高一数学上学期期末复习 专题03 二次函数、基本初等函数（I）课件.ppt

专题03二次函数 基本初等函数 i 一 基础知识整合 一 二次函数1 二次函数解析式的三种形式 1 一般式 f x a 0 2 顶点式 f x a 0 3 零点式 f x a 0 ax2 bx c a x h 2 k a x x1 x x2 3 二次函数 二次方程 二次不等式三者之间的关系二次函数f x ax2 bx c a 0 的零点 图象与x轴交点的横坐标 是相应一元二次方程ax2 bx c 0的 也是一元二次不等式ax2 bx c 0 或ax2 bx c 0 解集的 4 二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值 它只能在区间的或二次函数的处取得 可分别求值再比较大小 最后确定最值 根 端点值 端点 顶点 5 一元二次方程根的讨论 即二次函数零点的分布 设x1 x2是实系数一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两实根 则x1 x2的分布范围与系数之间的关系如表所示 二 指数函数1 根式 1 n次方根 如果xn a 那么x叫做a的 其中n 1 且n n 当n为奇数时 正数的n次方根是一个数 负数的n次方根是一个数 这时a的n次方根用符号表示 当n为偶数时 正数的n次方根有个 这两个数互为 这时 正数a的正的n次方根用符号表示 负的n次方根用符号表示 正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 负数没有偶次方根 0的n n n 次方根是 记作 n次方根 正 负 两 相反数 0 根指数 被开方数 a a 1 5 0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂等于 6 有理指数幂的运算性质 0 没有意义 ar s ars arbr 3 指数函数的图象及性质 r 0 0 1 增函数 减函数 三 对数函数1 对数 1 对数 如果ax n a 0 且a 1 那么x叫做以a为底n的 记作x 其中a叫做对数的 n叫做 2 两类重要的对数 常用对数 以 为底的对数叫做常用对数 并把log10n记作 自然对数 以 为底的对数称为自然对数 并把logen记作 注 i 无理数e 2 71828 ii 负数和零没有对数 iii loga1 logaa 对数 logan 底数 真数 10 lgn e lnn 0 1 3 对数与指数之间的关系当a 0 a 1时 ax n x logan 4 对数运算的性质如果a 0 且a 1 m 0 n 0 那么 loga mn logam logan logam logan nlogam 5 换底公式及对数恒等式 对数恒等式 换底公式 logab a 0且a 1 c 0且c 1 b 0 特别地 logab n 2 对数函数的图象及性质 0 r 1 0 增函数 减函数 3 对数函数与指数函数的关系对数函数y logax a 0 且a 1 与指数函数y ax a 0且a 1 互为反函数 它们的图象关于直线 对称 四 幂函数1 幂函数的定义一般地 函数 叫做幂函数 其中x是自变量 是常数 y x y x 2 几个常用的幂函数的图象与性质 0 0 和 1 1 1 1 增函数 减函数 五 函数的图象1 作函数的图象有两种基本方法 1 利用描点法作图 其一般步骤为 确定函数定义域 化简函数解析式 讨论函数的性质 奇偶性 单调性 周期性 最值等 描点并作出函数图象 2 图象变换法 2 图象变换的四种形式 1 平移变换 水平平移 y f x 的图象向左平移a a 0 个单位长度 得到 的图象 y f x a a 0 的图象可由y f x 的图象向 平移a个单位长度而得到 竖直平移 y f x 的图象向上平移b b 0 个单位长度 得到 的图象 y f x b b 0 的图象可由y f x 的图象向 平移b个单位长度而得到 总之 对于平移变换 记忆口诀为 左加右减 上加下减 y f x a 右 y f x b 下 2 对称变换 y f x y f x y f x 三个函数的图象与y f x 的图象分别关于 对称 若对定义域内的一切x均有f m x f m x 则y f x 的图象关于直线 对称 3 伸缩变换 要得到y af x