数值分析课后习题与解答

课后习题解答课后习题解答 第一章第一章 绪论绪论 习题一习题一 1 1 设设 x 0 x x 0 x 的相对误差为的相对误差为 求 求 f x lnf x ln x x 的误差限 的误差限 解 求解 求 lnxlnx 的误差极限就是求的误差极限就是求 f x lnxf x lnx 的误差限 由公式的误差限 由公式 1 2 4 1 2 4 有有 已知已知 x x 的相对误差的相对误差 满足满足 而 而 故 故 即即 2 2 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 试指出它们下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 试指出它们 有几位有效数字 并给出其误差限与相对误差限 有几位有效数字 并给出其误差限与相对误差限 解 直接根据定义和式解 直接根据定义和式 1 2 2 1 2 3 1 2 2 1 2 3 则得则得 有有 5 5 位有效数字 其误差限位有效数字 其误差限 相对误差限 相对误差限 有有 2 2 位有效数字 位有效数字 有有 5 5 位有效数字 位有效数字 3 3 下列公式如何才比较准确 下列公式如何才比较准确 1 1 2 2 解 要使计算较准确 主要是避免两相近数相减 故应变解 要使计算较准确 主要是避免两相近数相减 故应变 换所给公式 换所给公式 1 1 2 2 4 4 近似数近似数 x 0 0310 x 0 0310 是是 3 3 位有数数字 位有数数字 5 5 计算计算取取 利用 利用 式计算误差最式计算误差最 小 小 四个选项 四个选项 第二 三章第二 三章 插值与函数逼近插值与函数逼近 习题二 三习题二 三 1 1 给定给定的数值表的数值表 用线性插值与二次插值计算用线性插值与二次插值计算 ln0 54ln0 54 的近似值并估计误差限的近似值并估计误差限 解 解 仍可使用仍可使用 n 1n 1 及及 n 2n 2 的的 LagrangeLagrange 插值或插值或 NewtonNewton 插值插值 并并 应用误差估计 应用误差估计 5 85 8 线性插值时 用 线性插值时 用 0 50 5 及及 0 60 6 两点 两点 用用 NewtonNewton 插值插值 误差限误差限 因 因 故 故 二次插值时 用二次插值时 用 0 50 5 0 60 6 0 70 7 三点 作二次三点 作二次 NewtonNewton 插值插值 误差限误差限 故故 2 2 在在 4 x 4 4 x 4 上给出上给出的等距节点函数表 若用二次的等距节点函数表 若用二次 插值法求插值法求 的近似值 要使误差不超过的近似值 要使误差不超过 函数表的步长 函数表的步长 h h 应取多少应取多少 解 用误差估计式 解 用误差估计式 5 85 8 令令 因因 得得 3 3 若若 求 求和和 解 由均差与导数关系解 由均差与导数关系 于是于是 4 4 若若互异 求互异 求 的值 这里的值 这里 p n 1 p n 1 解 解 由均差对称性 由均差对称性 可知当可知当有有 而当而当 P P n n 1 1 时时 于是得于是得 5 5 求证求证 解 解 解 只要按差分定义直接展开得解 只要按差分定义直接展开得 6 6 已知已知的函数表的函数表 求出三次求出三次 NewtonNewton 均差插值多项式 计算均差插值多项式 计算 f 0 23 f 0 23 的近似值的近似值 并用均差的余项表达式估计误差并用均差的余项表达式估计误差 解 根据给定函数表构造均差表解 根据给定函数表构造均差表 由式由式 5 14 5 14 当当 n 3n 3 时得时得 NewtonNewton 均差插值多项式均差插值多项式 N3 x 1 0067x 0 08367x x 0 2 0 17400 x x 0 2 x 0 3 N3 x 1 0067x 0 08367x x 0 2 0 17400 x x 0 2 x 0 3 由此可得由此可得 f 0 23 f 0 23 N3 0 23 0 23203N3 0 23 0 23203 由余项表达式由余项表达式 5 15 5 15 可得可得 由于由于 7 7 给定给定 f x cosxf x cosx 的函数表的函数表 用用 NewtonNewton 等距插值公式计算等距插值公式计算 