高考数学大一轮总复习 第2篇 第11节 导数的简单应用课件 文 新人教A版.ppt

第11节导数的简单应用 基础梳理 1 函数的单调性与导数 1 函数y f x 在某个区间内可导 若f x 0 则f x 在这个区间内 若f x 0 则f x 在这个区间内 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为 2 单调性的应用若函数y f x 在区间 a b 上单调 则y f x 在该区间上不变号 单调递增 单调递减 常函数 质疑探究1 若函数f x 在 a b 内单调递增 那么一定有f x 0吗 f x 0是否是f x 在 a b 内单调递增的充要条件 提示 函数f x 在 a b 内单调递增 则f x 0 f x 0是f x 在 a b 内单调递增的充分不必要条件 2 函数的极值与导数 1 函数极小值的概念满足 函数y f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都 f a 在点x a附近的左侧 右侧 则点x a叫做函数y f x 的 f a 叫做函数y f x 的 0 f x 0 f x 0 极小值点 极小值 小 2 函数极大值的概念满足 函数y f x 在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都 f b 在点x b附近的左侧 右侧 则点x b叫做函数y f x 的 f b 叫做函数y f x 的 极小值点与极大值点统称为 极小值与极大值统称为 0 f x 0 f x 0 极大值点 极大值 极值点 极值 大 3 求可导函数极值的步骤 求导数f x 求方程f x 0的根 列表 检验f x 在方程f x 0的根左右两侧的符号 判断y f x 在根左右两侧的单调性 如果左正右负 左增右减 那么f x 在这个根处取得 如果左负右正 左减右增 那么f x 在这个根处取得 如果左右两侧符号一样 那么这个根不是极值点 极大值 极小值 质疑探究2 f x0 0是可导函数f x 在x x0处取极值的什么条件 提示 必要不充分条件 因为当f x0 0且x0左右两端的导数符号变化时 才能说f x 在x x0处取得极值 反过来 如果可导函数f x 在x x0处取极值 则一定有f x0 0 3 函数的最值与导数求函数y f x 在闭区间 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中的一个为最大值 的一个为最小值 极值 最大 最小 4 生活中的优化问题导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大 用料最省 效率最高等问题中 解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型 函数关系 再利用导数研究其单调性和最值 解题过程中要时刻注意实际问题的意义 答案 b 答案 d 答案 d 4 已知a 0 函数f x x3 ax在 1 上是单调增函数 则a的最大值是 解析 f x 3x2 a f x 在 1 上单调递增 3x2 a 0在 1 上恒成立 x 1 时 a 3x2 min 3 a 3 答案 3 考点突破 例1 2014安徽省六校联考 已知函数f x x2 ax ex x r a为实数 1 当a 0时 求函数f x 的单调增区间 2 若f x 在闭区间 1 1 上为减函数 求a的取值范围 思维导引 1 求导 由f x 0可得单调增区间 2 求导 转化为f x 0在区间 1 1 上恒成立问题 利用导数研究函数的单调性 解 1 当a 0时 f x x2ex f x 2xex x2ex x2 2x ex 由f x 0 x 0或x 2 故f x 的单调增区间为 0 和 2 2 由f x x2 ax ex x r f x 2x a ex x2 ax ex x2 2 a x a ex 记g x x2 2 a x a 1 导数法求函数f x 单调区间的一般步骤 求函数f x 的定义域 求导数f x 在函数f x 的定义域内解不等式f x 0 或f x 0 根据 的结果确定函数f x 的单调区间 2 已知f x 在区间 a b 上的单调性 求参数的范围问题一般有两种处理方法 利用集合的包含关系处理 f x 在区间 a b 上单调 则区间 a b 是相应单调区间的子集 利用不等式的恒成立处理 f x 在区间 a b 上单调 则f x 0或f x 0在区间 a b 内恒成立 不要忽略等号 3 注意转化思想的应用 即时突破1 2014武汉模拟 已知函数f x x3 ax2 3x 1 若f x 在 1 上是增函数 求实数a的取值范围 2 若x 3是f x 的极值点 求f x 的单调区间 解 1 由f x x3 ax2 3x 得f x 3x2 2ax 3 由f x 在 1 上是增函数 所以f x 0在 1 上恒成立 函数的极值与导数 2 由 1 知f x 2x3 3x2 12x 1 f x 6x2 6x 12 6 x 1 x 2 令f x 0 即6 x 1 x 2 0 解得x1 2 x2 1 当x 2 时 f x 0 故f x 在 2 上为增函数 当x 2 1 时 f x 0 故f x 在 1 上为增函数 从而函数f x 在x1 2处取得极大值f 2 21 在x2 1处取得极小值f 1 6 运用导数求可导函数y f x 的极值的步骤 1 先求函数的定义域 再求函数y f x 的导数f x 2 求方程f x 0的根 3 检查f x 在方程根的左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右符号相同 则在这个根处不存在极值 即时突破2 2013年高考新课标全国卷 已知函数f x x2e x 1 求f x 的极小值和极大值 2 当曲线y f x 的切线l的斜率为负数时 求l在x轴上截距的取值范围 解 1 f x 的定义域为 f x e xx x 2 令f x 0得 x 0或x 2 当x 0 或x 2 时 f x 0 当x 0 2 时 f x 0 所以函数f x 在 0 2 上单调递减 在 0 2 上单调递增 所以当x 0时 f x 取得极小值 即f 0 0 当x 2时 f x 取得极大值 即f 2 4e 2 例3 2012年高考重庆卷 已知函数f x ax3 bx c在点x 2处取得极值c 16 1 求a b的值 2 若f x 有极大值28 求f x 在 3 3 上的最小值 函数的最值与导数 思维导引 1 求f x 2 由f x 在x 2处取得极值c 16 列方程求得a b 3 由f x 极大值为28 对f x 求出其极大值 令其等于28求出c 4 求f x 在 3 3 上的最小值 2 由 1 知f x x3 12x c f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 得x1 2 x2 2 当x 2 时 f x 0 故f x 在 2 上为增函数 当x 2 2 时 f x 0 故f x 在 2 上为增函数 由此可知f x 在x 2处取得极大值f 2 16 c f x 在x 2处取得极小值f 2 c 16 由题设条件知16 c 28 解得c 12 此时f 3 9 c 21 f 3 9 c 3 f 2 16 c 4 因此f x 在 3 3 上的最小值为f 2 4 求函数f x 在 a b 上最值的方法 1 若函数f x 在 a b 上单调递增或递减 f a 与f b 一个为最大值 一个为最小值 2 若函数f x 在区间 a b 内有极值 先求出函数f x 在区间 a b 上的极值 与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 3 函数f x 在区间 a b 上有唯一一个极值点时 这个极值点就是最大 或最小 值点 即函数f x 在区间 0 1