a 0 的图象 可将y f x 的图象上每点的纵坐标伸 a 1时 或缩 a0 的图象 可将y f x 的图象上每点的横坐标伸 a1时 到原来的 y轴 x轴 原点 x m a倍 4 翻折变换 y f x 的图象作法 作出y f x 的图象 将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方 上方的部分不变 y f x 的图象作法 作出y f x 在y轴右边的图象 以y轴为对称轴将其翻折到左边得y f x 在y轴左边的图象 右边的部分不变 1 已知f x x2 px q满足f 1 f 2 0 则f 1 的值是 a 5b 5c 6d 6 二 自主小测 解析由f 1 f 2 0知方程x2 px q 0的两根分别为1 2 则p 3 q 2 f x x2 3x 2 f 1 6 答案c a a b cb a c bc c b ad c a b 答案d 3 函数y ax a 1 a 0 且a 1 的图象可能是 d 4 若幂函数y m2 3m 3 xm2 m 2的图象不经过原点 则实数m的值为 答案1或2 二 热点题型展示类型一二次函数例1 已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 试确定此二次函数的解析式 答案 1 详见解析 2 3 名师点睛 1 求二次函数的解析式利用已知条件求二次函数的解析式常用的方法是待定系数法 但须根据不同条件选取适当形式的f x 一般规律是 已知三个点的坐标时 常用一般式 已知抛物线的顶点坐标 对称轴 最大 小 值时 常用顶点式 若已知抛物线与x轴有两个交点 且横坐标已知时 选用零点式更方便 2 含有参数的二次函数在闭区间上的最值或值域二次函数在区间 m n 上的最值或值域问题 通常有两种类型 其一是定函数 解析式确定 动区间 区间的端点含有参数 其二是动函数 解析式中含有参数 定区间 区间是确定的 无论哪种情况 解题的关键都是抓住 三点一轴 三点 即区间两端点与区间中点 一轴 即为抛物线的对称轴 对于动函数 动区间的类型同样是抓住 三点一轴 只不过讨论要复杂一些而已 4 对一元二次方程根的问题的研究 主要分三个方面 1 根的个数问题 由判别式判断 2 正负根问题 由判别式及韦达定理判断 3 根的分布问题 依函数与方程思想 通过考查开口方向 对称轴 判别式 端点函数值等数形结合求解 类型二指数幂与指数函数 答案a 名师点睛 1 指数幂的运算应注意 1 运算的先后顺序 2 化负数指数幂为正数指数幂 3 化根式为分数指数幂 4 化小数为分数 2 与指数函数有关的比较大小问题 除了应用函数的单调性外 还用到指数函数图象的 陡峭 程度 也就是函数f x 增 减 的快慢 3 解决指数函数的综合问题 首先要熟练掌握指数函数的基本性质 如函数值恒正 在r上单调 过定点等 类型三对数与对数函数 答案 1 a 2 20 名师点睛 1 对数式的化简 求值问题 要注意对数运算性质的逆向运用 但无论是正向还是逆向运用都要注意对数的底数须相同 2 比较大小问题是高考的常考题型 应熟练掌握比较大小的基本方法 作差 商 法 函数单调性法 介值法 特别是以0和1为媒介值 利用对数函数单调性比较大小的基本方法是 同底法 即把不同底的对数式化为同底的对数式 然后根据单调性来解决 类型四幂函数 例1 如图 曲线是幂函数y xn在第一象限的图象 已知n取2 3 1四个值 则相应于曲线c1 c2 c3 c4的n依次为 名师点睛 比较两个幂的大小 首先要分清是底数相同还是指数相同 如果底数相同 可利用指数函数的单调性 如果指数相同 可转化为底数相同 或利用幂函数的单调性 也可借助函数图象 如果指数不同 底数也不同 则要利用中间量 类型五函数的图象 名师点睛 1 函数的图象往往是可由基本函数的图象通过变换得到 因此应能熟练的作出基本函数的图象 再根据平移 伸缩 对称等变换作出待作函数的图象 2 变换法作函数的图象是经常用到的一种作图方法 在作图时 应注意先作出图象的关键点 如与x轴 y轴的交点等 和关键线 如对称轴 渐近线等 3 利用函数奇偶性与基本函数图象的特征作图 也是常用方法之一 类型六函数模型及其应用 例2 为了迎接世博会 某旅游区提倡低碳生活 在景区提供自行车出租 该景区有50辆自行车供游客租赁使用 管理这些自行车的费用是每日115元 根据经验 若每辆自行车的日租金不超过6元 