2011年高考圆锥曲线知识点小结.doc

【知识结构】一、椭圆： 1椭圆的定义椭圆是平面上到两定点距离之和等于常数（大于）的点的轨迹，定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。若设动点M到距离之和为2a，则（1）当ac0时，动点M的轨迹是椭圆；（2）当a=c0时，动点M的轨迹是线段；（3）当0ab0，ac0，据此可由方程来确定椭圆的位置。（4）方程的确定：根据条件确定椭圆标准方程时，常用待定系数法和定义法，首先应确定椭圆的中心和焦点位置，然后根据两个独立条件求出a、b的值。3直线与椭圆的位置关系直线与椭圆共有三种位置关系，一般采用判别式法，其步骤是（1）联立方程组；（2）消元化为一元二次方程；（3）判断的符号。当0时，相交；当=0时，相切；当0）上任一点M(x0，y0)到焦点的距离等于到准线的距离且为x0+.其它三种不同形式看上表.本节学习要求：1.抛物线方程的确定，先由几何性质确定抛物线的标准方程，再用待定系数法求其方程.2.解决有抛物线的弦中点问题及弦长问题与椭圆、双曲线一样，利用弦长公式、韦达定理、中点坐标公式及判别式解决.3.抛物线中有关轨迹与证明问题也与前面内容一样.常用方法有轨迹法、代入法、定义法.参数法等.证明的方法是解析法.注：1.抛物线的焦点弦有很多重要性质，后面结合有关例题作详细研究。2圆锥曲线的统一定义由椭圆、双曲线的第二定义及抛物线的定义可知，平面上动点M到定点F及到定直线1的距离之比等于常数e的点M的轨迹是圆锥曲线（这里点F不在直线1上，e0，其中F是圆锥曲线的一个焦点，1是与F对应的准线，而e即为其离心率。）当0e1时，轨迹是双曲线。3最值问题设是抛物线上的动点，则点P到某定点或某定直线的距离的最大（小）值问题，可利用两点间的距离公式或点到直线的距离公式建立距离d关于或的函数，再求最值，而抛物线的范围则决定了函数的定义域例1椭圆的一个焦点是（0，2），则k=_。解 椭圆方程即 ，由解得k=1。例2双曲线的两个焦点为，点P在双曲线上，若，则点P到x轴的距离为_。解法一 设，且由双曲线的对称性不妨设点P在第一象限，则mn=2a6 ， ，得2mn=64，mn=32，作PQx轴于Q，则在中，即点P到x轴的距离为，解法二 设，由第二定义可得，即，这里a=3 c=5 ，代入得。由双曲线方程得，。解法三 设，点P在以为直径的圆上，即 ，又点P在双曲线上，由，消去，得，。例3过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ）A2a B C4a D解 抛物线方程即，记，则F（0，m），而直线PQ的方程可设为x=k（ym），代入抛物线方程得，设，则而，于是，。故，。当k=0时，易证结论也成立，因而选C。例4设抛物线的焦点F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC/x轴，证明直线AC经过坐标原点O。解法一 易知焦点，设直线AB的方程是，代入抛物线方程得设，则，即。因BC/x轴，且C在准线1上，故点，且，从而，从而，于是，从而A、O、C三点共线，即直线AC经过原点O。解法二 如图，设准线1交x轴于点E，AD1于D，连AC交EF于点N，由AD/EF/BC，得，即，即，又由抛物线的性质可知，|AD|=|AF|，|BC|=|BF|，代入可得|EN|=|NF|，即N为EF的中点，于是N与点O重合，即直线AC经过原点O。例5设A、B是双曲线上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点。（1）求直线AB的方程；（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？解 （1）解法一：设AB：y=k（x1）+2代入，整理得。设，则，且因N（1，2）是AB的中点，故，于是，解得k=1，从而所求直线AB的方程为y=x+1。解法二：设，代入双曲线方程得。因N（1，2）为AB的中点，故，将它们代入上式可得，从而，于是直线AB的方程为y=x+1。（2）将k=1代入方程得，解得，。由y=x+1得，即A（1，0），B（3，4），而直线CD的方程是y1=（x2），即y=3x，代入双曲线方程并整理得 设，则，。解法一：设CD中点为，则，于是，即M（3，6）。因故。又即ABCD四点与点M的距离相等，从而A、B、C、D四点共圆。解法二：由，得，故，即ACAD。由对称性可知，BCBD，于是A、B、C、D四点共圆。解法三：以CD为直径的圆的方程是，即。将，代入得，即。因，故A、B在以CD为直径的圆上，即A、B、C、D四点共圆。例6 某隧道横断面由抛物线的一段和矩形的三边组成，尺寸如图，某卡车载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4m，试问：该车能否通过此隧道？