线性代数教案3.1.doc

班 号上课日期节 次上课时数累计时数教学地点教材章节：第三章第一节 目的、要求：理解向量及线性相关与无关的概念，掌握判别方法.重点：线性相关与无关的判定难点：线性相关与无关的判定使用设备及教具： 序号复问内容学生姓名复问成绩123- 7 - 教 案 用 纸时间教 学 内 容、步 骤 与 方 法、教 具 使 时间教 学 内 容 与 方 法、教 具 使 用时间教 学 内 容 与 方 法、教 具 使 用时间教 学 内 容 与 方 法、教 具 使 用时间教 学 内 容 与 方 法 引言 从今天开始我们将学习第三章 元向量与线性方程组，这一章的中心问题讨论线性方程组的解的基本理论，也就是非齐次线性方程组有解和齐次线性方程组有非零解的充分必要条件以及它们的解的结构.为探讨这些问题，需要引入维向量的概念，定义它的线性运算，研究向量的线性相关性，进而引进矩阵秩的概念.本节我们重点学习元向量的线性相关性正课3.1维向量的线性相关性一、 维向量的概念1、定义 我们把个数构成的有序数组称为维向量，也称元向量，记作 其中为的第个分量.分量全为零的向量称为维零向量，简称零向量，记作或简记为0.2、维向量的表示方法维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：3、注意()行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；（2）行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算.二、线性相关性的概念定义1 设个元向量，个数，则 称为的一个线性组合.如果记，则称可由线性表示.定义2 如果对个向量有个不全为零的数，使 成立，则称线性相关；否则，称线性无关. 注意： 三、线性相关性的判定定理1 向量组线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.证明 设线性相关，则存在不全为零的数，使，不妨设，于是 ，即可由线性表示.反过来，不妨设可由线性表示，即，于是 ，显然，不全为0，故线性相关.该定理的逆否命题：向量组线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能由其余向量线性表示.注：很明显，若令元向量，则线性无关.称为元基本向量.因为任何一个元向量都可由线性表示，即 .定理2 如果向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关.证明 不妨设线性相关，于是有不全为零的数，使.从而，故线性相关.该定理的逆否命题是：如果线性无关，则其任一部分向量组成的向量组也线性无关.定理3 若，则个元向量组成的向量组必线性相关.定理4 设元向量，则向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 有非零解.其中 ， .证明 设 ，即 ，于是 ，亦即 .如果线性相关，则不全为零.即方程组有非零解.反之，如果有非零解，则不全为零，从而线性相关.该定理的逆否命题是：线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组只有零解.在该定理中，若，则必线性相关（注意到个元向量的向量组必线性相关），从而方程组必有非零解.定理5 若向量组线性无关，而线性相关，则可由唯一线性表示.证明 因为线性相关，所以存在不全为零的数，使得 ，可以断定（否则，与线性无关矛盾）.于是可由线性表示，即 .这种表示法是唯一的，因若 ，则 ，由于线性无关，必有，即，所以由线性表示的表示法是唯一的.推论 如果个元向量线性无关，则任一元向量可由线性表示，且表示法唯一.例1 设向量组线性无关，又，则线性相关.证