高中数学 3.2.2 实际问题的函数模型配套课件 新人教A版必修1.ppt

3 2 2实际问题的函数模型 学习目标 1 通过一些实例来感受一次函数 二次函数 指数函数 对数函数以及幂函数的广泛应用 体会解决实际问题中建立函数模型的过程 从而进一步加深对这些函数的理解与应用 2 了解分段函数 指数函数和对数函数等函数模型的应用 3 初步了解对统计数据表的分析与处理 4 体会函数的零点与方程的根之间的联系 掌握零点存在的判定条件 能用二分法求方程的近似解 初步形成用函数观点处理问题的意识 5 结合实际问题 感受运用函数概念建立模型的过程和方法 体会函数在数学和其他学科中的重要性 初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题 根据收集到的数据作出 并通过观察 判断问题所适用的 利用计算器的数据拟合功能得出具 体的函数解析式 散点图 图象 函数模型 练习1 已知y与x是一次函数关系 当x 2时 y 6 当x 3时 y 8 则y与x的函数关系式是 练习2 计算机成本不断下降 若每隔3年计算机价格降 元 y 2x 2 2400 问题探究 某商品进价每个80元 零售价每个100元 为了促销 拟采取买一个这种商品 赠送一个小礼品的办法 实践表明 礼品价值1元 销售量增加10 且在一定范围内 当礼品价值为n 1元时 比礼品价值为n n n 元时的销售量增加10 1 写出当礼品价值为n元时 利润f n 单位 元 与n的函 数关系式 2 请你设计当礼品价值为多少元时 商店获得最大利润 解 1 设礼品价值为n元 则每个商品获利20 n元 当商品的销售量为a 故当礼品价值为n元时 商品的销售量为a 1 10 n 其利润为f n a 20 n 1 10 n 2 为了使商店获得最大利润 有f n f n 1 且f n f n 1 9 n 10 n 9或n 10 故当n 9或n 10时 商店获得的利润最大 题型1利用给定的函数模型解决实际问题 例1 某市场调查发现 某种产品在投放市场的30天中 其销售价格p元和时间t天 t n 的关系如图3 2 4所示 图3 2 4 1 写出销售价格p 单位 元 和时间t 单位 天 的函数解 析式 2 若日销售量q 单位 件 与时间t 单位 天 的函数关系是q t 40 0 t 30 t n 求该商品的日销售金额y 单位 元 与时间t 单位 天 的函数解析式 3 问 当该产品投放市场第几天时 日销售额最高 最高 为多少元 当0 t30 函数在 25 30 上是减函数 因此当t 25时 y有最大值为1125元 因为1125 870 所以在第25天时 日销售额最大 最大值为1125元 二次函数是我们比较熟悉的函数模型 建立二次函数模型可以求出函数的值域 在解决实际中的优化问题时 一定要分析自变量的取值范围 在利用配方法求最值时 一定要注意对称轴与给定区间的关系 若对称轴在给定的区间内 可在对称轴处取一最值 在离对称轴较远的端点处取另一最值 若对称轴不在给定的区间内 最值在区间的端点处取得 另外在实际问题中 还要考虑自变量是否只能取整数 变式与拓展 1 某西部山区的某种特产由于运输的原因 长期只能在当地销售 当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持 已知 扣除投资 下同 当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售 其规划方案为 在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资 其中在前5年中 每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路 公路5年建成 通车前该特产只能在当地销售 公路通车后的5年中 该特产既在本地销售 也在外地销售 在外地销售的投资收益为 每投入x万元 10年的累积利润看 该规划方案是否可行 设在公路通车的后5年中 每年用x万元投资于本地的销售 而剩下的 60 x 万元用于外地区的销售投资 该规划方案有极大实施价值 题型2建立确定性的函数模型解决问题 例2 我国是水资源比较贫乏的国家之一 各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的 某市用水收费的方法是 水费 基本费 超额费 损耗费 