高中数学 43向量与实数相乘课件 湘教版必修2.pptVIP

1 掌握向量数乘运算及其几何意义 掌握向量数乘运算的运算律 能熟练地进行向量数乘运算 2 掌握平行向量的条件 会根据平行向量的条件判断两个向量是否平行或点共线 3 理解单位向量的概念及意义 4 3向量与实数相乘 向量数乘运算实数 与向量a的积是一个 这种运算叫做向量的 记作 其长度与方向规定如下 1 a 2 a a 0 的方向 自学导引 1 向量 数乘 a a 当 时 与a方向相同当 时 与a方向相反 0 0 特别地 当 0或a 0时 0a 或 0 平行向量 1 平行向量 方向 的 向量叫做平行向量 2 平行向量的条件 2 0 0 相同或相反 非零 两个向量平行 其中一个向量是另一个向量的 倍 零向量的方向零向量的方向是 零向量与所有的向量 向量与实数的乘法运算律 1 设a是任意向量 x y是任意两个实数 则 x y a xa ya x ya xy a 2 设a b是任意两个向量 是任意实数 则 a b a b 单位向量 长度为 的向量称为单位向量 已知a 则a0 3 4 5 实数 任意的 平行 1 提示表面看来 好像不共线 但眼见不一定为实 还得要让计算来说明问题 自主探究 下列计算正确的个数为 7 6a 42a 2010a 2010 a a b a b 0 a 2b 2a 2b 3a a 1个b 2个c 3个d 4个答案c 预习测评 1 若 a 5 b与a的方向相反 且 b 7 则a b 2 解析b与a反向 故a b 0 a b 即5 7 答案b 下列说法不正确的是 a 方向相同或相反的非零向量是平行向量b 向量可以平行移动c 有公共起点的向量叫共线向量d 零向量与任一向量共线答案c 3 4 对于实数与向量的积的理解 1 a的几何意义就是把a沿着与a相同 0时 或相反 1时 或缩短 1时 到原来的 倍 2 实数与向量可以进行数乘运算 但不能进行加减运算 比如 a a无法进行运算 3 当 0或a 0时 a 0 这时就不必讨论方向了 当 1时 1 a a 就是a的相反向量 名师点睛 1 向量共线向量b与非零向量a共线 则有且只有一个实数 使得b a 若b a r 则a与b共线 注意 1 要证明向量a b共线 只需证明存在实数 使得b a即可 2 如果a b 0 数 仍然存在 此时 并不唯一 是任意实数 2 化简下列各式 题型一向量的运算 例1 典例剖析 点评关于实数与向量相乘的有关运算 只需把向量符号a b c等 看作一般字母符号 然后按照实数的运算方法进行运算即可 其中向量数乘之间的和差运算 相当于合并同类项 计算 1 8 2a b c 6 a 2b c 2 2a c 1 解 1 原式 16a 8b 8c 6a 12b 6c 4a 2c 16 6 4 a 8 12 b 8 6 2 c 6a 4b 题型二用图形中指定向量表示其他向量 例2 点评用图形中指定向量表示其他向量时 一般是利用向量加法 减法的三角形法则或平行四边形法则把被表示的向量表示出来 2 已知非零向量e1和e2不共线 题型三共线问题 例3 2 欲使ke1 e2和e1 ke2共线 试确定实数k的值 点评本题以正反两方面考查了向量共线 即若b与非零向量a共线 则必存在唯一实数 使b a 若b a r 则b与a共线 3 题型四向量在平面几何中的应用 例4 如右图 在平行四边形abcd中 m是ab的中点 点n在对角线bd上 且bn bd 求证 m n c三点共线 4 a与b共线与a b与a b共线有关系吗 错解a与b共线时 a b与a b一定共线 这在作图求向量的加法与减法时就看得出来 反之 a b与a b共线时 不能保证a与b共线 错因分析两个向量是否共线 应经过严格的推理才能得出结论 而不能凭感觉看出来 误区警示不严密推理而出错 示例 因此若a与b共线 则a b与a b共线 反之 若a b与a b共线 则a与b共线 纠错心得解答数学问题讲究逻辑性 要肯定一个结论成立 需要经过严密的推理证明 而指出一个结论不成立 则只须举一反例即可 我们在作图求向量的加法与减法时 确实碰到过a与b共线时 画出来的a b与a b共线 但这不能代替证明 错解中的 反之 a b与a b共线时 不能保证a与b共线 即使是对的 由于没有举出反例 难以令人信服 何况这个论断是错的 实数与