高考数学总复习 第七章 第五节椭圆(一)课件 理.ppt

第五节椭圆 一 第七章平面解析几何 考纲要求 1 掌握椭圆的定义 几何图形 标准方程及简单几何性质 2 理解数形结合的思想 课前自修 知识梳理 椭圆 焦点 焦距 三 点p x0 y0 和椭圆 1 a b 0 的关系1 点p x0 y0 在椭圆外 2 点p x0 y0 在椭圆上 3 点p x0 y0 在椭圆内 1 1 四 椭圆的标准方程 性质 基础自测 1 2012 长春市模拟 椭圆x2 4y2 1的离心率为 a b c d 2 2012 长沙市调研 中心在原点 焦点在x轴上 若长轴长为18 且两个焦点恰好将长轴三等分 则此椭圆的方程是 3 2012 北京市海淀区模拟 已知椭圆 1 长轴在y轴上 若焦距为4 则m等于 a 4b 5c 7d 8 解析 由题意得m 2 10 m且10 m 0 于是6 m 10 再有 m 2 10 m 22 得m 8 故选d 答案 d 4 2011 安徽江南十校联考 设f1 f2分别是椭圆 1的左 右焦点 p为椭圆上一点 m是f1p的中点 om 3 则点p到椭圆左焦点的距离为 解析 m是f1p的中点 om 3 om pf2 pf2 6 又 pf1 pf2 10 pf1 4 答案 4 考点探究 考点一 椭圆定义的运用 例1 1 椭圆上的点m到焦点f1的距离为2 n为mf1的中点 则 o为坐标原点 的值为 a 4b 2c 8d 2 设f1 f2是椭圆 1的两个焦点 p是椭圆上的点 且 pf1 pf2 4 3 则 pf1f2的面积是 3 设a 2 0 b 2 0 abc的周长为10 则动点c的轨迹方程为 思路点拨 涉及椭圆上的点到焦点的距离时 通常可以根据定义进行转化 往往起到简化解题过程 降低难度的效果 2 由椭圆的定义得 pf1 pf2 2a 7 且 pf1 pf2 4 3 得 pf1 4 pf2 3 又 f1f2 2c 2 5 显然 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 所以 pf1f2是以pf1 pf2为直角边的直角三角形 从而所求 pf1f2的面积为s pf1 pf2 4 3 6 3 因为 ab 4 所以 ac cb 6 4 由椭圆的定义知点c的轨迹是椭圆 其中a 3 c 2 b 但点c a b不能共线 因此y 0 动点c的轨迹方程为 1 y 0 答案 1 a 2 6 3 1 y 0 点评 本题运用了椭圆的定义来解题 椭圆定义是用椭圆上任意一点p到两焦点的距离之和来描述的 定义中 pf1 pf2 2a f1f2 定义能够对一些距离进行相关的转化 往往起到简化解题过程 降低难度的效果 因此在解题过程中 当遇到涉及椭圆上的点到焦点的距离问题时 应先考虑是否能够使用椭圆的定义来解决 变式探究 1 1 椭圆 y2 1的两个焦点为f1 f2 过f1作与x轴垂直的直线与椭圆相交 一个交点为p 则 pf2 等于 a 1b 2c d 2 椭圆 1上的一点p与椭圆的两个焦点f1 f2的连线的夹角为60 则 f1pf2的面积为 考点二 求椭圆的标准方程 例2 分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程 1 焦点在坐标轴上 且经过两点p q 2 经过点 2 3 且与椭圆9x2 4y2 36具有共同的焦点 3 对称轴是坐标轴 o为坐标原点 f是一个焦点 a是一个顶点 若椭圆的长轴长是6 且cos ofa 4 点p在以坐标轴为对称轴的椭圆上 点p到两焦点的距离分别为和 过点p作长轴的垂线 恰好过椭圆的一个焦点 思路点拨 对于 1 由题设条件不能确定椭圆的焦点在哪一坐标轴上 