coscos 0 0480 048 及及 coscos 0 5660 566 的近的近 似值并估计误差似值并估计误差 解 先构造差分表解 先构造差分表 计算计算 用 用 n 4n 4 得得 NewtonNewton 前前 插公式插公式 误差估计由公式 误差估计由公式 5 175 17 得 得 其中其中 计算计算时用时用 NewtonNewton 后插公式 后插公式 5 18 5 18 误差估计由公式 误差估计由公式 5 195 19 得 得 这里这里仍为仍为 0 5650 565 8 8 求一个次数不高于四次的多项式求一个次数不高于四次的多项式 p x p x 使它满足使它满足 解 这种题目可以有很多方法去做 但应以简单为宜 此解 这种题目可以有很多方法去做 但应以简单为宜 此 处可先造处可先造使它满足使它满足 显然 显然 再令 再令 p x x2 2 x Ax2 x 1 2p x x2 2 x Ax2 x 1 2 由由 p 2 1p 2 1 求出求出 A A 于是 于是 9 9 令令称为第二类称为第二类 ChebyshevChebyshev 多项式 多项式 试求试求 的表达式 并证明的表达式 并证明是 是 1 1 1 1 上带权 上带权的正的正 交多项式序列 交多项式序列 解 因解 因 10 10 用最小二乘法求一个形如用最小二乘法求一个形如的经验公式 使它拟的经验公式 使它拟 合下列数据 并计算均方误差合下列数据 并计算均方误差 解 本题给出拟合曲线解 本题给出拟合曲线 即 即 故法方 故法方 程系数程系数 法方程为法方程为 解得解得 最小二乘拟合曲线为最小二乘拟合曲线为 均方程为均方程为 11 11 填空题填空题 1 1 满足条件满足条件的插值多项式的插值多项式 p x p x 2 2 则则 f f 1 2 3 41 2 3 4 f f 1 2 3 4 51 2 3 4 5 3 3 设设为互异节点 为互异节点 为对应的四次插值基为对应的四次插值基 函数 则函数 则 4 4 设设是区间 是区间 0 10 1 上权函数为 上权函数为 x x x x 的的 最高项系数为最高项系数为 1 1 的正交多项式序列 其中的正交多项式序列 其中 则 则 答 答 1 1 2 2 3 3 4 4 第第 4 4 章章 数数 值值 积积 分与数值微分分与数值微分 习题习题 4 4 1 1 分别用复合梯形公式及复合分别用复合梯形公式及复合 SimpsonSimpson 公式计算下列积分公式计算下列积分 解解 本题只要根据复合梯形公式 本题只要根据复合梯形公式 6 116 11 及复合 及复合 SimpsonSimpson 公式 公式 6 136 13 直接计算即可 直接计算即可 对对 取 取 n 8 n 8 在分点处计算在分点处计算 f x f x 的的值构造函数表 值构造函数表 按式 按式 6 116 11 求出 求出 按式 按式 6 136 13 求得 求得 积分积分 2 2 用用 SimpsonSimpson 公式求积分公式求积分 并估计误差 并估计误差 解 直接用解 直接用 SimpsonSimpson 公式 公式 6 76 7 得 得 由 由 6 86 8 式估计误差 因 式估计误差 因 故 故 3 3 确定下列求积公式中的待定参数 使其代数精确度尽量确定下列求积公式中的待定参数 使其代数精确度尽量 高 并指明求积公式所具有的代数精确度高 并指明求积公式所具有的代数精确度 1 1 2 2 3 3 解 本题直接利用求积公式精确度定义 则可突出求积公解 本题直接利用求积公式精确度定义 则可突出求积公 式的参数 式的参数 1 1 令 令代入公式两端并使其相等 得代入公式两端并使其相等 得 解此方程组得解此方程组得 于是有 于是有 再令再令 得 得 故求积公式具有故求积公式具有 3 3 次代数精确度 次代数精确度 2 2 令 令代入公式两端使其相等 得代入公式两端使其相等 得 解出解出得得 而对而对不准确成立 故求积公式具有不准确成立 故求积公式具有 3 3 次代数精确度 次代数精确度 3 3 令 令代入公式精确成立 得代入公式精确成立 得 解得解得 得求积公式 得求积公式 对对 故求积公式具有故求积公式具有 2 2 次代数精确度 次代数精确度 4 4 计算积分计算积分 若用复合 若用复合 SimpsonSimpson 