高考数学总复习 第七章 第十二节空间直角坐标系课件 理.ppt

第十二节直线与圆锥曲线的位置关系 第七章平面解析几何 考纲要求 1 了解圆锥曲线的实际背景 了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 2 了解圆锥曲线的简单应用 会对直线与圆锥曲线的位置关系进行探究 3 理解数形结合的思想 课前自修 知识梳理 一 直线与圆锥曲线的位置关系设直线l的方程为g x y 0 圆锥曲线c的方程为f x y 0 联立方程组消去其中一个变量如y 得到关于x的二次方程t x 0 一般为二次方程 设其判别式为d 则有1 相交 1 d 0 直线与椭圆相交 2 d 0 直线与双曲线相交 但直线与双曲线相交不一定有d 0 当直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交且只有一个交点 故d 0是直线与双曲线相交的充分条件 但不是必要条件 3 d 0 直线与抛物线相交 但直线与抛物线相交不一定有d 0 当直线与抛物线的对称轴平行时 直线与抛物线相交且只有一个交点 故d 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件 但不是必要条件 2 相切 d 0 直线与椭圆相切 d 0 直线与双曲线相切 d 0 直线与抛物线相切 3 相离 d 0 直线与椭圆相离 d 0 直线与双曲线相离 d 0 直线与抛物线相离 特别注意 1 直线与双曲线 抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形 相切和相交 如果直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交 但只有一个交点 如果直线与抛物线的对称轴平行时 直线与抛物线相交 也只有一个交点 2 过双曲线 1外一点p x0 y0 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下 点p在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时 有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线 共四条 点p在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线 共四条 点p在两条渐近线上但非原点 只有两条 一条是与另一渐近线平行的直线 一条是切线 点p为原点时不存在这样的直线 3 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点 两条切线和一条平行于对称轴的直线 二 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质1 以过焦点的弦为直径的圆和准线相切 2 设ab为焦点弦 m为准线与x轴的交点 则 amf bmf 3 设ab为焦点弦 a b在准线上的射影分别为a1 b1 若p为a1b1的中点 则pa pb 4 若ao的延长线交准线于c 则bc平行于x轴 反之 若过b点平行于x轴的直线交准线于c点 则a o c三点共线 特别注意 因为d 0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件 故在求解有关弦长 对称问题时 务必别忘了检验d 0 总之在解决直线与圆锥曲线公共点问题 相交弦问题以及它们的综合应用问题 常常要转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题 对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用 设而不求 涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式 基础自测 1 2012 东莞市一模 点p是抛物线y2 4x上一动点 则点p到点a 0 1 的距离与到直线x 1的距离和的最小值是 a b c 2d 解析 抛物线的焦点为f 1 0 设点p到直线x 1的距离为d 则根据抛物线的定义有 pf d 要使 pa d最小 则必须a p f三点共线 此时最小值为 af 故选d 答案 d 2 直线 1与椭圆 1相交于a b两点 椭圆上的点c使 abc的面积等于12 这样的点c共有 a 1个b 2个c 3个d 4个 b 3 2012 揭阳市模拟 过椭圆 1 a b 0 的左顶点a且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为m 与y轴的交点为b 若 am mb 则该椭圆的离心率为 解析 由题意知a点的坐标为 a 0 l的方程为y x a b点的坐标为 0 a 故m点的坐标为 代入椭圆方程得a2 3b2 c2 2b2 e 答案 考点探究 考点一 直线与圆锥曲线的公共点个数 例1 已知直线y a 1 x 1与曲线y2 ax恰有一个公共点 求实数a的值 思路点拨 首先考虑曲线y2 ax是否是抛物线 当a 0时 是直线y 0 因此要对a进行讨论 然后就a 0时 联立直线与抛物线组成的方程组进行求解 点评 本题设计了两个思维陷阱 第一个就是同学们在审题的过程中往往忽视a 0的情况 误认为y2 ax对应的曲线就是抛物线 第二个是在解答的过程中不讨论二次项系数 0 即a 1的可能 从而漏掉两个解 另外 在研究直线与圆锥曲线的位置关系时 应特别注意d 0并不是直线与曲线有且只有一个公共点的充要条件 事实上 求曲线与曲线的交点的个数 就是它们的方程组成的方程组解的个数 在具体解方程时 需要比较消去x与消去y哪个简单 从而选择恰当的消参方式 还要注意d 0只是直线与曲线有且只有一个公共点的充分不必要条件 