高中数学 6.4基本不等式课件 理 新人教A版.ppt

第四节基本不等式 三年8考高考指数 1 主要考查应用不等式求最值和不等式的证明 2 对基本不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现 难度为中低档题 若出现证明题难度也不会太大 1 基本不等式 1 基本不等式成立的条件是 2 等号成立的条件是 当且仅当 时取等号 3 其中称为正数a b的 称为正数a b的 a 0 b 0 a b 算术平均数 几何平均数 即时应用 判断下列不等式是否正确 请在括号中填写 或 1 a2 b2 2ab a b r 2 ab a b r 3 a b r 4 a b均不为零 解析 1 由 a b 2 0得a2 b2 2ab 0 即a2 b2 2ab 故 1 正确 2 由 1 可知a2 b2 2ab 即a2 b2 2ab 4ab 即 a b 2 4ab 即ab 故 2 正确 3 由故 3 正确 4 若a b异号 如a 1 b 1 则故 4 错 答案 1 2 3 4 2 利用基本不等式求最值 1 两个正数的和为定值时 它们的积有最大值 即若a b为正实数 且a b m m为定值 则等号当且仅当 时成立 简记 和定积最大 2 两个正数的积为定值时 它们的和有最小值 即若a b为正实数 且ab p p为定值 则a b 等号当且仅当 时成立 简记 积定和最小 a b a b 即时应用 1 已知x 3y 2 x y为正实数 则xy的最大值为 2 函数f x 的最大值为 3 已知m 0 n 0且mn 81 则m n的最小值为 解析 1 由2 x 3y 得故等号当且仅当x 1 时取得 2 x 0 当x 0时 f 0 0 当x 0时 当且仅当即x 1时取等号 所以f x 的最大值为 3 m 0 n 0 mn 81 故m n的最小值为18 答案 1 2 3 18 利用基本不等式求最值 方法点睛 应用基本不等式求最值的常见类型 1 若直接满足基本不等式条件 则直接应用基本不等式 2 若不直接满足基本不等式条件 则需要创造条件对式子进行恒等变形 如构造 1 的代换等 3 若可用基本不等式 但等号不成立 则一般是利用函数单调性求解 提醒 1 应用基本不等式注意不等式的条件 2 若多次应用基本不等式要注意等号需同时成立 例1 1 2012 无锡模拟 若x 3 则的最小值为 2 已知x y为正实数 且满足则xy的最大值为 3 已知a b为正实数且a b 1 则的最小值为 解题指南 1 将原式等价变形构造出应用基本不等式形式可解 2 直接应用基本不等式求解 3 将中的1用a b代换整理后利用基本不等式可求 规范解答 1 由x 3得x 3 0 又等号成立的条件是即答案 2 因为x y为正实数 所以所以即xy 3 当且仅当y 2时等号成立 答案 3 3 a 0 b 0 a b 1 同理 等号成立的条件为答案 9 互动探究 若将本例 1 中x 3去掉 而求的取值范围 又将如何求解 解析 分情况讨论 由题意得x 3 1 当x 3时 由例题可知 2 当x0 等号成立的条件是故的取值范围是 反思 感悟 1 利用基本不等式求最值的关键在于凑 和 或 积 为定值 2 使用基本不等式时容易忽视的是不等式成立的条件 变式备选 若正实数x y满足2x y 6 xy 则xy的最小值是 解析 xy 2x y 6 令xy t2 t 0 可得注意到t 0 解得故xy的最小值为18 答案 18 基本不等式的实际应用 方法点睛 利用基本不等式求解实际应用题的方法 1 问题的背景是人们关心的社会热点问题 如 物价 销售 税收 原材料 等 题目往往较长 解题时需认真阅读 从中提炼出有用信息 建立数学模型 转化为数学问题求解 2 当运用基本不等式求最值时 若等号成立的自变量不在定义域内时 就不能使用基本不等式求解 此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解 例2 2012 武汉模拟 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池 池的深度一定 平面图如图所示 如果池四周围墙建造单价为400元 米 中间两道隔墙建造单价为248元 米 池底建造单价为80元 米2 水池所有墙的厚度忽略不计 1 试设计污水处理池的长和宽 使总造价最低 并求出最低总造价 2 若由于地形限制 该池的长和宽都不能超过16米 试设计污水池的长和宽 使总造价最低 并求出最低总造价 解题指南 1 由题意设出未知量 构造函数关系式 变形转化利用基本不等式求得最值 