因此应分别设出焦点在x轴 y轴上的标准方程 进行讨论求解 或采用椭圆方程mx2 ny2 1 m 0 n 0 且m n 直接求解 避免讨论 对于 2 由于椭圆9x2 4y2 36的焦点坐标为 0 因而可设所求的椭圆方程为 1 l 0 再由题设条件确定l的值即可 对于 3 注意由椭圆的一个短轴端点 一个焦点 中心o为顶点组成的特征直角三角形 b c a分别是它的直角边和斜边 对于 4 由题设条件设出椭圆的标准方程 求出焦距与长轴长是求解本题的关键 因椭圆的焦点位置未明确在哪个坐标轴上 故应有两种情况 2 2013 北京市模拟 已知椭圆c的中心在原点 一个焦点为f 2 0 且长轴长与短轴长的比是2 求椭圆c的方程 设点m m 0 在椭圆c的长轴上 点p是椭圆上任意一点 当 最小时 点p恰好落在椭圆的右顶点 求实数m的取值范围 变式探究 考点三 利用椭圆定义求点的轨迹方程 例3 一动圆与已知圆o1 x 3 2 y2 1外切 与圆o2 x 3 2 y2 81内切 则动圆圆心的轨迹方程是 解析 两定圆的圆心和半径分别为o1 3 0 r1 1 o2 3 0 r2 9 设动圆圆心为m x y 半径为r 则由题设条件可得 mo1 1 r mo2 9 r mo1 mo2 10 由椭圆的定义知 m在以o1 o2为焦点的椭圆上 且a 5 c 3 b2 a2 c2 25 9 16 故动圆圆心的轨迹方程为 1 点评 若注意利用椭圆的定义解题 常常会起到事半功倍的效果 变式探究 3 已知椭圆的焦点是f1 f2 p是椭圆上的一个动点 如果延长f1p到q 使得 pq pf2 那么动点q的轨迹是 a 圆b 椭圆c 双曲线的一支d 抛物线 解析 pf1 pf2 2a pq pf2 pf1 pf2 pf1 pq 2a 即 f1q 2a 动点q到定点f1的距离等于定长2a 故动点q的轨迹是圆 故选a 答案 a 1 本节重点是椭圆的定义 标准方程及其简单几何性质 难点是理解参数a b c的关系及利用定义解决问题 关键是注意数形结合 函数与方程的思想 等价转化的运用 2 椭圆的定义是解决问题的出发点 如果运用恰当 可收到事半功倍之效 3 特别注意 椭圆方程中的a b c e与坐标系无关 而焦点坐标 准线方程 顶点坐标与坐标系有关 因此确定椭圆方程需要三个条件 两个定形条件a b 一个定位条件 焦点坐标 1 椭圆中有一个十分重要的三角形of1b2 如图所示 它的三边长分别为a b c 易见c2 a2 b2 且若记 of1b2 q 则cosq e 2 椭圆的定义中应注意常数大于 f1f2 因为当平面内的动点与定点f1 f2的距离之和等于 f1f2 时 其动点轨迹就是线段 f1f2 当平面内的动点与定点f1 f2的距离之和小于 f1f2 时 其轨迹不存在 3 椭圆标准方程中两个参数a和b确定了椭圆的形状和大小 两种标准方程中 总有a b 0 椭圆的焦点位置决定标准方程的类型 并且椭圆的焦点总在长轴上 a b c的关系是c2 a2 b2 在方程ax2 by2 c中 只要a b c同号且a b 就是椭圆方程 感悟高考 品味高考 2 如图所示 设p是圆x2 y2 25上的动点 点d是p在x轴上的投影 m为pd上一点 且 md pd 1 当p在圆上运动时 求点m的轨迹c的方程 2 求过点 3 0 且斜率为的直线被c所截线段的长度 高考预测 1 设f1 f2分别是椭圆 1的左 右焦点 p为椭圆上任一点 点m的坐标为 6 4 则 pm pf1 的最大值为 解析 pf1 pf2 10 pf1 10 pf2 pm pf1 10 pm 易知点m在椭圆外 连接mf2并延长交椭圆于点p 此时 pm pf2 取最大值 mf2 故 pm pf1 的最大值为10 mf2 10