第13章-三角形中的边角关系的复习

第13章 “三角形中的边角关系”的复习一、复习目标1了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线），知道三角形三边关系的两个定理，会画出任意三角形的高、中线、角平分线2了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义说明三角形内角和等于180，探索并理解三角形内角的和定理的三个推论3.了解三角形的按边、按角进行的分类。4了解定义、命题、真命题、假命题、原命题、逆命题、反例等概念，会判断命题的条件与结论，知道原命题与逆命题关系。5公理、定理、证明、演绎推理、辅助线等概念，会进行简单的推理证明6. 提高学生的推理证明及学生的概括与归纳能力。二、重难点重点是：梳理本章知识，强化知识之间的联系；难点是：提高学生的推理证明及学生的概括与归纳能力。三、知识归纳1三角形的概念不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC用符号表示为ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）ABC是三角形ABC的符号标记，单独的没有意义2三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边3三角形的中线、角平分线、高（1）三角形中线：连结一个顶点和它对边中点的线段表示法： AD是ABC的BC上的中线. BD=DC=BC.注意：三角形的中线是线段；三角形三条中线全在三角形的内部；三角形三条中线交于三角形内部一点；中线把三角形分成两个面积相等的三角形（2）三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段。表示法： AD是ABC的BAC的平分线. 1=2=BAC.注意：三角形的角平分线是线段；三角形三条角平分线全在三角形的内部；三角形三条角平分线交于三角形内部一点；用量角器画三角形的角平分线（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段表示法： AD是ABC的BC上的高线. ADBC于D. ADB=ADC=90.注意： 三角形的高是线段； 锐角三角形三条高全在三角形的内部；直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部；钝角三角形有两条高在形外，另一条在内部。 三角形三条高所在直线交于一点4三角形的分类：按边分：按角分： 或：5 对“定义”的理解： 能明确界定某个对象含义的语句叫做定义。注意：确界定某个对象有两种形式： 揭示对象的特征性质；例如：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高 明确对象的范围。例：整数和分数统称为有理数6有关“命题”的概念用来判断它是真（正确）、假（错误）的语句或式子叫做命题。注意： 命题有真命题和假命题两种， 命题由题设和结论两部分组成的. 前一部分，也称之为 条件，后一部分称之为 结论。 命题通常是用“如果, 那么.”的形式给出. “如果p, 那么q.”中的题设与结论互换，得一个新命题： “如果q, 那么p.” 这两个命题称为互逆命题.其中一个命题叫原命题，另一个命题叫做逆命题 当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题. 符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子，称之为反例. 要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可7有关“公理、定理、证明、推论、演绎推理、辅助线”等概念（1）公理：从长期实践中总结出来的，不需要再作证明的真命题。（2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并被选作判断命题真假的依据的真命题。 （3）演绎推理：从已知条件出发，依据定义、公理、定理，并按照逻辑规则，推导出结论的方法。 （4）证明：演绎推理的过程就是演绎证明，简称“证明”。 （5）推论：由公理、定理直接得出的真命题。 （6）辅助线：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线段或直线。8三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180（1）从折叠可以看出：A+B+C=1800 (2) 从剪拼可以看出：A+B+C=1800 (3) 由推理可知：A+B+C=1800 推理过程：一、作CMAB，则4=1，5=2,3+4+5=1800，3+1+2=1800，即A+B+ACB=1800二、作MNBC，则2=B，3=C，而1+2+3=1800，即BAC+B+C=1800注意：（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角9三角形的外角的定义: 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角. 