1)由两圆外切,所以|O1O2|=r1+r2,r2=|O1O2|-r1=2(2-1),故圆O2的方程是:(x-2)2+(y-1)2=4(2-1)2,两圆的方程相减,即得两圆公切线的方程为x+y+1-22=0.(2)设圆O2的方程为:(x-2)2+(y-1)2=r22,因为圆O1的方程为:x2+(y+1)2=4,此两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在