高三数学一轮复习 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系课件 .ppt

第三节空间点 直线 平面之间的位置关系 知识梳理 1 平面的基本性质 两点 不在一条直线 这条直线外 的一点 相交 平行 有且只有 一条 2 空间直线的位置关系 1 位置关系分类 异面直线 不同在 内 没有公共点 位置关系 共面直线 直线 同一平面内 有且只有一个公共点 直线 同一平面内 没有公共点 相交 平行 任何一个平面 2 平行公理和等角定理 平行公理 平行于同一条直线的两条直线 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 3 异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线a b 经过空间任一点o作直线a a b b 把a 与b 所成的 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 异面直线所成角的范围 平行 相等或互补 锐角 或直角 3 空间直线与平面 平面与平面的位置关系 1 0 无数 0 无数 考点自测 1 思考 给出下列命题 如果两个不重合的平面 有一条公共直线a 就说平面 相交 并记作 a 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于过a点的任意一条直线 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于a点 并记作 a 两个平面abc与dbc相交于线段bc 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 其中正确的是 a b c d 解析 选d 根据平面的性质公理3可知 对 对于 其错误在于 任意 二字上 对于 错误在于 a上 对于 应为平面abc和平面dbc相交于直线bc 两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面 所以 正确 2 2013 安徽高考 在下列命题中 不是公理的是 a 平行于同一个平面的两个平面相互平行b 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面c 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在此平面内d 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解析 选a 因为b c d是经过人类长期反复的实践检验是真实的 不需要由其他判断加以证明的命题和原理 是公理 而a平行于同一个平面的两个平面平行是定理而不是公理 3 2014 台州模拟 对于空间中的两条直线 这两条直线为异面直线 是 这两条直线没有公共点 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选a 若两条直线异面 则一定无公共点 两条直线无公共点时 这两条直线可能平行 故选a 4 直线a b c两两平行 但不共面 经过其中两条直线的平面的个数为 a 1b 3c 6d 0 解析 选b 如图所示 可知有3个平面 5 2014 石家庄模拟 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab ad的中点 则异面直线b1c与ef所成的角的大小为 解析 连接bd b1d1 如图所示 易证ef bd bd b1d1 故 cb1d1就是异面直线b1c与ef所成的角或所成角的补角 连接d1c知 cb1d1为正三角形 故b1c与ef所成的角为60 答案 60 考点1平面的基本性质及其应用 典例1 1 给出以下命题 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点a b c d共面 点a b c e共面 则点a b c d e共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 正确命题的个数是 a 0b 1c 2d 3 2 2014 宁波模拟 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab和aa1的中点 求证 e c d1 f四点共面 解题视点 1 根据确定平面的公理及推论进行判断 2 根据中位线定理可证明ef cd1 即可证得结论 规范解答 1 选b 假设其中有三点共线 则该直线和直线外的另一点确定一个平面 这与四点不共面矛盾 故其中任意三点不共线 所以 正确 从条件看出两平面有三个公共点a b c 但是若a b c共线 则结论不正确 对于 b与c可能异面 不正确 不正确 因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上 如空间四边形 2 如图 连接cd1 ef a1b 因为e f分别是ab和aa1的中点 所以ef a1b且ef a1b 又因为a1d1 bc 且a1d1 bc 所以四边形a1bcd1是平行四边形 所以a1b cd1 所以ef cd1 即ef与cd1确定一个平面 且e f c d1 即e c d1 f四点共面 互动探究 本例第 2 题的条件不变 如何证明 ce d1f da交于一点 证明 由例题解析可知 ef cd1 且ef cd1 所以四边形cd1fe是梯形 所以ce与d1f必相交 设交点为p 如图 则p ce 平面abcd 且p d1f 平面a1add1 又因为平面abcd 平面a1add1 ad 所以p ad 所以ce d1f da交于一点 规律方法 1 证明空间点共线问题的方法 1 公理法 一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点 再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上 