变式探究 1 2012 荆州市检测 过点 0 1 作直线 使它与抛物线y2 4x仅有一个公共点 这样的直线有 a 1条b 2条c 3条d 4条 解析 结合图形分析可知 满足题意的直线共有3条 直线x 0 过点 0 1 且平行于x轴的直线以及过点 0 1 且与抛物线相切的直线 故选c 答案 c 考点二 直线与圆锥曲线相交问题 例2 2011 湖南卷 如图所示 椭圆c1 1 a b 0 的离心率为 x轴被曲线c2 y x2 b截得的线段长等于c1的长半轴长 1 求c1 c2的方程 2 设c2与y轴的交点为m 过坐标原点o的直线l与c2相交于点a b 直线ma mb分别与c1相交于点d e 证明 md me 记 mab mde的面积分别为s1 s2 问 是否存在直线l 使得 请说明理由 变式探究 2 2012 东北三校联考 已知双曲线方程是x2 1 过定点p 2 1 作直线交双曲线于p1 p2两点 并使p 2 1 为p1p2的中点 则此直线方程是 考点三 圆锥曲线的弦长问题 例3 过点p 1 1 作直线与椭圆 1交于a b两点 若线段ab的中点为p 求直线ab所在的直线方程和线段ab的长度 点评 由点差法可容易求解出直线方程 知道直线方程 借助弦长公式可求出线段ab的长度 本题采用了设而不求的方法 即设点 代入 作差 借助于直线的斜率解题 这种方法称为 点差法 是解析几何解决直线与圆锥曲线问题的常用的技巧之一 应在理解的基础上进行训练 变式探究 3 2012 临沂市二模 抛物线y2 2px与直线2x y a 0交于a b两点 其中点a的坐标为 1 2 设抛物线的焦点为f 则 fa fb 的值等于 a 7b 3c 6d 5 考点四 圆锥曲线中与对称相关的问题 例4 已知椭圆e 1 试确定m的取值范围 使得椭圆e上存在不同的两点关于直线l y 4x m对称 思路点拨 直接设出这两个不同点的坐标 由点的坐标适合椭圆方程 经过这两点的直线斜率的表示 这两点的中点在椭圆内几个已知条件 列出关系式 联立求解m范围 也可以把这两个不同的点所确定直线的方程设出来与椭圆方程联立 运用一元二次方程判别式及韦达定理分析求解 点评 本题把点和直线放在椭圆中考查 又运用了椭圆的有关几何性质 常见有两种思考方法 一是由条件联立方程组整体分析和代换求解 二是应用一元二次方程的判别式及韦达定理 进行分析求解 对于圆锥曲线上存在两点关于某一条直线对称 求有关参数的问题 可以用参数表示弦的中点的坐标 利用中点在曲线的内部和在直线上等条件 建立不等式或不等式组来求出参数的范围 或者利用对称条件求出过这两点的直线方程 利用判断式大于零 建立不等式进行求解 变式探究 4 2012 广东四校第三次联考 已知抛物线c y ax2 a 0 的焦点到准线的距离为 且c上的两点a x1 y1 b x2 y2 关于直线y x m对称 并且x1x2 那么m a b c 2d 3 考点五 圆锥曲线中的定点或定值问题 例5 2011 四川卷 如图所示 椭圆有两顶点a 1 0 b 1 0 过其焦点f 0 1 的直线l与椭圆交于c d两点 并与x轴交于点p 直线ac与直线bd交于点q 1 当 cd 时 求直线l的方程 5 2012 安庆市模拟 已知椭圆c 1 a b 0 的左 右焦点为f1 f2 离心率e 过f1的直线l交椭圆c于a b两点 af2 ab bf2 成等差数列 且 ab 4 1 求椭圆方程 变式探究 2 m n是椭圆上的两点 若线段mn被直线x 1平分 证明 线段mn的中垂线过定点 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题主要涉及位置关系的判定 弦长问题 最值问题 对称问题 轨迹问题等 突出考查了数形结合 分类讨论 函数与方程 等价转化等数学思想 方法 对考生分析问题和解决问题的能力 计算能力的要求较高 选拔的功能很强 容易拉开考生 档次 因此在高考中多以难题 压轴题出现 1 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系 从几何角度可分为三类 无公共点 仅有一个公共点及有两个相异公共点 也可通过代数方法即解方程组的办法来研究 因为直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题 实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题 此时要注意分类讨论及数形结合 2 直线与圆锥曲线的位置关系 主要涉及弦长 弦中点 对称 参量的取值范围 求曲线方程等问题 解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题 常用 韦达定理法 设而不求计算弦长 即应用弦长公式 涉及弦长的中点问题 常用 点差法 设而不求 将弦所在直线的斜率 弦的中点坐标联系起来 相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件 寻找量与量间的关系灵活转化 往往事半功倍 解题的主要规律可以概括为 联立方程求交点 韦达定理求弦长 根的分布找范围 曲线定义不能忘 感悟高考 品味高考 1 2012 新课标全国卷 等轴双曲线c的中心在原点 焦点在x轴上 c与抛物线y2 16x的准线交于a b两点 ab 4 则c的实轴长为 a b 2c 4d 8 2 在平面直角坐标系xoy中 已知椭圆c y2 1 如图所示 斜率为k k 0 且不过原点的直线l交椭圆c于a b两点 线段ab的中点为e 射线oe交椭圆c于点g 交直线x 3于点d 3 m 1 求m2 k2的最小值 2 若 og 2 od oe 求证 直线l过定点 试问点b g能否关于x轴对称 若能 求出此时 abg的外接圆方程 若不能 请说明理由 高考预测 1 设圆c的圆心为双曲线 1 a 0 的右焦点