计算方法作业_最终版.docx

计算方法作业姓名： 蒋姚亮 学号： g20128266 专业： 控制工程 学院： 自动化学院 成绩：_任课教师： 卫宏儒 2012年11月作业一：1、计算下列向量的1-范数、-范数、2-范数。(1) (2) 解：(1) 程序：x=12,-4,-6,2; norm(x,1) norm(x,inf) norm(x,2)运行结果：得到的1-范数、-范数、2-范数分别为：24、12、14.1421。(2) 程序：x=1,3,4; norm(x,1) norm(x,inf) norm(x,2) 运行结果：得到的1-范数、-范数、2-范数分别为：8、4、5.0990。2、计算下列矩阵的行范数、列范数、谱范数、F范数。(1) (2) , 解：(1) 程序：clc x=3 -1 1;1 1 1;2 1 -1; norm(x,inf) norm(x,1) norm(x,2) norm(x,fro)运行结果： (2) , 取a=1;程序：clcx=0 1;-1 0;norm(x,inf)norm(x,1)norm(x,2)norm(x,fro)得到：矩阵的行范数、列范数、谱范数、F范数分别为：5、6、3.7888、4.4721； ，当a=1时，其值分别为：1、1、1、1.4142。作业二：1、用牛顿迭代法求方程在附近的根。要求:给出程序和运行结果，计算结果保留4位有效数字。 解：设定初值p0，最大迭代步数N，误差限Tol，近似根p1，迭代步数k，则程序：syms x; f=x3-3*x-1; %定义f以及df函数df=3*x2-3;p0=2;N=1000;Tol=1e-5;for k=1:N p1=p0-subs(f/df,x,p0); % subs为置换函数，把f/df表达式中的x用p0替代 if abs(p1-p0)Tol break end p0=p1;enddisp(p1);disp(k); %迭代完毕后输出p1和k的值 运行结果：有运行结果可知：当迭代4次时，方程的解为1.879，已经满足精度要求。作业三：1、编写高斯顺序消元法求解下面方程组的程序及并计算结果。解：原理：高斯消去法的求解过程：分为两个阶段:首先，把原方程组化为上三角形方程组，称之为“消去”过程；然后，用逆次序逐一求出三角方程组(原方程组的等价方程组)的解，并称之为“回代”过程。程序：% A为系数矩阵，B为增广矩阵，n为方程中未知数的个数A=10 -1 -1;-1 10 -2;-2 -1 5;b=6.2 8.5 3.2;n=3;B=A,b;for k=1:n-1 if B(k,k)=0 disp(Gauss fails to solve this); return end for i=k+1:n m=B(i,k)/B(k,k); B(i,k+1:n+1)=B(i,k+1:n+1)-m*B(k,k+1:n+1); % 顺序消元过程 endendX(n)=B(n,n+1)/B(n,n); % 回代过程for i=n-1:-1:1 X(i)=(B(i,n+1)-B(i,i+1:n)*X(i+1:n)/B(i,i);enddisp(X) 运行结果： 结果显示：经高斯顺序消元法得到线性方程组的解为：，。作业四：1、编写Jacobi迭代法和Seidel迭代法求解上述方程组的程序，并计算出结果。精度要求：解：(1) Jacobi迭代程序：A=10 -1 -1;-1 10 -2;-2 -1 5;b=6.2 8.5 3.2;n=3;Tol=1e-3;N=1000;IX=0 0 0;X=IX;for k=1:N for i=1:n X(i)=(b(i)-A(i,:)*IX+A(i,i)*IX(i)/A(i,i); % 把X(i)项用其余各X示 if norm(X-IX,inf)1,warning(发散);end;n=length(b);while kN for i=1:n if i=1 X(1)=(b(1)-A(1,2:n)*X0(2:n)/A(1,1); else if i=n X(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*X(1:n-1)/A(n,n); else X(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*X(1:i-1)-A(i,i+1:n)*X0(i+1:n)/A(i,i); end end end if abs(X-X0) Tol break; end X0=X;k=k+1; end if k=N,warning(已达到迭代次数上限);end;disp(k=,num2str(k),X运行结果：由运行结果可知：高斯赛德尔迭代法收敛速度明显比Jacobi迭代法快，其只要迭代3次，就能满足精度要求。作业五：1、用归一化算法(归一化幂法)求矩阵的最大摸特征值和特征向量，其中, 计算过程中保留小数点后5位。解：程序：A=1 6 4;4 4 2;2 2 3;% 输入所需要的各个条件v=1 1 1;eps=1e-5;N=1000;lamda=0;erro=1;k=1;while(keps) u=A*v; m=max(abs(u);% 求出向量u中模最大的元素 dc=abs(lamda-m); u=u/m; % 进行归一化处理 dv=norm(u-v); err=max(dc,dv); v=u; lamda=m; k=k+1;enddisp(The maximum eigenvalue is:);% 输出结果disp(lamda);disp(its corresponding eigenvector is: )disp(u);运行结果：运行结果显示：矩阵A的最大摸特征值和特征向量分别为9.3579和。作业六：1、已知的函数值和导数值如下:，。求次数小于等于4的多项式，使得：，。并给出余项公式。解：构造多项式：，则有：所以：因为为四次多项式，知为一次多项式，所以设,则由导数值值可知：解得：所以作业七：1、一维插值问题的应用题：已知某地区在不同月份的平均日照时间的观测数据如下表所示(h/月)，试分析日照时间的变化规律。月份123456789101112日照80.967.267.150.532.033.636.646.852.362.064.171.2解：程序：x=1:1:12;y=80.9 67.2 67.1 50.5 32.0 33.6 36.6 46.8 52.3 62.0 64.1 71.2;xi=1:0.01:12;y1i=interp1(x,y,xi);y2i=interp1(x,y,xi,spline);plot(x,y,o,xi,y1i,-,xi,y2i,-.)运行结果：运行结果中，圆圈是已知数据点，折线是线性插值曲线，点划线是三次样条曲线。作业八：1、在某化学反应中，由实验得分解物浓度和时间关系如下：时间t/s0510152025303540455055浓度 y(*10-4)mol/m301.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘法求。解：程序：clct=0:5:55;y=0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64;p=polyfit(t,y,2)ti=0:5:55;yi=polyval(p,ti);plot(t,y,o,ti,yi)运行结果：作业九：1、用龙贝格求积算法计算积分。计算过程中数值保留6位有效数字。解：程序：clca=0;b=1;h=b-a;err=1;J=0;R=zeros(4,4);R(1,1)=h*(f(a)+f(b)/2;while(erreps) J=J+1; h=h/2; x=a+h:2*h:b-h; R(J+1,1)=R(J,1)/2+h*sum(f(x); for K=1:min(3,J) R(J+1,K+1)=R(J+1,K)+(R(J+1,K)-R(J,K)/(4K-1); end if(J3) err=abs(R(J+1,4)-R(J,4); endendquad=R(J,4);vpa(quad,6) 其中，。运行结果：作业十：1、用经典R-K方法计算初值问题，取步长，计