探究简谐运动特征.doc

1 有关弹簧问题中应用简谐 运动特征的解题技巧 弹簧振子的运动具有周期性和对称性 因而很 容易想到在振动过程中一些物理量的大小相等 方 向相同 是周期性出现的 而经过半个周期后一些 物理量则是大小相等 方向相反 但是上面想法的 逆命题是否成立的条件是 此弹簧振子的回复力 和位移符合 x指离开平衡位置的位移 kxF 选择开始计时的位置是振子的平衡位置或左 右 最大位移处 若开始计时不是选择在这些位置 则 结果就显而易见是不成立的 在这里就水平弹簧振子和竖直弹簧在作简谐运 动过程中应用其特征谈一谈解题技巧 把复杂的问 题变简单化 从而消除学生的一种碰到弹簧问题就 无从入手的一种恐惧心理 一 弹簧振子及解题方法一 弹簧振子及解题方法 在判断弹簧振子的运动时间 运动速度及加速 度等一些物理量时所取的起始位置很重要 在解题 方法上除了应用其规律和周期性外 运用图象法解 会使问题更简单化 例 1 一弹簧振子做简谐运动 周期为 T 则正 确的说法是 A 若 t 时刻和 t t 时刻振子运动位移的 大小相等 方向相同 则 t 一定等于 T 的整数倍 B 若 t 时刻和 t t 时刻振子运动速度大 小相等 方向相反 则 t 一定等于的整数倍 2 T C 若 t T 则在 t 时刻和 t t 时刻振 子运动的加速度一度相等 D 若 t 则在 t 时刻和 t t 时刻 2 T 弹簧的长度一定相等 解法一 如图 1 为一个弹簧振子的示意图 O 为平衡位置 B C 为 两侧最大位移处 D 是 C O 间任意位 置 对于 A 选项 当振子由 D 运动到 B 再回到 D 振子两次在 D 处位移大小 方向都相同 所经历的 时间显然不为 T A 选项错 对于 B 选项 当振子由 D 运动到 B 再回到 D 振子两次在 D 处运动速度大小相等 方向相反 但 经过的时间不是 可见选项 B 错 2 T 由于振子的运动具有周期性 显然加速度也是 BODC 图 1 2 如此 选项 C 正确 对于选项 D 振子由 B 经过 O 运动到 C 时 经 过的时间为 但在 B C 两处弹簧长度不等 选 2 T 项 D 错 正确答案选 C 解法二 本题也可利用弹簧振子做简谐运动的 图象来解 如图 2 所示 图中 A 点与 B E F I 等点的振动位移大小相等 方向相同 由图可见 A 点与 E I 等点对应的时刻差为 T 或 T 的整数倍 A 点与 B F 等点对应的时刻差不为 T 或 T 的整数倍 因此选项 A 不正确 用同样的方法很容易判断出选 项 B D 也不正确 故只有选项 C 正确 说明 说明 比较两时刻的振动情况或根据两时刻的振动 情况确定两时刻间的时间间隔跟周期的关系时 借助振动 图象可以较方便而准确地作出判断 二 利用弹簧振子作简谐运动过程中的位移 二 利用弹簧振子作简谐运动过程中的位移 能量变化特征来巧解题能量变化特征来巧解题 例 2 物体 A 与滑块 B 一起在光 滑水平面上做简谐 振动 如图所示 A B 之间无相对滑动 已知轻质 弹簧的劲度系数 k A B 的质量分别 m 和 M 则 A B 看成一个振子 的回复力由 提供 回复 力跟位移的比为 物体 A 的回复力由 提供 其回复力跟位移的比为 若 A B 之间 的静摩擦因数为 则 A B 间无相对滑动的最大 振幅为 解析 因水平面光滑 平衡位置在弹簧原长 处 A B 作为整体 水平方向只受弹簧弹力 故 由牛顿第二定律得 KxF amMF x mM k a 对于 A 物体 水平方向只受 B 对 A 的静摩擦力 Ff 故 Ff即为 A 的回复力 由于 A B 间无相对滑 动 所以任何时候 A 与 B 的位移 x 和加速度 a 都相 同 故有和 kxF x mM mk maFf 当时 k mM m K mgFF ff max max xx k gmM x max 例 3 2004 年石家庄市试题 如图所示 一 轻弹簧的左端固定 在竖直墙上 右端 与质量为 