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文档简介
3计算导数 高铁是一个目前非常受欢迎的交通工具 既低碳又快捷 设一辆高速列车走过的路程s 单位 m 关于时间t 单位 s 的函数s f t 40t2 求它的瞬时速度 我们知道 导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率 物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度 那么 对于函数y f x 如何求它的导数呢 由导数定义本身 给出了求导数的最基本的方法 但由于导数是用极限来定义的 所以求导数总是归结到求极限 这在运算上很麻烦 有时甚至很困难 如y cosx y log2x等 为了能够较快地求出某些函数的导数 这一节我们将研究比较简捷的求导数的方法 1 熟记基本初等函数的导数公式 会用导数公式计算函数的导数 重点 2 用定义法求函数的导数 难点 探究点1 计算y f x 在x x0处的导数的步骤是什么 提示 解 首先 对t 5给出自变量t的改变量 t 得到相应的函数值的改变量 再计算相应的平均变化率 当 t趋于0时 可以得到导数 导数表示的是物体在第5s时的瞬时速度 也就是物体在第5s时的瞬时速度为20m s 举一反三 若函数s f t 变为 取g 10m s2 应如何求解 解 首先 对t 5给出自变量t的改变量 t 得到相应的函数值的改变量 再计算相应的平均变化率 当 t趋于0时 可以得到导数 导数表示的是物体在第5s时的瞬时速度 也就是物体在第5s时的瞬时速度为50m s 解 抽象概括 对此你能进一步作出总结吗 探究点2导函数的定义 一般地 如果一个函数f x 在区间 a b 上的每一点x处都有导数 导数值记为 则是关于x的函数 称为f x 的 通常也简称为 导数 导函数 区间上的每一个值 思考1 函数f x 的导函数与f x 在x x0处的导数是什么关系 提示 函数f x 的导函数是一个以x为自变量的函数 函数f x 在x x0处的导数是导函数在x x0处的值 思考2 函数在定义域内任意一点都有导数吗 提示 不一定 如函数在x 0处不存在导数 不趋于同一常数 解 变式练习 解 想一想 两个有相同导数的函数是否是同一个函数 提示 不一定 因为两个函数相差一个常数 则它们有相同的导数 反之也成立 即f x g x f x g x c 常数 例如 f x g x 3x2 则f x x3 m g x x3 n m n为常数 而m与n未必相等 基本初等函数的导数公式 x 1 cosx sinx 0 axlna ex 1 下列各式正确的是 c 2 已知函数 则f 3 解析 因为所以 3 f x 80 则f x 0 4 函数的导数是 5 曲线y x2在点p处切线的斜率为1 则点p的坐标为 解析 y 2x 所以即p点坐标为 d 解析 1 导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念 要从它的几何意义和物理意义认识这一概念的实质 学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态 2 切实掌握求导数的
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