为什么？解 以抛物线弧的顶点为原点，建立图示直角坐标系，设抛物线的方程为，从图示可以看出，点（3，3）在抛物线上，故，得2p=3，即抛物线的方程是。由抛物线的对称性可知，为使此车尽量通过此隧道，车应沿隧道中线行驶，令代入得，所以集装箱两侧隧道的高度是。因为车与箱共高仅4米，即h4，所以此车能通过此隧道。解决轨迹问题的常用方法直接法、定义法、相关点法:1. 定义法若动点的轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，如椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程。例1已知椭圆的焦点在轴上，左准线为，左焦点到左准线的距离为3，离心率，求椭圆方程。2. 直接法若动点轨迹的几何特征，可直接通过动点的坐标间的代数关系表示出来，这类轨迹的方程可用直接法求解。直接法求轨迹方程的一般步骤为：（1）建系（2）设点（3）列方程（4）化简（5）证明。一般情况下（5）可以省略。例2一圆被两直线，截得的弦长分别为8和4，求动圆圆心的轨迹方程。3. 相关点法（代入法）当互相联系着的两动点、中的一个动点在定曲线上运动时，求另一动点的轨迹方程时，可用相关点法。其具体做法是：建立用表示的式子，而后代入定曲线方程，可得的轨迹方程。例3已知是圆内的一点，是圆上两动点，且满足，求矩形的顶点的轨迹方程。圆锥曲线知识点课后练习1(1)已知两个定点,且=10,则点的轨迹方程是 .(2) 已知两个定点,且=8, 则点的轨迹方程是 .(3) 已知两个定点,且=6, 则点的轨迹方程是 .2两焦点分别为,且经过点的椭圆方程是 .3若椭圆上一点P到焦点的距离等于6,则点P到另一个焦点的距离是 4ABC的两个顶点A,B的坐标分别是,边AC,BC所在直线的斜率之积等于,则顶点C的轨迹方程是 .5点P是椭圆上一点,以点P以及焦点,为顶点的三角形的面积等于1, 则点P的坐标是 .6椭圆的长轴与半短轴的和等于 , 离心率等于 , 焦点的坐标是 ,顶点的坐标是 ,准线方程是 ,左焦点到右准线的距离等于 .7椭圆上一点P到左焦点的距离等于3,则点P到左准线的距离是 ,则点P到右准线的距离是 .8(1) 已知两个定点,动点P到的距离的差的绝对值等于6,则点P的轨迹方程是 ; (2) 已知两个定点,动点P到的距离的差的绝对值等于8, 则点P的轨迹方程是 ; (3) 已知两个定点,动点P到的距离的差的绝对值等于10, 则点P的轨迹方程是 ;9已知曲线C的方程是, (1)若曲线C是圆,则的取值范围是 ; (2)若曲线C是椭圆, 则的取值范围是 ; (3)若曲线C是双曲线, 则的取值范围是 .10椭圆与双曲线有相同的焦点,则的取值范围是 .11ABC的两个顶点A,B的坐标分别是,边AC,BC所在直线的斜率之积等于,则顶点C的轨迹方程是 .12双曲线的实轴长与虚半轴长的和等于 , 离心率等于 , 焦点的坐标是 ,顶点的坐标是 , 准线方程是 ,渐近线的方程 ,两渐近线的夹角等于 ,右支上一点P到左焦点的距离等于10,则它到右准线的距离等于 . 点P到两渐近线的距离的和等于 .13与椭圆有相同的焦点,且离心率为的双曲线的方程是 .14点M与点F的距离比它到直线:的距离小1,则点的轨迹方程是 .15抛物线的焦点的坐标是 , 准线方程是 .16设直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于A,B两点, (1)= ;(2)= ;(3)若直线的斜率为1,则= ; (4) = .17抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是 .18正OAB的三个顶点均在抛物线上,O为原点,则OAB的面积等于 .19方程的两个根可分别作为（） A,一椭圆和一双曲线的离心率 B,两抛物线的离心率C,一椭圆和一抛物线离心率 D,两椭圆的离心率20设椭圆的两个焦点,点P在椭圆上,且. (1)的面积等于 , (2) 点P的坐标是 .21直线与椭圆相交于A,B两点,则= .22已双曲线的离心率为2,则它的两条渐近线所成的锐角等于 .23如果直线与双曲线没有公共点,则的取值范围是 .24过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,自A,B向准线作垂线, 垂足分别为,则= .25一动圆与圆外切,同时与圆内切,求动圆圆心的 轨迹方程.参考答案:1,(1) .(2) ,=8,得点M在内.(3),不存在,.2,().3 ,14(椭圆定义).4,()设,则=.5, ,=,点P的纵坐标为. 6,14;,;. 7,5;. 8,(1) .(2)或,点P在轴上,的左边,或的右边;(3)不存在.9,(1),由得;(2)