2 纳入直线法 选择其中两点确定一条直线 然后证明其余点也在该直线上 2 点 线共面的常用判定方法 1 纳入平面法 先确定一个平面 再证明有关点 线在此平面内 2 辅助平面法 先证明有关的点 线确定平面 再证明其余元素确定平面 最后证明平面 重合 3 反证法 提醒 在选择已知条件确定平面时 要看其余的点或线在确定的平面内是否能证明 变式训练 如图 空间四边形abcd中 e f分别是ab ad的中点 g h分别在bc cd上 且bg gc dh hc 1 2 1 求证 e f g h四点共面 2 设eg与fh交于点p 求证 p a c三点共线 证明 1 因为e f分别为ab ad的中点 所以ef bd 在 bcd中 则gh bd 所以ef gh 所以e f g h四点共面 2 因为eg fh p p eg eg 平面abc 所以p 平面abc 同理p 平面adc 则p为平面abc与平面adc的公共点 又平面abc 平面adc ac 则p ac 所以p a c三点共线 加固训练 1 2013 江西高考 如图 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上 且ab cd 正方体的六个面所在的平面与直线ce ef相交的平面个数分别记为m n 那么m n a 8b 9c 10d 11 解析 选a 取cd中点g 连接eg fg 可知cd 平面efg 因为ab cd 所以ab 平面efg 容易知道平面efg与正方体的左右两个侧面平行 所以ef与正方体的两个侧面平行 观察可知n 4 又正方体的底面与正四面体的底面共面 所以过点a可作ah ce 易知ce与正方体的上底面平行 在下底面内 与其他四个面相交 所以m 4 即得m n 8 2 如图 已知正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为d1c1 c1b1的中点 ac bd p a1c1 ef q 求证 1 d b f e四点共面 2 若a1c交平面dbfe于r点 则p q r三点共线 证明 1 连接b1d1 因为e f分别为d1c1 c1b1的中点 所以ef d1b1 又d1b1 db 则ef db 所以d b f e四点共面 2 因为ac bd p a1c1 ef q 所以p 平面dbfe p 平面a1acc1 q 平面dbfe q 平面a1acc1 又a1c 平面dbfe r 所以r 平面dbfe r 平面a1acc1 所以p q r在平面dbfe与平面a1acc1的交线上 因此p q r三点共线 考点2空间直线的位置关系 典例2 1 2014 新乡模拟 已知m n为异面直线 m 平面 n 平面 l 则l a 与m n都相交b 与m n中至少一条相交c 与m n都不相交d 与m n中的一条直线相交 2 如图所示 正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是a1b1 b1c1的中点 问 am和cn是否是异面直线 说明理由 d1b和cc1是否是异面直线 说明理由 解题视点 1 采用反证法进行判断 2 通过说明mn ac 说明am cn共面 从而判断 由图易判断d1b和cc1是异面直线 可用反证法证明 规范解答 1 选b 若m n都不与l相交 因为m n l 所以m l n l 所以m n l 这与m n为异面直线矛盾 故l与m n中至少一条相交 2 不是异面直线 理由 连接mn a1c1 ac 因为m n分别是a1b1 b1c1的中点 所以mn a1c1 又因为a1ac1c 所以a1acc1为平行四边形 所以a1c1 ac 所以mn ac 所以a m n c在同一平面内 故am和cn不是异面直线 是异面直线 理由 因为abcd a1b1c1d1是正方体 所以b c c1 d1不共面 假设d1b与cc1不是异面直线 则存在平面 使d1b 平面 cc1 平面 所以d1 b c c1 这与b c c1 d1不共面矛盾 所以假设不成立 即d1b和cc1是异面直线 易错警示 反证法证直线异面如本例 2 中用反证法证明异面 不论是从共面的角度 还是从平行 相交的角度否定 都要说清楚 得出矛盾 规律方法 异面直线的判定方法 1 判定定理 平面外一点a与平面内一点b的连线和平面内不经过点b的直线是异面直线 2 反证法 先假设两条直线不是异面直线 即两条直线平行或相交 由假设出发 经过严格的推理 导出矛盾 从而否定假设 肯定两条直线异面 此法在异面直线的判定中经常用到 变式训练 2014 丽水模拟 l1 l2 l3是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 a l1 l2 l2 l3 l1 l3b l1 l2 l2 l3 l1 l3c l1 l2 l3 l1 l2 l3共面d l1 l2 l3共点 l1 l2 l3共面 解析 选b 因为线线垂直不具有传递性 所以选项a错误 易知选项b正确 当l1 l2 l3为三棱柱的三条侧棱时 l1 l2 l3就不共面 所以选项c错误 当l1 l2 l3为三棱锥的三条侧棱时 l1 l2 l3就不共面 所以选项d错误 加固训练 1 用a b c表示三条不同的直线 表示平面 给出下列命题 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c 若a b 则a b 若a b 则a b 其中真命题的序号是 a b c d 解析 选c 平行关系的传递性 举反例 在同一平面 内 a b b c 有a c 举反例 如图的长方体中 a b 但a与b相交 垂直于同一平面的两直线互相平行 故 正确 2 2013 唐山模拟 如果两条异面直线称为 1对 那么在正方体的十二条棱中共有异面直线 a 12对b 24对c 36对d 48对 解析 选b 如图所示 与ab异面的直线有b1c1 cc1 a1d1 dd1四条 因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱 排除两棱的重复计算 共有异面直线 24 对 3 如图所示 正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别为棱c1d1 c1c的中点 有以下四个结论 直线am与cc1是相交直线 直线am与bn是平行直线 直线bn与mb1是异面直线 直线am与dd1是异面直线 其中正确的结论为 注 把你认为正确的结论序号都填上 解析 因为点a在平面cdd1c1外 点m在平面cdd1c1内 直线cc1在平面cdd1c1内 cc1不过点m 所以am与cc1是异面直线 故 错 取dd1中点e 连接ae 则bn ae 但ae与am相交 故 错 因为b1与bn都在平面bcc1b1内 m在平面bcc1b1外 bn不过点b1 所以bn与mb1是异面直线 故 正确 同理 正确 故填 答案 考点3异面直线所成的角 考情 从近几年的高考试题来看 异面直线所成的角是高考的热点 题型既有选择题又有填空题 也有解答题 难度为中低档题 客观题主要考查异面直线所成的角 主观题较全面考查立体几何的有关知识 异面直线所成的角的求法等 高频考点通关 典例3 1 2014 宁波模拟 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别为a1b1 bb1的中点 则异面直线am与cn所成角的余弦值为 2 2014 广州模拟 已知三棱锥a bcd中 ab cd 且直线ab与cd成60 角 点m n分别是bc ad的中点 求直线ab和mn所成的角 解题视点 1 由m n分别为a1b1 bb1的中点 可取ab的中点e eb的中点f 利用直线平行的传递性 确定异面直线am与cn所成的角 2 取ac的中点p 连接pm 连接pn 得ab与cd所成的角 得ab与mn所成的角 规范解答 1 选d 如图 取ab的中点e 连接b1e 则am b1e 取eb的中点f 连接fn 则b1e fn 因此am fn 连接cf 则直线fn与cn所夹锐角或直角为异面直线am与cn所成的角 设ab 1 在 cfn中 由余弦定理cos cos cnf 2 如图 取ac的中点p 连接pm pn 则pm ab 且pm ab pn cd 且pn cd 所以 mpn为ab与cd所成的角 或其补角 则 mpn 60 或 mpn 120 若 mpn 60 因为pm ab 所以 pmn是ab与mn所成的角 或其补角 又因为ab cd 所以pm pn 则 pmn是等边三角形 所以 pmn 60 即ab和mn所成的角为60 若 mpn 120 则易知 pmn是等腰三角形 所以 pmn 30 即ab和mn所成的角为30 综上 直线ab和mn所成的角为60 或30 通关锦囊 特别提醒 求异面直线所成的角应注意角的范围是其余弦值一定为非负 关注题型 通关题组 1 2014 温州模拟 直三棱柱abc a1b1c1中 若 bac 90 ab ac aa1 则异面直线ba1与ac1所成的角等于 a 30 b 45 c 60 d 90 解析 选c 分别取ab aa1 a1c1的中点d e f 则ba1 de ac1 ef 所以异面直线ba1与ac1所成的角为 def 或其补角 设ab ac aa1 2 则de ef df 由余弦定理得 cos def 则 def 120 从而异面直线ba1与ac1所成的角为60 2 2014 金华模拟 如图所示 在正三棱柱abc a1b1c1中 d是ac的中点 aa1 ab 则异面直线ab1与bd所成的角为 解析 如图所示 取a1c1的中点d1 连接b1d1 由于d是ac的中点 所以b1d1 bd 所以 ab1d1即为异面直线ab1与bd所成的角或其补角 连接ad1 设ab a 则aa1 a 所以在 ab1d1中 由余弦定理得cos ab1d1 所以 ab1d1 60 所以异面直线ab1与bd所成的角为60 答案 60 3 2014 宁波模拟 一个正方体纸盒展开后如图所示 在原正方体纸盒中有如下结论 ab ef ab与cm所成的角为60 ef与mn是异面直线 mn cd 以上四个命题中 正确命题的序号是 解析 由展开后的图形可还原成如图所示的纸盒 显然ab ef 所以 正确 ab cm 所以 错误 由异面直线的定义可知 ef与mn是异面直线 所以 正确 同理mn与cd也是异面直线 且所成角为90 所以 错误 答案 加固训练 1 2014 惠州模拟 如图是三棱锥d abc的三视图 点o在三个视图中都是所在边的中点 则异面直线do和ab所成角的余弦值等于 解析 选a 由题意得如图的直观图 从a出发的三条线段ab ac ad两两垂直且ab ac 2 ad 1 o是bc中点 取ac中点e 连接de do oe 则oe 1 又可知ae 1 由于oe ab 故 doe即为所求两异面直线所成的角或其补角 在直角三角形dae中 de 由于o是中点 在直角三角形abc中可以求得ao 在直角三角形dao中可以求得do 在三角形doe中 由余弦定理得cos doe 故所求余弦值为 2 2014 成都模拟 若两条异面直线所成的角为60 则称这对异面直线为 黄金异面直线对 在连接正方体各顶点的所有直线中 黄金异面直线对 共有对 解析 正方体如图 若要出现所成角为60 的异面直线 则直线需为面对角线 以ac为例 与之构成黄金异面直线对的直线有4条 分别是a b bc a d c d 正方体的面对角线有12条 所以所求的黄金异面直线对共有 24对 每一对被计算两次 所以记好要除以2 答案 24 3 2013 长沙模拟 如图 在正三角形abc中 d e f分别为各边的中点 g h分别为de af的中点 将 abc沿de ef df折成正四面体p def 则四面体中异面直线pg与dh所成的角的余弦值为 解析 如图 连接he 取he的中点k 连接gk pk 则gk dh 故 pgk即为所求的异面直线所成的角或者其补角 设这个正四面体的棱长为2 在 pgk中 故cos pgk 即异面直线pg与dh所成的角的余弦值是答案 巧思妙解8 巧用补形法求异面直线所成的角 典例 2014 银川模拟 如图长方体