M 的滑块 相连 组成弹簧振子 在光滑的水平面上做简谐运 动 当滑块运动到右侧最大位移处时 在滑块上轻 轻放上一木块组成新振子 继续做简谐运动 新振 A 图 2 B E F I t C D G H O s B A M m 3 子的运动过程与原振子的运动过程相 比 A 新振子的最大速度比原振子的最大速度小 B 新振子的最大动能比原振子的最大动能小 C 新振子的振动周期比原振子的振动周期大 D 新振子的振幅比原振子的振幅小 解析 滑块振动到最大位移处加放木块 相当 于增大滑块质量后从最大位移处由静止释放 振动 过程中总能量不变 振动过程中仍能恰好到达该位 置 即振幅不变 振子的最大弹性势能不变 由简 谐运动中机械能守恒 故振子的最大动能不变 但 最大速度变小 因振子质量变大了 可见选项 A 对 BD 错 又由周期随振子质量增大而增大 故知 选项 C 正确 注 注 若改为 当滑块运动到平衡位置时 在滑块上 轻轻放上一木块组成新振子 那由于碰撞使总机械能减 小 例 4 一根用绝 缘材料制成的轻弹 簧 劲度系数为 k 一端固定 另一端与质量为 m 带正电荷 电量为 q 的小球相连 静止在光滑绝缘水平面上 当施加 水平向右的匀强电场 E 后 如图所示 小球开始做 简谐运动 关于小球的运动有如下说法 正确的是 填序号 球的速度为零时 弹簧伸长qE k 球做简谐运动的振幅为qE k 运动过程中 小球的机械能守恒 运动过程中 小球动能改变量 弹性势能改 变量 电势能改变量的代数和为零 解析 由水平面光滑施加水平向右的匀强电场 E 而 q 带正电 故平衡位置在原长右边 当 qE kx0 设此时弹簧伸长 x0 时 此时球 k Eq x 0 的速度最大 故 错 弹簧原长时速度为 0 故振 幅 正确 由简谐运动的对称性可知 k Eq x 0 弹簧最大伸长量为 2x0 又由于电场力做功 所以机 械能不守恒 错 由动能定理 故 kkk EEEW 12电场弹簧 WWW 正确 例 5 如图所示 在光滑的水平面上 有一绝缘的弹簧振子 小球带负电 在振动过程中当弹簧压缩到最短时 突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场 此 后 A 振子的振幅将增大 B 振子的振幅将减小 E 4 C 振子的振幅将不变 D 因不知电场强度的大小 所以不能确定振 幅的变化 解析 未加电场时 振子的平衡位置在弹簧原 长处 振子的振幅大小为释放处与弹簧原长处之间 的距离 加电场后 振子平衡位置右移 振幅大小 等于释放振子处与新的平衡位置间的距离 可见加 电场后振子的振幅将增大 即选项 A 对 注 注 若改为 振动未过程中当弹簧伸长到最长时 突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场 展开讨论 三 竖直弹簧振子作简谐运动过程中应用其特三 竖直弹簧振子作简谐运动过程中应用其特 征巧妙解题 从而使复杂问题简单化征巧妙解题 从而使复杂问题简单化 例 6 2005 年海淀 区试题 如图所示 轻弹 簧下端固定在水平地面上 弹簧位于竖直方向 另一 端静止于 B 点 在 B 点 正上方 A 处 有一质量为 m 的物块 物块从静止开 始自由下落 物块落在弹簧上 压缩弹簧 到达 C 点时 物块的速度为零 如果弹簧的形变始终未超 过弹性限度 不计空气阻力 下列判断正确的是 A 物块在 B 点时动能最大 B 从 A 经 B 到 C 再由 C 经 B 到 A 的全过程 中 物块的加速度的最大值大于 g C 从 A 经 B 到 C 再由 C 经 B 到 A 的全过程 中 物块做简谐运动 D 如果将物块从 B 点静止释放 物块仍能到 达 C 点 解析 物块与弹簧接触后 在弹力等于重力之 前仍向下做加速运动 故物块在 B 点的速度 动能 都未能达到最大 可见选项 A 错 若将物块从 B 处 由静止释放 则此时加速度最大为 g 由振动的对 称性知 