如:ACD、BCE都是ABC的外角，且ACD=BCE. 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.10三角形外角的性质(1） 三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；（2）三角形外角的性质的证明：作CMAB，由于B、C、D共线 A=1， B=2. 即ACD=1+2=A+B. 那么ACDA., ACDB.四、典题分析：考点一、数三角形的个数例1 图中三角形的个数是（ ） A8 B9 C10 D11分析与解：以某一条线段为三角形的边依次找三角形选B点评：数三角形时不能重复，不能遗漏注意按一定的顺序找备用：当三角形内部有1个点时，互不重叠的三角形的数目为3；当三角形内部有2个点时，互不重叠的三角形的数目为5（1）当三角形内部有3个点时，互不重叠的三角形的数目为_；（2）当三角形内部有4个点时，互不重叠的三角形的数目为_；（3）当三角形内部有n个点时，互不重叠的三角形的数目为_；（4）互不重叠的三角形的数目能否为2007，若能请求出三角形内部点的个数；若不能，请说明理由 分析与解： （1）作出图形，依次数，7； （2）探索规律，3，5，7，从而得9；（3）2n+1 （4）2n+1=2007，n=1003，当四边形内部有1003个点时，共有2007个三角形考点二、三角形三边关系例2 （2006广州）已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是( ) Al，2，3 B2，5，8 C3，4，5 D4，5，10分析与解：三条线段能否构成一个三角形， 关键在于判定它们是否符合三角形三边的不等关系，符合即可构成一个三角形，不符合就不可能构成一个三角形.对于A，由于1+2=3，不能组成三角形；对于B，由于2+58，不能组成三角形；对于D，由于4+5b）的木棒，构成一个三角形，由第三根木棒的长度应介于ab和a+b之间备用：（1）下列各组条件中，不能组成三角形的是( ) A. a+1、a+2、a+3 (a3) B. 3cm、8cm、10 cm C. 三条线段之比为1:2:3 D. 3a、5a、2a+1 (a1)分析与解：选项C（2）以长为3cm，5cm，7cm，10cm的四根木棍中的三根木棍为边，可以构成三角形的个数是（ ）A2个 B3个 C4个 D5个分析与解：以四根木棍中的三根木棍主长共可以组成：3，5，7、3，5，10、3，7，10、5，7，10共四种情况其中只有两种情况能组成三角形选A （3）ABC的三边长分别为4、9、x, 求x的取值范围； 求ABC周长的取值范围； 当x为偶数时，求x； 当ABC的周长为偶数时，求x； 若ABC为等腰三角形，求x考点三、三角形内角和定理：例3 ABC中，B=A=C，求B的度数.分析与解：设B=x0，则A=3x，C=4x，从而x+3x+4x=180，x=22.5即：B=22.50，A=67.50，C=900点评：在一个三角形中，当已知三角关系时，可通过列方程的方法求出三个角例4 如图，点O是ABC内一点，A=80，1=15，2=40，则BOC等于（ ）A. 95 B. 120 C. 135 D. 650分析与解： O=1800（OBC+OCB）=1800（1800（1+2+A）=1+2+A=1350点评：几何题的解题关键是：把未知向已知转化例5 （1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C直角顶点x在ABC内部，若A30，则ABCACB 度，XBCXCB 度；（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，直角顶点x还在ABC内部，那么ABXACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出ABXACX的大小分析与解：（1）ABC+ACB=1800A=1800300=1500，XBC+XCB=1800X=1800900=900；（2）ABX+XBC+XCB+ACX+A=1800，又XBC+XCB=1800X=1800900=900，ABX+ACX=1800900300=600备用：在ABC中，A=（BC）、BC=20，求A、B、C的度数分析与解：A=（BC），B+C=180A，A=（180A），A=60，B+C=120，BC=20，B=700，C=50考点四、三角形的外角例6 (2006金华)下图能说明12的是( )分析与解：利用三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角选C点评： 比较角的大小一般用外角大于不相邻的一个内角备用：一个零件的形状如图，按规定应等于90，应分别是20和30，李叔叔量得142，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？分析与解：连接AC，并延长至E，则1=3+D，2=4+B，DCB=3+4+D+B=142，即这个零件不合格考点五、与命题有关的内容例7：下列不属于命题的是