若每户每月用水量不超过最低限量a 单位 m3 时 只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c元 若用水量超过a 单位 m3 时 除了付同上的基本费和损耗费外 超过部分每1m3付b元的超额费 已知每户每月的定额损耗费不超过5元 该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示 1 请根据上表中的数据 求a b c的值 2 写出某户在一个月中的水费y 单位 元 与在这个月中的 用水量x 单位 m3 的函数关系式 变式与拓展 2 设不法商贩将彩电先按原价提高40 然后在广告上写上 大酬宾 八折优惠 结果是每台彩电比原价多赚270元 那么每台彩电的原价为 元 2250 解析 设原价为a元 依题意 有a 1 40 80 a 270 解得a 2250 3 在本埠投寄平信 每封信不超过20g时付邮资0 80元 超过20g而不超过40g时付邮资1 60元 依次类推 每增加20g时需增加邮资0 80元 信的重量在100g以内 如果某人所 d 寄一封信的质量为82 5g 那么他应付邮资 a 2 4元b 2 8元c 3 2元d 4元 题型3建立拟合函数模型解应用题 例3 某工厂今年1月 2月 3月生产某产品分别为1万件 1 2万件 1 3万件 为了估计以后每月的产量 现以这三个月的产量为依据 用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系 模拟函数可以选用二次函数或函数y a bx c a b c为常数 已知4月份该产品的产量为1 37万件 请问用以上哪个函数作模拟函数较好 说明理由 变式与拓展 4 在一次数学实验中 运用图形 计算器采集到如下一组数据 则x y的函数关系与下列哪类函数最接近 其中a b为待 定系数 b a y a bx b y a bx c y ax2 b 解析 由表 可知 y的增长速度越来越快 5 某人对东北一种松树的生长进行了研究 收集了其高度h 单位 米 与生长时间t 单位 年 的相关数据 选择y at b与y loga t 1 来刻画h与t的关系 你认为哪个符合 并预测第8年的松树高度 解 根据表中数据作出散点图如图d26 由图可以看出 用一次函数模 型不吻合 选用对数型函数比较合理 图d26 不妨将 2 1 代入到y loga t 1 中 得1 loga3 解得a 3 故可用函数y log3 t 1 来拟合这个实际问题 当t 8时 h log3 8 1 2 故可预测第8年松树的高度为2米 例4 某商店将进价为8元的商品 按每件10元售出 每天可销售200件 若每件售价涨价0 5元 则其每天销售量就减少10件 问应将售价定为多少时 才能使所得利润最大 并求出这个最大利润 易错分析 每天销售200件是在定价10元时的情况 故所设的价格应理解为在定价10元的基础上 将每件售价提高x元 此时利润每件应为 2 x 元 此时的销售量为 200 20 x 件 解 设每件售价提高x元 利润为y元 则y 2 x 200 20 x 20 x 4 2 720 故当x 4 即定价为14元时 每天可获得最大利润为720 元 方法 规律 小结 1 几种常见的函数模型 1 一次函数模型 f x kx b k b为常数 k 0 2 二次函数模型 f x ax2 bx c a b c为常数 a 0 3 分段函数模型 当x a时 y f x 当x ua时 y g x 4 指数型函数模型 f x k ax b k a b为常数 a 0 且a 1 k 0 5 对数型函数模型 f x k logax b k a b为常数 a 0 且a 1 k 0 6 幂函数型模型 f x k xn b k n b为常数 k 0 n 1 2 利用函数模型解决实际问题 1 一般地 函数模型方法为 设变量 找关系 求结 果 2 利用函数模型解应用题的基本步骤 审题 弄清题意 分析条件和结论 理顺数量关系 恰 当选择数学模型 建模 将文字语言 图形 或者数表 等转化为数学语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 求模 求解数学模型 得出数学结论 还原 将利用数学知识和方法得出的结论 还原为实际 问题的意义 3 函数模型应用的主要类型 1 利用给定的函数模型解决实际问题 其关键是考虑考查的是何种函数