高中数学 第2章 推理与证明 2.2.2 间接证明课件 苏教版选修12.ppt

2 2 2间接证明 第2章2 2直接证明与间接证明 学习目标1 了解反证法是间接证明的一种基本方法 2 理解反证法的思考过程 会用反证法证明数学问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 著名的 道旁苦李 的故事 王戎小时候 爱和小朋友在路上玩耍 一天 他们发现路边的一棵树上结满了李子 小朋友一哄而上 去摘李子 独有王戎没动 等到小朋友们摘了李子一尝 原来是苦的 他们都问王戎 你怎么知道李子是苦的呢 王戎说 假如李子不苦的话 早被路人摘光了 而这树上却结满了李子 所以李子一定是苦的 思考 王戎的论述运用了什么论证方法 答案实质运用反证法的思想 答案 知识点间接证明 梳理 1 间接证明 定义 不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立 像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明 常用方法 反证法 2 反证法 基本过程 反证法证明时 要从开始 经过 导致 从而达到 即肯定原命题 否定结论 正确推理 逻辑矛盾 新的否定 证题步骤 反设 假设不成立 即假定原结论的反面为真 归谬 从和出发 经过一系列正确的逻辑推理 得出矛盾结果 存真 由 断定不真 从而肯定原结论成立 命题的结论 反设 已知条件 矛盾结果 反设 题型探究 例1设 an 是公比为q的等比数列 q 1 证明 数列 an 1 不是等比数列 证明 类型一用反证法证明否定性命题 证明假设 an 1 是等比数列 则对任意的k n ak 1 1 2 ak 1 ak 2 1 a1 0 2qk qk 1 qk 1 q 0 q2 2q 1 0 q 1 这与已知矛盾 假设不成立 故 an 1 不是等比数列 1 用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有 不 不是 不可能 不存在 等词语的命题称为否定性命题 此类问题的正面比较模糊 而反面比较具体 适合使用反证法 2 用反证法证明数学命题的步骤 反思与感悟 证明 a b c成等比数列 b2 ac a c 从而a b c 这与已知a b c不成等差数列相矛盾 假设不成立 类型二用反证法证明 至多 至少 类问题 证明 例2a b c 0 2 求证 2 a b 2 b c 2 c a不能都大于1 证明假设 2 a b 2 b c 2 c a都大于1 因为a b c 0 2 所以2 a 0 2 b 0 2 c 0 即3 3 矛盾 所以 2 a b 2 b c 2 c a不能都大于1 证明 引申探究已知a b c 0 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a不能都大于 证明假设 1 a b 1 b c 1 c a都大于 a b c都是小于1的正数 1 a 1 b 1 c都是正数 用反证法证题时 如果要证明的命题的反面情况只有一种 那么只要将这种情况驳倒了就可以 若结论的反面情况有多种 则必须将所有的反面情况一一驳倒 才能推断结论成立 反思与感悟 证明 跟踪训练2已知a b c是互不相等的实数 求证 由y1 ax2 2bx c y2 bx2 2cx a和y3 cx2 2ax b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点 证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点 由y1 ax2 2bx c y2 bx2 2cx a y3 cx2 2ax b 得 1 2b 2 4ac 0 2 2c 2 4ab 0 且 3 2a 2 4bc 0 同向不等式求和 得4b2 4c2 4a2 4ac 4ab 4bc 0 所以2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0 所以 a b 2 b c 2 a c 2 0 所以a b c 这与题设a b c互不相等矛盾 因此假设不成立 从而命题得证 类型三用反证法证明唯一性命题 证明 例3求证 方程2x 3有且只有一个根 证明 2x 3 x log23 这说明方程2x 3有根 下面用反证法证明方程2x 3的根是唯一的 假设方程2x 3至少有两个根b1 b2 b1 b2 则 3 3 两式相除得 1 b1 b2 0 则b1 b2 这与b1 b2矛盾 假设不成立 从而原命题得证 用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明 有且只有一个 的问题 需要证明两个命题 即存在性和唯一性 当证明结论以 有且只有 只有一个 唯一存在 等形式出现的命题时 可先证 存在性 由于假设 唯一性 结论不成立易导出矛盾 因此可用反证法证其唯一性 反思与感悟 跟踪训练3若函数f x 在区间 a b 上是增函数 求证 方程f x 0在区间 a b 上至多有一个实根 证明 证明假设方程f x 0在区间 a b 上至少有两个实根 设 为其中的两个实根 因为 不妨设 又因为函数f x 在 a b 上是增函数 所以f f 这与假设f 0 f 矛盾 所以方程f x 0在区间 a b 上至多有一个实根 当堂训练 1 a b 的反面应是 答案 2 3 4 5 1 a b或a b 2 3 4 5 1 答案 2 用反证法证明命题 三角形的内角至多有一个钝角 时 假设 至少有两个钝角 2 3 4 5 1 答案 解析 都大于2 都不小于2 至少有一个不小于2 至少有一个不大于2 解析假设三个数都小于2 2 3 4 5 1 答案 4 用反证法证明某命题时 对某结论 自然数a b c中无偶数 正确的假设为 a b c中至少有一个偶数 解析 解析a b c中无偶数 即a b c都是奇数 反设应是 a b c中至少有一个偶数 2 3 4 5 1 证明 方程2x 3至少有一个实根 设x1 x2是方程2x 3的两个不同实根 5 证明 方程2x 3有且仅有一个实根 由 得 2 x1 x2 0 x1 x2 这与x1 x2矛盾 方程2x 3有且仅有一个实根成立 规律与方法 1 反证法证明的3个步骤 1 反设 假设命题的结论不成立 即假定原结论的反面为真 2 归谬 从反设和已知条件出发 经过一系列正确的逻辑推理 得出矛盾结果 3 存真 由矛盾结果 断定反设不真 从而肯定原结