公式要使误差不公式要使误差不 超过超过 问区间 问区间要分为多少等分要分为多少等分 若改用复合梯形公若改用复合梯形公 式达到同样精确度 区间式达到同样精确度 区间应分为多少等分应分为多少等分 解 由解 由 SimpsonSimpson 公式余项及公式余项及得得 即即 取 取 n 6n 6 即区间 即区间分为分为 1212 等分可使误差等分可使误差 不超过不超过 对梯形公式同样对梯形公式同样 由余项公式得 由余项公式得 即即 取取 n 255n 255 才更使复合梯形公式误差不超过才更使复合梯形公式误差不超过 5 5 用用 RombergRomberg 求积算法求积分求积算法求积分 取 取 解 本题只要对积分解 本题只要对积分使用使用 RombergRomberg 算法 算法 6 206 20 计算 计算 到到 K K 3 3 结果如下表所示 结果如下表所示 于是积分于是积分 积分准确值为 积分准确值为 0 7132720 713272 6 6 用三点用三点 Gauss LegendreGauss Legendre 求积公式计算积分求积公式计算积分 解 本题直接应用三点解 本题直接应用三点 GaussGauss 公式计算即可 公式计算即可 由于区间为由于区间为 所以先做变换 所以先做变换 于是于是 本题精确值本题精确值 7 7 用三点用三点 Gauss ChebyshevGauss Chebyshev 求积公式计算积分求积公式计算积分 解 本题直接用解 本题直接用 Gauss ChebyshevGauss Chebyshev 求积公式计算求积公式计算 即即 于是于是 因 因 n 2 n 2 即为三点公式 于是即为三点公式 于是 即 即 故故 8 8 试确定常数试确定常数 A A B B C C 及 及 使求积公式 使求积公式 有尽可能高的代数精确度 并指出所得求积公式的代数精有尽可能高的代数精确度 并指出所得求积公式的代数精 确度是多少确度是多少 它是否为它是否为 GaussGauss 型的求积公式型的求积公式 解 本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程 解 本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程 令令对公式精确成立 得到对公式精确成立 得到 由 由 2 2 4 4 得 得 A CA C 这两个方程不独立 故可令 这两个方程不独立 故可令 得得 5 5 由 由 3 3 5 5 解得 解得 代入 代入 1 1 得 得 则有求积公式则有求积公式 令令公式精确成立 故求积公式具有公式精确成立 故求积公式具有 5 5 次代数精确度 次代数精确度 三点求积公式最高代数精确度为三点求积公式最高代数精确度为 5 5 次 故它是次 故它是 GaussGauss 型的 型的 第五章第五章 解线性方程组的直接法解线性方程组的直接法 习题五习题五 1 1 用用 GaussGauss 消去法求解下列方程组消去法求解下列方程组 解解 本题是本题是 GaussGauss 消去法解具体方程组 只要直接用消元消去法解具体方程组 只要直接用消元 公式及回代公式直接计算即可 公式及回代公式直接计算即可 故故 2 2 用列主元消去法求解方程组用列主元消去法求解方程组并求出并求出 系数矩阵系数矩阵 A A 的行列式的行列式 detAdetA 的值的值 解 先选列主元解 先选列主元 2 2 行与行与 1 1 行交换得行交换得 消元消元 3 3 行与行与 2 2 行交换行交换 消元消元 回代得解回代得解 行列式得行列式得 3 3 用用 DoolittleDoolittle 分解法求分解法求的的 解解 解 由矩阵乘法得解 由矩阵乘法得 再由再由求得求得 由由解得解得 4 4 下述矩阵能否作下述矩阵能否作 DoolittleDoolittle 分解 若能分解 分解式是分解 若能分解 分解式是 否唯一否唯一 解 解 A A 中中 若 若 A A 能分解 一步分解后 能分解 一步分解后 相互矛盾 故 相互矛盾 故 A A 不能分解 不能分解 但但 若 若 A A 中中 1 1 行与行与 2 2 行交换 则可分解为行交换 则可分解为 LULU 对对 B B 显然 显然 但它仍可分解为 但它仍可分解为 分解不唯一 分解不唯一 为一任意常数 且为一任意常数 且 