2013年理科(培优)圆锥曲线.doc

OABMxy1已知椭圆：（）经过与两点，过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足（1）求椭圆的方程；（2）求证：为定值1（1所以椭圆的方程为（2）由，知在线段的垂直平分线上，由椭圆的对称性知、关于原点对称若点、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时（1分）同理，若点、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时（2分）若点、不是椭圆的顶点，设直线的方程为（），则直线的方程为设，由，解得，（4分）所以，同理可得，所以综上，为定值 2.设抛物线C：的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点(1)若，求线段中点M的轨迹方程； (2) 若直线AB的方向向量为，当焦点为时，求的面积；(3) 若M是抛物线C准线上的点，求证：直线的斜率成等差数列解：(1) 设，焦点，则由题意，即所求的轨迹方程为，即(2) ，直线，由得， (3)显然直线的斜率都存在，分别设为点的坐标为设直线AB：，代入抛物线得，所以，又，因而，因而分而，故1.如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于两点，的周长为8，且面积最大时，为正三角形（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点试探究： 以为直径的圆与轴的位置关系？ 在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由解：（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以 ，椭圆E的方程为 （2）由，得方程由直线与椭圆相切得 求得，中点到轴距离 。所以圆与轴相交。 （2）假设平面内存在定点满足条件，由对称性知点在轴上，设点坐标为， 。由得所以，即所以定点为。 2.设直线交椭圆于两点，交直线于点（1）若为的中点，求证：；（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）解：（1）解法一：设 ，又解法二（点差法）：设，两式相减得即 （2）逆命题：设直线交椭圆于两点，交直线于点若，则为的中点证法一：由方程组因为直线交椭圆于两点，所以，即，设、则 ，又因为，所以，故E为CD的中点证法二：设则，两式相减得即又，即 得，即为的中点（3）设直线交双曲线于两点，交直线于点则为中点的充要条件是1椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点. 若的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为. （1）求椭圆的方程； （2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且.若直线的斜率之和为0，求证：为定值.21解：（1）设椭圆的方程为，由题意知：左焦点为所以， 解得， 故椭圆的方程为 （方法2、待定系数法）（2）设，由：， 两式相减，得到所以，即， 同理，所以，又因为直线的斜率之和为0，所以 方法2、设直线：，代入椭圆，得到，化简得(以下略) 1.已知椭圆的对称轴为坐标轴, 离心率为且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆上，为坐标原点. 求点到直线的距离的最小值解：（I）由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为， 则所以椭圆的方程为（II）当直线斜率存在时，设直线方程为，则由 消去得， ， 设点的坐标分别为，则：， 由于点在椭圆上，所以 . 从而，化简得，经检验满足式. 又点到直线的距离为： 当且仅当时等号成立 当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，从而点的坐标为，直线的方程为，所以点到直线的距离为1 . 所以点到直线的距离最小值为 . 2.已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，的面积为. （）求椭圆的方程；（）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由.解：（）当时，直线的方程为，设点在轴上方，由解得,所以.因为的面积为，解得.所以椭圆的方程为. （）由得，显然.设,则，,. 又直线的方程为，由解得，同理得.所以,.所以,所以以为直径圆过点. 3.在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于，两点）求曲线的轨迹方程；（）是否存在面积的最大值，若存在，求出的面积；若不存在，说明理由.解.（）由椭圆定义可知，点的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为 的椭圆故曲线的方程为（）存在面积的最大值. 因为直线过点，可设直线的方程为 或（舍）则整理得 由设 解得 ， 则 因为 设，则在区间上为增函数所以所以，当且仅当时取等号，即所以的最大值为5.曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆点M的坐标是（0,1），线段MN是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）（）当m= ， 时，求椭圆的方程；（）若OBAN，求离心率e的取值范围解：（）设C1的方程为,C2的方程为,其中.2分 C1 ,C2的离心率相同，所以,所以， C2的方程为 当m=时，A,C . 又,所以，解得a=2或a=(舍)， C1 ,C2的方程分别为，（）A(-,m), B(-,m) OBAN, ，.6.知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（）求抛物线方程及其焦点坐标；（）已知为原点，求证：为定值.解：（）将代入，得所以抛物线方程为，焦点坐标为（）设，法一因为直线不经过点，所以直线一定有斜率设直线方程为与抛物线方程联立得到 ，消去，得：则由韦达定理得： 直线的方程为：，即，令，得 同理可得： 又 所以 所以，即为定值 法二：设直线方程为与抛物线方程联立得到 ，消去，得：则由韦达定理得： 线的方程为：，即，令，得 同理可得： 又 ， 所以，即为定值 4已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点（2）求椭圆.2）求的取值范围；（2）若直线不过点，求证：直线的斜率互为相反数（）设椭圆的方程为，因为，所以，又因为，所以，解得，故椭圆方程为 （）将代入并整理得，解得 （）设直线的斜率分别为和，只要证明设，则 所以直线的斜率互为相反数8.的上顶点为,左焦点为,直线与圆相切.过点直线与椭圆交于两点(I)求椭圆的方程;(II)当面积达到最大时,求直线方程.解:(I)将圆的一般方程化为标准方程,则圆的圆心,半径.由得直线的方程为.由直线与圆相切,得,所以或(舍去).当时,故椭圆的方程为.(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为,则直线的方程为.因为点在椭圆内,所以对任意,直线都与椭圆交于不同的两点.由得设点的坐标分别为,则,所以.又因为点到直线的距离,所以的面积为.设,则且,.因为,所以当时,的面积达到最大,此时,即.故当的面积达到最大时,直线的方程为.9.已知椭圆的中心在原点，短半轴的端点到其右焦点的距离为，过焦点F作直线，交椭圆于两点（）求这个椭圆的标准方程；（）若椭圆上有一点，使四边形恰好为平行四边形，求直线的斜率（）由已知，程为（）若直线轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线对称，此时点C坐标为因为 ，所以点C在椭圆外，所以直线与轴不垂直 于是，设直线的方程为，点，则 整理得， ， 所以 因为 四边形为平行四边形所以 ，所以 点的坐标为， 所以 ，