2013考研之概率统计总结笔记.doc

2013概率统计强化讲义第一章 事件和概率一 基本概念1 随机试验()样本点()样本空间()随机事件(事件).2 事件：不可能事件()、必然事件()、基本事件(单点集).二 事件的关系1 包含：. 概率含义：发生, 必然发生. 若且, 则2 和事件：. 概率含义：,至少有一发生.3 积事件：. 概率含义：,同时发生.4 差事件：. 概率含义：发生且不发生.5 互不相容(互斥)：. 概率含义：,不可能同时发生. 特例: 且, 称,互为对立事件, 记为.注：对立互不相容(互斥).三 事件的运算和事件概率的计算 1事件的运算(1)分配律：.(2) 对偶律：，.2 概率的定义 (1) (2) (3)3 概率的性质(1) 加法公式：特殊情形： (2) 减法公式：当， 一般情形：推论：若，即(3) 对立公式：(4) , .5 抽象事件概率的计算：先用运算律进行化简, 然后利用概率性质计算.四 三种概率模型 1 古典概型：样本空间为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性， 2几何概型：为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，3 伯努利概型(1) 如果一个随机试验只有两个可能的结果, 则称为伯努利试验。将伯努利试验独立重复次称为重伯努利试验。(2) 设每次试验中事件出现的概率为,则在这重伯努利试验中事件恰好出现次的概率为： .五 条件概率和乘法公式1 称为事件发生的条件下发生的概率, 计算方法如下(1) 条件概率公式： ().(2) 压缩样本空间法：在新的样本空间中直接计算发生的概率.2 条件概率的性质(1) (2) (3) 特别的, 若, 则(4) 特别的, 若, 则3乘法公式(积事件的概率计算)(1) (2) 六 事件的独立性1 两事件的独立性(1) 独立 () () 注：独立 () ()(2) 独立独立独立独立.(3) 一般情形下, 独立与互斥没有蕴含关系;当时, 独立与互斥不能同时成立.2 三事件的独立性(1) 相互独立注：相互独立两两独立 (2) 相互独立 运算得到的事件与运算得到的事件独立.七 复杂事件的概率1 完备事件组：, 满足2 设为完备事件组： (全概率公式) (Bayes公式) 3 如何应用公式：用在两阶段试验中, 第一阶段试验的结果选为完备事件组.第二章 一维随机变量及其分布一 分布函数1 随机变量：到上的函数, 用表示.2 分布函数：即的值为在内取值的概率. 有下面的三条性质：(1) ，记为；，记为.(2) 是单调非减，即时，(3) 是右连续，即注：性质（1）（3）是成为分布函数的充要条件。3 概率计算： (1)(2) , 二 离散型与连续型随机变量1 离散型随机变量(1)定义：可能取值是有限多个或可数无穷多个.(2) 设离散型随机变量的可能取值是,记分布律：(3) 分布律性质：(1) (2) . 2 连续型随机变量 (1)定义：设的分布函数，如存在非负可积函数，有， 称为连续型随机变量，为概率密度.(2) 概率密度性质：(1) (2).(3) ; 的连续点处有.三 常见的离散型与连续型随机变量1 离散型随机变量（1）（01）分布 （2）二项分布 . （3）泊松分布 ， 背景为伯努利概型.(4) 超几何分布 ，2 连续型随机变量(除正态分布)(1) 均匀分布 注：均匀分布相当于几何概型(2) 指数分布 ，四 正态分布(1) 正态分布 (2) 标准正态分布 的值可通过查表得到. 性质：，(3) , 特别的.(4) 概率计算：.特别的：五 随机变量的函数的分布1离散型： 设的分布律，,则求法如下(1) 搞清楚的可能取值(2) 2连续型 (1) 公式法：的密度单调，导数不为零可导，是其反函数,则的密度 为 其中是函数在可能取值的区间上值域。(1) 分布函数法： 先求分布函数后求密度函数, 具体如下 a) 写出在的取值范围. b) 若; 若; 若 解不等式, 求. c) 第三章 多维随机变量及其分布一 分布函数1 二维随机变量：均为一维随机变量, 称为二维随机变量.2 分布函数：，有下面的性质（1）； （2），；（3）关于和关于单调不减； （4）关于和关于右连续.3二维随机变量的边缘分布函数, 二 二维离散型随机变量1 联合分布律： 2分布律性质：（1）（2）3 边缘概率分布，4条件概率分布， ， 三 二维连续型随机变量1设的联合分布函数, 其中，称为二维连续型随机变量, 称为联合概率密度函数.2 概率密度函数的性质：（1）（2）.3 概率计算: 概率密度：在的连续点, .4 边缘密度 ， 注：,也就是在分别在直线上的积分.5条件概率密度 若,则 .6 二维均匀分布，的面积注：二维均匀分布相当于平面区域上的几何概型.四 随机变量的独立性1 相互独立(离散型) (连续型).2 与独立, 为连续函数 也独立. 3 离散型随机变量独立 分布律表各行各列成比例; 连续型随机变量独立 概率密度函数、定义域可分离.