则自行车可以全部租出 若超出6元 则每超过1元 租不出的自行车就增加3辆 为了便于结算 每辆自行车的日租金x 元 只取整数 并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用 用y 元 表示出租自行车的日净收入 即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得 1 求函数的解析式y f x 及其定义域 2 试问当每辆自行车的日租金定为多少元时 才能使一日的净收入最多 名师点睛 1 解函数应用问题的步骤 1 审题 数学应用问题的文字叙述长 数量关系分散且难以把握 因此 要认真读题 缜密审题 准确理解题意 明确问题的实际背景 收集整理数据信息 这是解答数学问题的基础 2 建模 在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 合理引入自变量 运用已掌握的数学知识 物理知识及其他相关知识建立函数关系式 也叫目标函数 将实际问题转化为数学问题 即实际问题数学化 建立数学模型 3 解模 利用数学的方法将得到的常规数学问题 即数学模型或目标函数 予以解答 求得结果 4 还原 将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义 回答数学应用题提出的问题 以上过程可以用示意图表示为 模拟函数的过程可以用下面框图表示 2 函数模型的选择解题过程中选用哪种函数模型 要根据题目具体要求进行抽象和概括 灵活地选取和建立数学模型 一般来说 如果实际问题的增长特点为直线上升 则选择直线模型 若增长的特点是随着自变量的增大 函数值增大的速度越来越快 指数爆炸 则选择指数型函数模型 若增长的特点是随着自变量的增大 函数值的增大速度越来越慢 则选择对数型函数模型 如果实际问题中变量间的关系 不能用同一个关系式表示 则选择分段函数模型等 另外 常见的出租车计费问题 税收问题 商品销售等问题 通常用分段函数模型 面积问题 利润问题 产量问题常选择幂型函数模型 特别是二次函数模型 而对于利率 细胞分裂 物质衰变 则常选择指数型函数模型 三 易错易混辨析 已知定义域为 0 1 上的函数f x 图象如下图左图所示 则函数f x 1 的图象可能是 错解 先将f x 的图象沿y轴对折得到f x 的图象 再将所得图象向左平移1个长度单位就得到函数f x 1 的图象 故选a 名师点睛 1 指数函数的图象 性质在应用时 如果底数a的取值范围不确定 则要对其进行分类讨论 2 熟练掌握指数式与对数式的互化 它不仅体现了两者之间的相互关系 而且为对数的计算 化简 证明等问题提供了更多的解题途径 5 幂函数的图象一定会出现在第一象限内 一定不会出现在第四象限 至于是否出现在第二 三象限内 则要看函数的定义域和奇偶性 函数的图象最多只能同时出现在两个象限内 如果幂函数的图象与坐标轴相交 则交点一定是原点 6 判断一个函数是否为指数函数或对数函数或幂函数 一定要根据三种函数定义给出的 标准 形式 如f x 2x2不是指数函数 而f x 23x是指数函数 因为f x 23x 8x 此时a 8 同样f x 2x 1也不是指数函数 因为f x 2x 1 2 2x 不是f x ax a 0 且a 1 的形式 四 强化训练提高 9 已知函数y f x 的图象如图 其中可以用二分法求解的个数为 a 1个b 2个c 4个d 3个 答案 d 解析 因为函数y f x 与y轴由4个交点 其中一个交点 左右两边函数值符号相同不能用二分法求解 所以可以用二分法求解的个数为3个 故选d 答案 2 1 解析 因为loga1 0 所以恒过定点 2 1 16 若函数y f x 在x 2 2 的图象如图所示 则当x 2 2 时 f x f x 解析由于y f x 的图象关于原点对称 f x f x f x f x 0 答案0 考点二对数函数的图象及应用 解析 如图 在同一坐标系中分别作出y f x 与y x a的图象 其中a表示直线在y轴上截距 由图可知 当a 1时 直线y x a与y log2x只有一个交点 答案a 1 答案 27 23 食品安全问题越来越引起人们的重视 农药 化肥的滥用对人民群众的建康带来一定的危害 为了给消费者带来放心的蔬菜 某农村合作社会每年投入200万元 搭建了甲 乙两个无公害蔬菜