高中数学 2.3 等差数列的前n项和课件2 新人教A版必修5.ppt

第二章数列2 3等差数列的前n项和 有一次 老师和高斯经过建筑工地 建筑工地上放着一堆圆木 从上到下每层的数目分别为1 2 3 100 老师问 高斯 你知道共有多少根圆木吗 问题就是 计算1 2 3 99 100 创设情景 高斯的算法 计算 1 2 3 99 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组 第一个数与最后一个数一组 第二个数与倒数第二个数一组 第三个数与倒数第三个数一组 每组数的和均相等 都等于101 50个101就等于5050了 高斯算法将加法问题转化为乘法运算 迅速准确得到了结果 首尾配对相加法 中间的一组数是什么呢 n n 1 n 2 2 1 分析 这其实是求一个具体的等差数列前n项和 启发 倒序相加法 探究 高斯的算法妙处在哪里 这种方法能够推广到一般等差数列的前n项和吗 合作探究 已知等差数列 an 的首项为a1 项数是n 第n项为an 求前n项和sn 如何才能将等式的右边化简 思考 还有别的推导方法吗 已知等差数列 an 的首项为a1 项数是n 第n项为an 求前n项和sn 另解 得 倒序相加法 公式变形 思考 比较这两个公式 如何记忆 从哪些角度反映等差数列性质 等差数列的前n项和的公式 含a1和d 求和公式 含a1和an 公式记忆 公式记忆 对比 我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式 a1 an a1 a1 n 1 d 将图形分割成一个平行四边形和一个三角形 公式应用 练一练 例题讲解 例1 2000年11月14日教育部下发了 关于在中小学实施 校校通 工程的通知 某市据此提出了实施 校校通 工程的总目标 从2001年起用10年的时间 在全市中小学建成不同标准的校园网 据测算 2001年该市用于 校校通 工程的经费为500万元 为了保证工程的顺利实施 计划每年投入的资金都比上一年增加50万元 那么 从2001年起的未来10年内 该市在 校校通 工程中的总投入是多少 分析 找关键句 求什么 如何求 解 依题意得 该市在 校校通 工程的经费每年比上一年增加50万元 所以每年投入的资金构成等差数列 an 且a1 500 d 50 n 10 那么 到2010年 n 10 投入的资金总额为 答 从2001 2010年 该市在 校校通 工程中的总投入是7250万元 例题点评 解决实际问题的步骤 1 仔细阅读题目 审清题意 2 提取相关数学信息 建立数学模型 本题为等差数列模型 3 解决此数学模型所体现的数学问题 本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解 4 还原问题 回到实际问题中作答 易错方面 1 审题不清 如 把前n项和与最后一项混淆 2 项数 3 忘记答或写单位 例题讲解 例2 已知一个等差数列 an 的前10项的和是310 前20项的和是1220 由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗 分析 方程思想和前n项和公式相结合 解 由题意知 s10 310 s20 1220 将它们代入公式 得到 还有其它方法吗 方程思想 一题多解 例2 已知一个等差数列 an 的前10项的和是310 前20项的和是1220 由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗 一题变式 例2变式 已知一个等差数列 an 的前10项的和是310 前20项的和是1220 由这些条件能确定这个等差数列的前30项和的公式吗 另解 由等差数列的性质 可推得 成等差数列 解得 前30项的和为2730 整体思想 点评 上述方法没有列出方程求出具体的个别量 而是恰当地运用数学中的整体思想来快速求出 要注意体会这种思想在数学中的运用 变式提高 整体思想 知识小结 1 等差数列前n项和的公式 2 等差数列前n项和公式的推导方法 3 公式的应用 两个 倒序相加法 知三求一 例题讲解 当n 1时 当n 1时 也满足 式 变式训练 当n 1时 当n 1时 不满足 式 点评 分类讨论思想 深化探究 如果一个数列的前n项和为其中p q r为常数 且p 0 那么这个数列一定是等差数列吗 如果是 它的首项和公差是什么 1 若r 0 则这个数列一定不是等差数列 2 若r 0 则这个数列一定是等差数列 结论 数列是等差数列等价于 常数项为0的关于n的二次型函数 例题讲解 解析 由题意知 等差数列的公差为 于是 当n取与最接近的整数即7或8时 取最大值 函数思想 还有其它方法