物块下降到最低点时向上的加速度大小也 为 g 今从 A 处释放 到达 B 时已具有一定的初速 度 故所能下降的最低点肯定在由 B 释放时所能达 到的最低点之下 弹簧向上的弹力大于由 B 处释放 时的情况 此时的加速度大于 g 即选项 B 正确 且也知 D 错误 另外 由于物块在 A B 间运动时 受恒定的重力作用 不符合简谐运动的动力学特征 故其振动不是简谐运动 可见选项 C 错kxF 误 答案 B 例 7 劲度系数为 k 的轻质弹簧 下端挂一个 质量为 m 的小球 小球静止时距地面高为 h 用力 向下拉小球 使小球与地面接触 而后从静止放开 小球 弹簧始终在弹性限度以内 则 A 球在运动过程中距地面的最大高度为 2h A B C 5 B 球在上升过程中弹性势能不断减小 C 球距地面高度为 h 时 速度最大 D 球在运动过程中的最大加速度是 kh m 解析 首先证明其运动为简谐运动 由平衡时 mg kx0 x0为弹簧伸长量 和下拉 h 后弹力 取竖直向下为正 回复力 01 hxkF 符合简谐mgFF 1 khmghxk 0 运动条件 振幅为 由简谐运动的hxhx 00 对称性可知 A 正确 球在上升过程中在弹簧恢复 原长之前弹性势能减小 但在弹簧原长时若小球还 有向上速度 小球将继续压缩弹簧 故 B 只是一种 可能 由于一开始为平衡位置 故 C 正确 由 故 D 正确 max maF 例 8 如图所示 质量为 m 的木 块放在弹簧上 与弹簧一起在竖直方 向上做简谐运动 当振幅为 A 时 物 体对弹簧的最大压力是物体重力的 1 5 倍 则物体对弹簧的最小压力是 多大 要使物体在振动中不离开弹簧 振幅最大为 A 的多少倍 解析 平衡位置处 mg kx0 x0为弹簧压缩量 最低点时弹力 F 1 5mg kx1 振幅 A x1 x0 由简谐运动的对称性可知 最高点时弹簧 k mg5 0 压缩量为 k mg k mg k mg Axx 5 05 0 02 物体在最高点时弹簧压缩最小 故对弹簧压力最小 所以最小压力为 mgkxF5 0 2min 要使物体在振动过程中不离开弹簧 物体到最 高点时对弹簧没有压力 即弹簧为原长处 故最大 振幅为 A k mg xA20 0 例 9 如图所示 三 角架质量为 M 沿其中轴 线用两根轻弹簧拴一质量 为 m 的小球 原来三角架 静止在水平面上 现使小球做上下振动 已知三角 架对水平面的压力最小为零 求 1 此时小球的瞬时加速度 2 若上 下两弹簧的劲度系数均为 k 则小 球做简谐运动的振幅为多少 解析 1 当小球上下振动过程中 三角架对 水平面的压力最小为零 则此时上下两根弹簧对三 角架的作用力大小为 Mg 方向向上 小球此时受弹 簧的弹力大小为 Mg 方向向下 故小球所受合力为 方向向下 小球此时运动到上面最高点 g Mm 即位移大小等于振幅处 根据牛顿第二定律 小球 的瞬时加速度的最大值为 加速 m gmM am 度方向为竖直向下 m mM 6 2 小球由平衡位置上升至最高点时 上面的 弹簧 相当于压缩 x 对小球会产生向下的弹力 kx 下面的弹簧 相当于伸长 x 会对小球产生向下 的弹力 kx 两根弹簧对小球的作用力为 2kx 故 小时平衡位置处 上面弹簧 相当于伸 k Mg x 2 长 x0 对小球会产生向上的弹力 kx0 下面的弹 kx0 簧 相当于压缩 x0 对小球会产生向上的弹力 kx0 2kx0 mg 故振幅 k mg x 2 0 k gmM xxA 2 0 在弹簧问题中 综合运用运动学 动力学和能 的转化等方面的知识 学生在学习这些问题时 往 往会出错 如果能运用其运动规律解题 那许多问 题都会迎刃而解 2 巧用加速度的对称性 例 2 如图 2 所示 小球从竖直立在地面上的轻弹 簧的正上方某处自由下落 接触弹簧后将弹簧压缩 全过程中弹簧为弹性形变 试比较弹簧压缩到最大 时的加速度 a 和重力加速度 g 的大小 图 2 解析 小球和弹簧接触后做简谐运动 如图 