U U 奇异 奇异 C C 可分解 且唯可分解 且唯 一 一 5 5 用追赶法解三对角方程组用追赶法解三对角方程组 Ax bAx b 其中 其中 解 用解对三角方程组的追赶法公式 解 用解对三角方程组的追赶法公式 3 1 23 1 2 和 和 3 1 33 1 3 计算得 计算得 6 6 用平方根法解方程组用平方根法解方程组 解 用解 用分解直接算得分解直接算得 由由及及求得求得 7 7 设设 证明 证明 解 解 即即 另一方面 另一方面 故故 8 8 设设计算计算 A A 的行范数 列范数及的行范数 列范数及 F F 范数和范数和 2 2 范数范数 解 解 故故 9 9 设设为为 上任一种范数 上任一种范数 是非奇异的 定义是非奇异的 定义 证明 证明 证明 根据矩阵算子定义和证明 根据矩阵算子定义和定义 得定义 得 令令 因 因 P P 非奇异 故非奇异 故 x x 与与 y y 为一对一 于是为一对一 于是 10 10 求下面两个方程组的解 并利用矩阵的条件数估计求下面两个方程组的解 并利用矩阵的条件数估计 即 即 即 即 解 记解 记 则则的解的解 而 而的解的解 故故 而而 由 由 3 123 12 的误差估计得 的误差估计得 表明估计表明估计略大 是符合实际的 略大 是符合实际的 11 11 是非题 若是非题 若 是是 在末尾 填在末尾 填 不是不是 填填 题目中 题目中 1 1 若 若 A A 对称正定对称正定 则则是是上的一种向量上的一种向量 范数范数 2 2 定义 定义是一种范数矩阵是一种范数矩阵 3 3 定义 定义是一种范数矩阵是一种范数矩阵 4 4 只要 只要 则 则 A A 总可分解为总可分解为 A LU A LU 其中其中 L L 为单位下为单位下 三角阵 三角阵 U U 为非奇上三角阵为非奇上三角阵 5 5 只要 只要 则总可用列主元消去法求得方程组 则总可用列主元消去法求得方程组 的解的解 6 6 若 若 A A 对称正定对称正定 则则 A A 可分解为可分解为 其中 其中 L L 为对角元为对角元 素为正的下三角阵素为正的下三角阵 7 7 对任何 对任何都有都有 8 8 若 若 A A 为正交矩阵 则为正交矩阵 则 答案 答案 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 第六章第六章 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法 习题六习题六 1 1 证明对于任意的矩阵证明对于任意的矩阵 A A 序列 序列收敛收敛 于零矩阵于零矩阵 解 由于解 由于而而 故故 2 2 方程组方程组 1 1 考查用考查用 JacobiJacobi 法和法和 GSGS 法解此方程组的收敛性法解此方程组的收敛性 2 2 写出用写出用 J J 法及法及 GSGS 法解此方程组的迭代公式并以法解此方程组的迭代公式并以 计算到计算到为止为止 解 因为解 因为 具有严格对角占优 故具有严格对角占优 故 J J 法与法与 GSGS 法均收敛 法均收敛 2 2 J J 法得迭代公式是法得迭代公式是 取取 迭代到 迭代到 1818 次有次有 GSGS 迭代法计算公式为迭代法计算公式为 取取 3 3 设方程组设方程组 证明解此方程的证明解此方程的 JacobiJacobi 迭代法与迭代法与 Gauss SeidelGauss Seidel 迭代法迭代法 同时收敛或发散同时收敛或发散 解 解 JacobiJacobi 迭代为迭代为 其迭代矩阵其迭代矩阵 谱半径为 谱半径为 而 而 Gauss Gauss SeideSeide 迭代法为迭代法为 其迭代矩阵其迭代矩阵 其谱半径为 其谱半径为 由于由于 故 故 JacobiJacobi 迭代法与迭代法与 Gauss SeidelGauss Seidel 法同法同 时收敛或同时发散 时收敛或同时发散 4 4 下列两个方程组下列两个方程组 Ax bAx b 若分别用 若分别用 J J 法及法及 GSGS 法求解 法求解 是否收敛是否收敛 解 解 JacobiJacobi 法的迭代矩阵是法的迭代矩阵是 即即 故 故 J J 法收敛 法收敛 GSGS 法的迭代矩阵为法的迭代矩阵为 故故 解此方程组的 解此方程组的 GSGS 法不收敛 法不收敛 5 5 设设 detA 0detA 