五 二维随机变量函数的分布1 特殊问题可加性分布 独立(1) , 则(2) , 则(3) , 则注：可推广到个独立的随机变量.2 一般性问题 (1) 二维离散型 设的分布律, 则求法如下(a) 搞清楚的可能取值(b) 特别的：(2)二维连续型 , 则的分布求法如下(a) 公式法 特别独立，(b) 分布函数法具体步骤如下， 做出(固定), 再详细考虑从变化时的图形; 对于不同的区域求积分得到; 求导得到(c) 特殊函数最值函数 设的分布函数为,令， 特别的：若独立 (3) 混合型： 分布函数法+全概率公式第四章 数字特征一 随机变量的期望1 离散型(1) ,(2) , 2 连续型(1) , (2) , 3性质（1） （2）（3） （4）相互独立，则二 随机变量函数的期望 1 离散型(1), (2) , 2 连续型(1), (2) , 3 原点矩和中心矩(1) , 则称为阶原点矩;(2) , 则称为阶中心矩.三 随机变量的方差1 定义：称为的方差.2 性质：(1)，反之不能得出为常数；（2）；（3）相互独立.注：一般情形下.3 常见分布的期望与方差(1)（01）分布 (2) 二项分布 (3) 泊松分布 (4) 均匀分布 (5) 指数分布 (6) 正态分布，四 关于期望和方差求解的总结1 公式法： 直接积分或求和.2 性质：利用,主要用在随机变量的线性组合.3 特殊分布法：先求或其中部分随机变量的分布，然后利用公式求解.主要用在可加性分布,见.注：一个不常见的方法叫做随机变量分解法, 也即将一个复杂的随机变量写成, 然后利用期望、方差的性质求解.五 协方差、相关系数1 定义： 特别的：2 性质：(1) ； (2)； (3) 3 相关系数：(1) 不相关：.相互独立不相关(2) 性质：（a）； （b） ；4 协方差、相关系数的计算, 方法有二个(1) 协方差的性质, 独立性：主要用在随机变量线性组合; (2) 公式法：.六 二维正态分布 ，1 定义：2 性质： (1) ，, (2) 相互独立的充分必要条件是 (3) 也服从二维正态分布.注：一般情形下, 服从正态分布服从正态分布.七 独立与不相关 1 独立：(连续型); (离散型). 不相关：2 一般情形下：相互独立不相关 二维正态：相互独立不相关.3 独立性与相关性的判断.第四章 大数定律及中心极限定理一 切比雪夫不等式 对于任意二 大数定律1 切比雪夫大数定律设两两不相关，存在且存在常数，使则2 辛钦大数定律设独立同分布，则. 注：设独立同分布，则 3 伯努利大数定律若，则 三 中心极限定理1列维林德伯格定理设独立同分布，,则对任意 2 棣莫弗拉普拉斯定理设，则对任意, .第五章 数理统计一 总体与样本1总体：所研究对象的某项数量指标全体, 就是一个随机变量.2 样本：如果相互独立且都与总体同分布，则称为来自总体的简单随机样本，简称样本.(1)，则的联合分布(2) ，则的联合密度二 统计量与其性质1 定义：样本的不含未知参数的函数.2 常见的统计量(1) 样本均值 (2) 样本方差 ，(3) 样本标准差 (4) 样本阶原点矩 (5) 样本阶中心矩(6) 次序统计量 注： 要会用分布函数法球次序统计量的分布.3 常见统计量的数字特征(1) (2) (3) 三 常见分布的构造模式1 分布(1) 相互独立且均服从，则称 服从自由度为的分布，记.特别的：若, 则.(2)可加性：设,相互独立，则.(3)，；(4)上分位点：设，对于给定的，称满足条件的点为分布的上分位点。2 分布(1) 独立，则(2)上分位点：其中,性质：，3 分布(1) 独立，则性质：如果 ，则（2）上分位点：，其中，.性质：四 正态分布的抽样定理1 单个正态总体 设(1) 抽样定理（a）， （b）与相互独立(2) 三个基本量 （a） (b)（c）(3) 导出量：2 两个正态总体设，和，分别来自的样本，相互独立，（1），（2）如果，则其中（3）3 求统计量的分布(主要是单正态总体)方法如下(1) 由抽样分布定理得到基本统计量(2) 利用经典的构造模式得到统计量的分布.五 统计量的数字特征(1) 公式法： 很少用.(2) 期望和方差的性质与独立性：一般用在样本的线性组合中.(3) 特殊统计量 (a) 直接利用, , .(b) 若为正态总体, 则， 且与相互独立.六 点估计1 定义： 用来估计未知参数， 称为估计量.2 评价标准 (数学1)(1) 无偏性：(2) 有效性：如果和都是无偏估计，且，则称比更有效(3) 一致性（相合性）：，称为的一致估计量3 矩估计：用样本矩代替相应的理论矩，建立相应的方程组(个数同参数个数). , () 重点：单个参数时，矩估计方程为.4 最大似然估计(1) 似然函数离散型连续型 (2) 最大似然估计：使似然函数达到最大值的参数值.(1) 具体求解步骤(a) 写出似然函数和对数似然函数.(b) 求似然方程 或.若方程有唯一解, 则为所求; 若方程无解, 则单调, 必在边界.七 区间估计1置信区间：如果两个统计量满足为参数的置信水平（或置信度）为的置信区间. 分别称为置信下限和置信上限.2置信区间的求法(枢轴量法)(1)先得到的一个点估计;(2)利用和, 构造枢轴量, 使其满足特殊分布().(3)求使成立, 将变形得到区间估计.3 一个正态总体参数的区间估计未知参数置信区间已知未知4 两个正态总体参数的区间估计未知参数置信区间已知未知，但八 假设检验1 基本概念：对总体的分布或参数做出假设, 然后根据所抽到的样本构造合适的统计量, 对假设的正确性进行判断,称为假设检验.(1) 推断的原理：小概率原理即小概率事件在一次试验中实际上是不会发生的.(2) 假设：原假设, 备择假设.(3) 拒绝实际真的假设（弃真）称为第一类错误；接受实际不真的假设（纳伪）称为第二类错误.2 显著性检验(1) 显著性水平：在假设检验中允许犯第一类错误的概率(2) 显著性检验：只