大学本科数学毕业论文.doc

- 湖南第一师范学院毕业论文题目放缩法在数学上的应用及推广学生姓名叶剑学号09402030341指导教师赵清贵系部名称数学系专业班级09应数3班完成时间2013年5月湖南第一师范学院教务处制 1本科毕业论文放缩法在数学上的应用及推广学生姓名：叶剑系部名称：数学系专业名称：数学与应用数学指导教师：赵清贵 2毕业论文作者声明1本人提交的毕业论文是本人在指导教师指导下独立进行研究取得的成果。除文中特别加以标注的地方外，本文不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的成果。对本文研究做出重要贡献的个人与集体均已在文中明确标明。2本人完全了解湖南第一师范学院有关保留、使用学位论文的规定，同意学院保留并向国家有关部门或机构送交本文的复印件和电子版，允许本文被查阅、借阅或编入有关数据库进行检索。同意湖南第一师范学院可以采用影印、打印或扫描等复制手段保存和汇编本文，可以用不同方式在不同媒体上发表、传播本文的全部或部分内容。3湖南第一师范学院在组织专家对毕业论文进行复审时，如发现本文抄袭，一切后果均由本人承担，与学院和毕业论文指导教师无关。作者签名： 日期：二一三年 月 日 湖南第一师范学院毕业论文任务书专业班级09应数3班学生姓名叶剑学 号09402030341课题名称 放缩法在数学上的应用及推广设计(论文)起止时间 2012年 10月 8 日至2013年 4月 30 日课题类型 理论研究 课题性质 学生自选题一、 课题研究的目的与主要内容 研究的目的：放缩法也称为放缩思想，产生于不等式问题，要证明不等式AB成立，有时直接进行比较存在很大难度，这时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即AC，后证CN时有（2）式成立，于是本题得证。一般，含有单调的函数（或数列）, 易于寻找函数（或数列）的上（或下）界，应用上（或下）界完成放缩.对非单调的函数（或数列），也可找上（或下）界。3.2 利用放缩法证明定理放缩法不仅是求极限和证明及限存在的方法，还是很多定理证明的重要方法。例 1. 证明闭区间套定理 即 （1）证明 ： 由于 （2） （3） 且 （4） 联合（2,），（4）即得（1）式。最后证明满足（1）的是唯一的。设数则由（1）式有得因此有例 2. 定理1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。证明： 不妨设 S包含非负数，S有上界 存在自然数 ，使得1）； 2）存在在 内作10等分，分点分别为： 存在自然数 使得 1） 2）存在 1） 2）存在 按上述办法无限作下去，得到实数 ，可以验证。例3.证明凡孤立集合都是有限集合或可数集合。 利用放缩法证明的定理还有很多，再此就不一一列出。纵观高等数学上的各种定理很多都用到了放缩法，因此我们应该正视放缩思想的实用性认真学习并掌握。第四章 放缩的方法与尺度4.1放缩的方法 不等式的论证历来以方法多，技巧性强，难度高著称，而在诸多方法中尤以放缩法最难以把握，究其原因正在于学生不能掌握放缩的方法和尺度。笔者结合一些高考试题，列谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。（1）添加或舍弃一些正项（或负项）例 1已知求证：证明： 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍弃了，从而是使和式得到化简.（2）先放缩再求和（或先求和再放缩）例 2.函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+f（n）n+.证明：由f(n)= =1-得f（1）+f（2）+f（n）.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。（3）先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例 3.已知an=n ，求证：3证明：=1 =1 () =1123本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.（4）放大或缩小“因式”例 4.已知数列满足求证：证：， 本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.（5）逐项放大或缩小例 5.设求证： 证明： ， 本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。（6）固定一部分项，放缩另外的项；例 6.求证： 证明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。（7）利用基本不等式放缩例 7.已知，证明：不等式对任何正整数都成立.证明：要证，只要证 .因为 ，故只要证 ，即只要证 .因为，所以命题得证.本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可.（8）先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩例 8.已知i，m、n是正整数，且1imn.(1)证明：niAmiA；(2)证明：(1+m)n(1+n)m证明：(1)对于1im，且A =m(mi+1)，由于mn，对于整数k=1，2，i1，有，所以(2)由二项式定理有：(1+m)n=1+Cm+Cm2+Cmn，(1+n)m=1+Cn+Cn2+Cnm，由(1)知miAniA (1imn ，而C=miCinniCim(1mnm0C=n0C=1，mC=nC=mn，m2Cn2C，mmCnmC，mm+1C0，mnC0，1+Cm+Cm2+Cmn1+Cn+C2mn2+Cnm，即(1+m)n(1+n)m成立.以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.4.2 如何把握放缩尺度 运用放缩法证明不等式的确是一种很巧妙的证明方法，但是才能如何做到快速、有效地放缩，即应该放多大，缩多小，这是我们在利用放缩法证明不等式时的一大难点。那么怎样才能把握住放缩的尺度呢？（1）放缩幅度不得超过两端之差要证ab(或acb(或acb) ,则是缩小（或放大）幅度，为放大（或缩小）幅度，因为，所以 :同理，当两端可以直接比较大小时，由此即可控制放缩的尺度，如：例 1.求证： 分析： 两端可以比较大小= ，所以放缩的幅度应为d，（d为放缩幅度）对照待证不等式，发现 共有n项，因此可知每一项的放缩幅度可能为 ，这样总的放缩度为 ，从而有，即，由于此式确实成立，因而我们就找到了证题途径。证明：因为 所以 所以 即 b(或ab),因而 a,b之间必然存在差异，同时又必然存在内在联系，这种内在联系其实就是不等式能够得证得内在因素，所以抓住了它，也就抓住了不等式证明的关键，放缩的尺度也就自热而然的确定了，如：例 2 证明 分析: 左端为指数式，右端为对数式，两端不变比较，故需在两者之间插入一数 作为桥梁，为此，需要将两端适当放缩，而放缩的幅度则一时难以确定。不过你，从左，右两端都含有与可知，放缩幅度一大与和有关；再从左,右两端的数值估计可知：0,因此，介于与之间的数一定是位于0.1之间的数，且可能是。证明: 因为，所以，上述猜想成立。例 3.已知 分析: 因为 所以02b，所以，从而 即可将左端适当缩小，=+=1+= 结束语综上，我们发现放缩思想是数学上一种重要的思想，是数学理论的一部分，我们必须掌握的一种思想方法，将来势必会有更大的价值被发现，应该得到更有力地推广，成为一种基本思想方法。所以每一位学生都要掌握一定程度的放缩法来完善自己。 参考文献 1姜照华 .放缩法在解题中的应用R.中学生学习报社编 1999 ； 2陆安定，放缩法何 时用与如何用J 数学 基础知识. 2005； 3高未平，陈国权. 数列中用放缩法证明向量例析C.新编中学数学解题方 法全书. 2006； 4陈斌.放缩法与数列不等式M.高考数学 理科 应试诀窍 . 2006 5罗风阳，在放缩法证明中怎样才能放缩适度M.