0 用 用 b b 表示解方程组表示解方程组 Ax fAx f 的的 J J 法及法及 GSGS 法收敛的充分必要条件法收敛的充分必要条件 解解 J J 法迭代矩阵为法迭代矩阵为 故 故 J J 法收敛的充要条件是法收敛的充要条件是 GSGS 法迭法迭 代矩阵为代矩阵为 由由得得 GSGS 法收敛得充要条件是法收敛得充要条件是 6 6 用用 SORSOR 方法解方程组方法解方程组 分别取分别取 1 03 1 1 1 1 03 1 1 1 精确解精确解 要求当 要求当时迭代终止 时迭代终止 并对每一个并对每一个 值确定迭代次数值确定迭代次数 解 用解 用 SORSOR 方法解此方程组的迭代公式为方法解此方程组的迭代公式为 取取 当 当时 迭代时 迭代 5 5 次达到要求次达到要求 若取若取 迭代 迭代 6 6 次得次得 7 7 对上题求出对上题求出 SORSOR 迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速 度 并求度 并求 J J 法与法与 GSGS 法的渐近收敛速度法的渐近收敛速度 若要使若要使 那么那么 J J 法法 GSGS 法和法和 SORSOR 法各需迭代多少次法各需迭代多少次 解 解 J J 法的迭代矩阵为法的迭代矩阵为 故 故 因 因 A A 为对称正定三对角为对称正定三对角 阵 最优松弛因子阵 最优松弛因子 J J 法收敛速度法收敛速度 由于由于 故 故 若要求若要求 于是迭代次数 于是迭代次数 对于对于 J J 法法 取 取 K K 1515 对于对于 GSGS 法法 取 取 K K 8 8 对于对于 SORSOR 法法 取 取 K K 5 5 8 8 填空题填空题 1 1 要使要使应满足 应满足 2 2 已知方程组已知方程组 则解此方程组的 则解此方程组的 JacobiJacobi 迭代法是否收敛 迭代法是否收敛 它的渐近收敛速度它的渐近收敛速度 R B R B 3 3 设方程组设方程组 Ax b Ax b 其中其中其其 J J 法的迭代矩法的迭代矩 阵是 阵是 GS GS 法的迭代矩阵是 法的迭代矩阵是 4 4 用用 GSGS 法解方程组法解方程组 其中 其中 a a 为实数 为实数 方法收敛的充要条件是方法收敛的充要条件是 a a 满足 满足 5 5 给定方程组给定方程组 a a 为实数为实数 当当 a a 满满 足 足 且 且 0 0 2 2 时时 SORSOR 迭代法收敛迭代法收敛 答答 1 1 2 J 2 J 法是收敛的 法是收敛的 3 J 3 J 法迭代矩阵是法迭代矩阵是 GSGS 法迭代矩阵法迭代矩阵 4 4 满足满足 5 5 满足满足 第七章第七章 非线性方程求根非线性方程求根 习题七习题七 1 1 用二分法求方程用二分法求方程的正根 使误差小于的正根 使误差小于 0 050 05 解解 使用二分法先要确定有根区间使用二分法先要确定有根区间 本题 本题 f x x2 f x x2 x 1 0 x 1 0 因因 f 1 1 f 2 1 f 1 1 f 2 1 故区间故区间 1 2 1 2 为有根区间 另为有根区间 另 一根在一根在 1 0 1 0 内 故正根在内 故正根在 1 2 1 2 内 用二分法计算各次内 用二分法计算各次 迭代值如表 迭代值如表 其误差其误差 2 2 求方程求方程在在 1 5 1 5 附近的一个根 将附近的一个根 将方程改方程改 写成下列等价形式 并建立相应迭代公式写成下列等价形式 并建立相应迭代公式 1 1 迭代公式 迭代公式 2 2 迭代公式迭代公式 3 3 迭代公式 迭代公式 试分析每种迭代公式的收敛性 并选取一种收敛最快的试分析每种迭代公式的收敛性 并选取一种收敛最快的 方法求具有方法求具有 4 4 位有效数字的近似根位有效数字的近似根 解 解 1 1 取区间 取区间且且 在在且且 在 在中中 则 则 L 1L 1 满足收敛定理条件 故迭代收敛 满足收敛定理条件 故迭代收敛 2 2 在 在中中 且 且 在 在中有中有 故迭代收 故迭代收 敛 敛 3 3 在 在附近附近 故迭代法发散 故迭代法发散 在迭代 在迭代 1 1 及 及 2 2 中 因为 中 因为 2 2 的迭代因子 的迭代因子 L L 较小 较小 故它比 故它比 1 1 收敛快 用 收敛快 用 2 2 迭代 取 迭代 取 则 则 3 3