高中数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）课件 新人教A版必修4.ppt

3 1 2两角和与差的正弦 余弦 正切公式 一 一 两角和的余弦公式1 推导方法 在两角差的余弦公式中以 代替 2 公式形式 cos 3 简记符号 4 使用条件 为 cos cos sin sin c 任意角 判断 正确的打 错误的打 1 两角和与差的余弦公式中角 是任意的 2 存在实数 使cos cos cos 成立 3 在锐角 abc中 sinasinb和cosacosb两者大小不确定 提示 1 正确 对于任意的 余弦公式成立 2 错误 不存在实数 使等式成立 3 错误 因为 a b 所以cos a b 0 即cosacosb sinasinb 0 所以sinasinb cosacosb 答案 1 2 3 二 两角和与差的正弦公式 s s sin cos cos sin sin cos cos sin 思考 sin sin sin 一定不成立吗 提示 一般情况下不成立 但在特殊情况下如当 0 r 或者 r 0时 sin sin sin 成立 知识点拨 1 公式cos cos cos sin sin 的推导在公式c 中 将 用 来代替 并且注意到cos cos sin sin 于是cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin 2 公式sin sin cos cos sin 的推导运用差角的余弦公式c 和诱导公式 考虑到sin cos 且cos sin sin cos 于是 3 两角和与差的正弦公式的理解 1 角的范围 在两角和与差的正弦公式中 都是任意角 2 结构特点 异名相乘 符号相同 在记忆公式时 一定要注意两个角的顺序 类型一正余弦的两角和与差的简单应用 典型例题 1 sin7 cos37 sin83 sin37 的值为 2 sin165 等于 3 化简 解题探究 1 两角和与差的正余弦公式的角有什么特征 2 165 可以写成哪两个特殊角的和 3 正余弦两角和与差的公式可以怎么用 探究提示 1 公式中 前后的异名函数的角是相同的 2 165 120 45 3 注意公式的正用 逆用 尤其是公式的逆用 要求能正确找出所给式子与公式右边的异同 并积极创造条件逆用公式 解析 1 选b sin7 cos37 sin83 sin37 sin7 cos37 cos7 sin37 sin 7 37 sin30 2 选d sin165 sin 120 45 sin120 cos45 cos120 sin45 3 拓展提升 解决给角求值问题的策略 1 注意分析式子的结构特点 合理选择正余弦的和差公式 2 注意公式逆用过程中诱导公式的应用 3 注意非特殊角与特殊角间的联系及将特殊值转化为特殊角 变式训练 求的值 解析 因为所以 类型二三角函数中的给值求值问题 典型例题 1 如果cos 那么cos 2 2013 普宁高一检测 已知求sin 的值 解题探究 1 同角三角函数存在怎样的关系 2 与已知角两角有怎样的关系 探究提示 1 sin2 cos2 1 2 解析 1 由于所以故答案 2 因为所以所以又因为所以所以 互动探究 若题1中条件不变 如何求的值 解析 因为所以故 拓展提升 给值求值的解题策略 1 在解决此类题目时 一定要注意已知角与所求角之间的关系 恰当地运用拆角 拼角技巧 同时分析角之间的关系 利用角的代换化异角为同角 具体做法是 当条件中有两角时 一般把 所求角 表示为已知两角的和或差 当已知角有一个时 可利用诱导公式把所求角转化为已知角 2 此类问题中 角的范围不容忽视 解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围 变式训练 已知求cos 解析 因为所以因为所以所以cos cos cos sin sin 类型三辅助角公式的应用 典型例题 1 的值是 2 的最大值是 解题探究 1 如何将asin bcos 转变为一个角的三角函数式 2 辅助角公式asin bcos 中对角 有什么要求 探究提示 1 asin bcos 的大小可由tan 来确定 2 在辅助角公式中 asin bcos 的角必须为同角 否则不成立 解析 1 选a 2 故其最大值为答案 拓展提升 辅助角公式及其运用公式asin bcos sin 或asin bcos cos 将形如asin bcos a b不同时为零 的三角函数式收缩为一个角的一种三角函数式 这样做有利于三角函数式的化简 更是研究三角函数性质的常用工具 化为正弦还是余弦 要看具体条件而定 一般要求变形后角 的系数为正 更有利于研究函数的性质 变式训练 函数y sinx cosx 2的最小值是 a 2 b 2 c 0d 1 解题指南 利用辅助角公式转化为关于x的正弦的三角函数值求最值 解析 选a 故其最小值为 规范解答 用和 差角正弦余弦公式求值 典例 条件分析 规范解答 因为所以 2分即所以 4分即 6分 由 0 得所以 8分所以 10分 12分 失分警示 防范措施 1 公式的正用和逆用应熟练熟记两角和与差的正弦 余弦公式的展开形式 如本例中的展开公式的正用以及由得时公式的逆用 2 明确角的范围角的范围关系到相应的三角函数值的符号 如本例中 类题试解 已知求sin sin 的值 解析 由得由得所以sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin 1 sin14 cos16 sin76 cos74 的值是 解析 选b sin14 cos16 sin76 cos74 sin14 cos16 cos14 sin16 sin 14 16 sin30 2 若sin cos cos sin 0 则sin 2 sin 2 等于 a 1b 1c 0d 1 解析 选c sin cos cos sin 0 即sin 0 又sin 2 sin 2 2sin cos2 故sin 2 sin 2 0 3 若则等于 解析 选a 因为所以故 4 解析 答案 5 已知则的值为 解析 由得