2 所示 点 B 为弹簧为原长时端点的位置 小球的重力与弹 簧的弹力的大小相等的位置 O 为平衡位置 点 A 为 弹簧被压缩至最低点的位置 也就是小球做简谐振 动的最大位移处 点 A 为与 A 对称的位移 也 是最大位移处 由对称性可知 小球在点 A 和点 A 的加速度的大小相等 设为 a 小球在点 B 的加 速度为 g 由图点 B 在点 A 和点 O 之间 所以 例 3 如图 3 所示 质量为 m 的物体放在质量为 M 的平台上 随平台在竖直方向上做简谐运动 振幅 为 A 运动到最高点时 物体 m 对平台的压力恰好 为零 当 m 运动到最低点时 求 m 的加速度 图 3 解析 我们容易证明 物体 m 在竖直平面内做简谐 运动 由小球运动到最高点时对 M 的压力为零 即 知道物体 m 在运动到最高点时的加速度为 g 由简 谐运动的对称性知道 物体 m 运动到最低点时的加 速度和最高点的加速度大小相等 方向相反 故小 球运动到最低点时的加速度大小为 g 方向竖直向 上 例 4 如图 4 所示 轻弹簧 劲度系数为 k 的下端 固定在地面上 其上端和一质量为 M 的木板 B 相连 接 在木板 B 上又放有一个质量为 m 的物块 P 当 系统上下振动时 欲使 P B 始终不分离 则轻弹簧 的最大压缩量为多大 图 4 解析 从简谐运动的角度看 木板 B 和物块 P 的总 重力与弹簧弹力的合力充当回复力 即 从简单连接体的角度看 系统受到的合外力产生了 系统的加速度 a 即 由以上两式 可解为 当 P 和 B 在平衡位置下方 时 系统处于超重状态 P 不可能和 B 分离 因此 P 和 B 分离的位置一定在上方最大位移处 且 P 和 B 一起运动的最大加速度 由加速度的对称 7 性可知弹簧压缩时最大加速度也为 所以轻 弹簧的最大压缩量应满足关系式 即得 3 巧用速度的对称性 例 5 如图 5 所示是一水平弹簧振子在 5s 内的振动 图象 从图象中分析 在给定的时间内 以 0 5s 为 起点的哪段时间内 弹力所做的功为零 图 5 解析 由速度的对称性可知 图 5 中与 0 5s 具有相 同速率的时刻为 1 5s 2 5s 3 5s 4 5s 结合动 能定理可知 从 0 5s 到以上时刻所对应的时间内弹 力所做的功均为零 4 巧用回复力的对称性 例 6 如图 6 所示 在质量为 M 的无下底的木箱顶 部用一轻弹簧悬挂质量均为的 A B 两物 块 箱子放在水平地面上 平衡后剪断 A B 间细线 此后 A 将做简谐运动 当 A 运动到最高点时 木箱 对地面的压力为 图 6 A Mg B C D 解析 剪断细线后的瞬间 弹簧对 A 的弹力为 所以 A 受到向上的合外力 回复力 为 mg 当 A 运动到上方最大位移处时 由于简谐运动 的回复力的对称性 A 将受到竖直向下的合外力 回复力 其大小仍为 mg 也就是说 此时弹簧 中没有弹力 所以木箱对地面的压力为 Mg 选项 A 正确 例 7 如图 7 所示 质量为 m 的木块放在弹簧上端 在竖直方向上做简谐运动 当振幅为 A 时 物体对 弹簧的压力的最大值是物体重力的 1 5 倍 则物体 对弹簧的最小压力是 欲使物体在 弹簧振动中不离开弹簧 其振幅不能超过 图 7 分析与解答 物体对弹簧压力最大应是物体振动到 最低点时 最小应是物体振动到最高点时 对物体 进行受力分析 在最低点受两个力 重力和弹簧弹 力 根据题中信息可知这两个力的合力大小为 0 5mg 方向向上 充当回复力 根据力大小的对称 性可知 物体振动到最高点时 回复力大小也应为 0 5mg 方向向下 则物体在最高点所受弹簧的弹力 应为 0 5mg 方向向上 根据牛顿第三定律物体对 弹簧的最小压力为 0 5mg 物体脱离弹簧时应是弹 簧恢复到自由伸长时 根据弹力 F 可知 在 原来的基础上弹簧再伸长一个振幅 A 就可恢复到原 长 所以欲使物体不离开弹簧 其振幅不能超过 2A 例 8 如图 8 用质量不计的弹簧把质量