二轮复习数学学案(12)数列.doc

数 列【知识网络】一数列及数列的通项公式1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列2.数列的前n项和： 3.数列的通项公式： ；求法：归纳，转化， 4.递推公式：已知数列的第一项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。二等差数列1.定义： 2.等差数列的判定方法：定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。 等差中项法：对于数列，若，则数列是等差数列。3.等差数列的通项公式：。说明：该公式整理后是关于n的一次函数。4.等差数列的前n项和： 说明对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。5.等差中项：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。6.等差数列的性质：等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有.对于等差数列，若，则。也就是：，如图所示：若数列是等差数列，是其前n项的和，那么，成等差数列。如下图所示：设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：(i)奇数项 (ii)偶数项 (iii) 所以有 ； ， 所以有若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则。三等比数列1定义：2.等比中项：如果在与之间插入一个数，使，成等比数列，那么叫做与的等比中项。即。3.等比数列的判定方法：定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。 等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。4.等比数列的通项公式：。5.等比数列的前n项和：6.等比数列的性质：等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有.对于等比数列，若，则也就是：。如图所示：若数列是等比数列，是其前n项的和，那么，成等比数列。如下图所示：四数列的通项求法： (1)等差，等比数列的通项： (2) (3)迭加累加 ，迭乘累乘， ， ， ， ， ， 注：五数列的求和方法：(1)等差与等比数列：(2)裂项相消法： 如：an=1/n(n+1)(3)错位相减法：, 所以有如：an=(2n-1)2n倒序相加法：如an=; 又如一知函数 求：。通项分解法：如：an=2n+3n六数列的关系(1) (2)七递推数列(1)能根据递推公式写出数列的前n项(2)由 解题思路：利用 变化（1）已知 (2)已知.若一阶线性递归数列an=kan1+b（k0,k1）,则总可以将其改写变形成如下形式:(n2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；八其它方面1、在等差数列中,有关Sn 的最值问题常用邻项变号法求解：(1)当,d0时，满足 的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。2、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d3、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)4、求数列an的最大、最小项的方法：an+1-an= 如an= -2n2+29n-3 (an0) 如an= an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=【学法导航】高考资源网考资源网1运用基本量思想(方程思想)解决有关问题； 2注意等差、等比数列的性质的灵活运用；3注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用； 4注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；高5根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳； 6掌握数列通项an与前n项和Sn 之间的关系；7根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；高8掌握一些数列求和的方法：(1)分解成特殊数列的和(2)裂项求和(3)“错位相减”法求和（4）倒序相加法（5）公式法。【专题综合】高考资源网1. 等差、等比数列的概念与性质例1. 已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：（1）求通项；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数；解：（1）设数列的公差为高考由题意得： 或 （舍去）所以：（2），由于 是一等差数列 故对一切自然数都成立，即：高考资源网 或 （舍去）高考所以高考资源网点评：本题考查了等差数列的基本知识，第二问，判断数列是等差数列的条件，要抓住它的特征，充分应用等差数列的判断条件，转化为恒成立问题。 例2.设数列an和bn满足a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且数列an+1an （nN*）是等差数列，数列bn2(nN*)是等比数列. （1）求数列an和bn的通项公式；高考资源网（2）是否存在kN*，使akbk（0，）？若存在，求出k；若不存在，说明理由.解：（1）由题意得： =。所以 （）上式对也成立，所以 高考，所以 高考资源网（2）当 时 当时 故不存在正整数使高考资源网2. 求数列的通项与求和例3.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为 解：前n1 行共有正整数12（n1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第3个，即为高考资源网点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力高考资源网例4.(2009年广东卷文)已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足=+（）. （1）求数列和的通项公式；高考资源网（2）若数列前项和为，问的最小正整数是多少? 解：（1）,高考资源网 , . 