得出结论 2 先由限制条件确定自变量的范围 然后判断 1 中函数的单调性 利用单调性求最值 得出结论 规范解答 1 设污水处理池的宽为x米 则长为米 则总造价 38880 元 当且仅当 x 0 即x 10时取等号 当长为16 2米 宽为10米时总造价最低 最低总造价为38880元 2 由限制条件知 设 由函数性质易知g x 在上是增函数 当时 此时 g x 有最小值 即f x 有最小值 当长为16米 宽为米时 总造价最低 为38882元 反思 感悟 1 本例 2 中由于条件限制应用基本不等式结果不成立 从而转化为应用函数的单调性求解 这也是此部分内容的常规解法 2 应用基本不等式解实际应用题时定义域是关键涉及到等式能否成立 因而在实际解题时要密切注意定义域的取值范围 变式训练 某种汽车 购车费用为10万元 每年的保险费 养路费 汽油费约为0 9万元 年维修费第一年是0 2万元 以后逐年递增0 2万元 这种汽车使用多少年时 它的年平均费用最少 解析 由于 年维修费第一年是0 2万元 以后逐年递增0 2万元 可知汽车每年维修费构成以0 2万元为首项 0 2万元为公差的等差数列 因此 汽车使用x年时总的维修费用为万元 设汽车的年平均费用为y万元 则有当且仅当即x 10时 y取得最小值 答 汽车使用10年时 它的年平均费用最少 基本不等式与其他知识的综合应用 方法点睛 基本不等式在其他数学知识中的应用以函数 方程 立体几何 解析几何 数列等知识为载体考查基本不等式求最值 是本部分中常见题型 且在高考中也时常出现 其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式 同时要注意基本不等式的使用条件 例3 1 2012 杭州模拟 设x y r a 1 b 1 若ax by 4且则的最大值为 2 已知函数f x log2 k x 4 2 1恒过定点p 且点p在直线 a b r 上 则3a 2b的最小值为 解题指南 1 用a b表示x y代入后 再利用基本不等式可求 2 求得p点坐标代入直线方程 再用 1 的代换转化为基本不等式求解 规范解答 1 由ax by 4得x loga4 y logb4 故又 a 1 b 1 故 等号当且仅当即x y 4时等号成立 的最大值为答案 2 由函数f x log2 k x 4 2 1可知 当x 4时 f x 2 即p点坐标为 4 2 又p在直线 a b r 上 故当且仅当3a2 4b2 即时等号成立 3a 2b的最小值为答案 互动探究 若本例 2 中函数改为f x 2k x 1 1 其余条件不变 又将如何求解 解析 由f x 2k x 1 1可知图象恒过定点p 1 2 依题意 p在直线上 故即 等号当且仅当时取得 所以3a 2b的最小值为 反思 感悟 解决与其他知识综合的基本不等式题目 难点在于如何从已知条件中寻找基本关系 本例 1 中其关键是构建x y与a b的关系得到x loga4 y logb4 从而将成功转化为a b的关系 再利用基本不等式求解 而对本例 2 中其关键点是确定图象过的定点 确定了这一定点后问题便会迎刃而解 变式备选 设x y满足约束条件若目标函数z abx y a 0 b 0 的最大值为8 则a b的最小值为 解析 已知x y满足约束条件其可行域是一个四边形 四个顶点是 0 0 0 2 0 1 4 易见目标函数z abx y a 0 b 0 在 1 4 取最大值8 所以8 ab 4 即ab 4 当且仅当a b 2时 等号成立 所以a b的最小值为4 答案 4 易错误区 忽视题目的隐含条件致误 典例 2011 江苏高考 在平面直角坐标系xoy中 过坐标原点的一条直线与函数f x 的图象交于p q两点 则线段pq长的最小值是 解题指南 由已知条件可知两交点必关于原点对称 从而设出交点代入两点间距离公式 整理后应用基本不等式求解即可 规范解答 由题意可知的图象关于原点对称 而与过原点的直线相交 则两交点必关于原点对称 故可设两交点分别为由两点间距离公式可得等号当且仅当x2 2 即时取得 答案 4 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 福建高考 若a 0 b 0 且函数f x 4x3 ax2 2bx 2在x 1处有极值 则ab的最大值等于 a 2 b 3 c 6 d 9 解析 选d 由题意得f x 12x2 2ax 2b 函数f x 在x 1处有极值 f 1 0 12 2a 2b 0 即a b 6 又 a 0 b 0 由基本不等式得 故ab的