高考资源网又数列成等比数列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；高考资源网数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ；高考()；（2） ；高考由得，满足的最小正整数为112.3. 数列与不等式的联系高考资源网例5.（届高三湖南益阳）已知等比数列的首项为，公比满足。又已知，成等差数列。高考资源网 （1）求数列的通项 高考资源网（2）令，求证：对于任意，都有（1）解： 高考资源网（2）证明： ， 高考资源网点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n的范围证出不等式例、(2008辽宁理) 在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）高考资源网（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式 （2）证明：解：（）由条件得由此可得猜测高用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立高假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论也成立由，可知对一切正整数都成立高（2） n2时，由（）知高考资故综上，原不等式成立点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力4. 数列与函数、概率等的联系高考资源网例7.（江西理）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ） 解：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B高考点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。例8. 已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为高考资源网（1）求数列的通项公式 （2）若，求数列的前项和高网（3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，求的通项公式.解：（1）点都在函数的图像上，,当时，高考当1时，满足上式，所以数列的通项公式为 （2）由求导可得过点的切线的斜率为，.高考.由4，得，-得： 高考资 （3）,.又，其中是中的最小数，.是公差是4的倍数，.高考又，,解得27. 所以，高考资源网设等差数列的公差为，则高考资源网，所以的通项公式为 【专题突破】高考资源网一、选择题1 已知等差数列的公差为,若成等比数列, 则（ ）A B C D 高考资源网2 设是等差数列的前n项和，若（ ）A B C D 高考资源网3 若成等差数列，则的值等于（ ）A B 或 C D 高考资源网4 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是（ ）A B C D 5 在中,是以为第三项, 为第七项的等差数列的公差,是以为第三项, 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ）高考资源网A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 等腰直角三角形 D 以上都不对6 在等差数列中，设，则关系为（ ）高考资源网A 等差数列 B 等比数列 C 等差数列或等比数列 D 都不对 7已知等差数列an的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线 （该直线不过原点O），则S200（ ）高考资源网A100 B101 C200 D2018在等比数列中，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（ ）A B C D高考资源网9设，则等于（ ）高考资源网A B C D10弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有（ ）高考资源网A3 B4 C8 D911设数列的前n项和为，令，称为数列，的“理想数”，已知数列，的“理想数”为2004，那么数列2， ，的“理想数”为（ ）高考资源网A2002 B2004 C2006 D200812已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）ABCD高考资源网二、填空题13等差数列an的前n项和为Sn，且a4a28，a3a526，记Tn，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，TnM都成立则M的最小值是_高考资源网16已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是_.高考资源网17在等差数列中，公差，前项的和，则=_ 高考资源网三、解答题18. 设为等比数列，已知。（1）求数列an的首项和公比；（2）求数列的通项公式。高 解：（1）高考资源网 又为等比数列，故， 故 （2） 得 高考资源网 19. 已知数列的前项和满足高考资源网（1） 写出数列的前三项；高考资源网（2） 求证数列为等比数列，并求出的通项公式高解：（1）在中分别令 得： 解得：高考资源网（2）由得：高考资源网两式相减得：即：高考资源网故数列是以为首项，公比为2的等比数列高考资源网所以 高考资源网20. 数列an的前n项和记为Sn，已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，)证明：（1）数列是等比数列； （2）Sn+1=4an. 高考资源网 解：（1）由 得： 即所以 所以数列是以1为首项,公比为2的等比数列高考资源网（2）由（1）得 高考资源网所以 所以 21. 设数列的前项和为 已知（1）设，证明数列是等比数列 （2）求数列的通项公式。解：（I）由及，有高由， 则当时，有得高考资源网又，是首项，公比为的等比数列（2）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列高考资源网， 专题突破参考答案一、选择题1 B 高考资源网2 A 高考资源网3 D 4 D 设三边为则，即 得，即5 B 高考资源网 ，都是锐角高考资源网6 A 成等差数列7A依题意，a1a2001，故选A高考资源网8C因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则 即，所以，故选择答案C9Df（n）=，选D高考资源网10B正四面体的特征和题设构造过程，第k层为k个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为则