概率论与数理统计学1至7章课后答案.doc

第7章作业题解7.1解： 已知总体(1) 总体的一阶原点矩为，因此得方程，解之得，以样本矩代替总体原点矩，可得参数的矩估计为。(2) 因为总体的概率函数为所以关于p的似然函数为取对数，得求导数，并令导数为零，得似然方程解之得 ， 其中用即可得到参数p的极大似然估计：7.2解：(1) 因为总体服从指数分布，所以总体的一阶原点矩为由此得方程，解之得，以样本矩代替总体原点矩，可得参数的矩估计为。(2) 因为关于的似然函数为取对数，得求导数，并令导数为零，得似然方程解之得 ，即用即可得到参数的极大似然估计：。7.3 解：(1) 因为总体服从均匀分布，所以总体的一阶原点矩为由此得方程，解之得，以样本矩代替总体原点矩，可得参数的矩估计为。(2) 因为关于的似然函数为根据极大似然估计的定义，要尽可能大的话，就要尽可能地小，但是又不能大于样本值，所以可取样本的最大值作为参数的极大似然估计。7.5解：因为总体X服从正态分布，其密度函数为所以，关于的似然函数为取对数，得求导数，并令导数为零，得似然方程解之得 ，用即可得到参数的极大似然估计：。7.6解：因为总体服从指数分布，其参数为，所以总体的均值为，总体的方差为，于是有 (1) 因为，所以这四个估计量都是的无偏估计。(2) ，比较可得 。所以这四个估计中是最优估计。7.7解： 已知总体X服从均匀分布，所以总体的一阶原点矩为(1) 因为，所以不是的无偏估计。(2) 建立方程，解之得，以样本矩代替总体原点矩a1，可得参数的矩估计为。因为 ，所以是的无偏估计。7.8解：因为 是的无偏估计，所以，则所以是的无偏估计。又已知，且相互独立，则求导数，并令导数为0，得解之得， 因为，所以是最小值点，即时可使方差达到最小。7.9解：由样本值可得，。因为总体服从正态分布，所以(1) 方差已知时，总体均值的区间估计为已知n=16，查表得，代入上式得的区间估计为(2) 方差未知时，总体均值的区间估计为已知n=16，查表得，代入上式得的区间估计为第七章 参数估计（1）点估计矩估计设总体X的分布中包含有未知数，则其分布函数可以表成它的k阶原点矩中也包含了未知参数，即。又设为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有由上面的m个方程中，解出的m个未知参数即为参数（）的矩估计量。若为的矩估计，为连续函数，则为的矩估计。极大似然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为，其中为未知参数。又设为总体的一个样本，称为样本的似然函数，简记为Ln.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为，则称为样本的似然函数。若似然函数在处取到最大值，则称分别为的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。若为的极大似然估计，为单调函数，则为的极大似然估计。（2）估计量的评选标准无偏性设为未知参数的估计量。若E （）=，则称 为的无偏估计量。E（）=E（X）， E（S2）=D（X）有效性设和是未知参数的两个无偏估计量。若，则称有效。一致性设是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有则称为的一致估计量（或相合估计量）。若为的无偏估计，且则为的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。（3）区间估计置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本出发，找出两个统计量与，使得区间以的概率包含这个待估参数，即那么称区间为的置信区间，为该区间的置信度（或置信水平）。单正态总体的期望和方差的区间估计设为总体的一个样本，在置信度为下，我们来确定的置信区间。具体步骤如下：（i）选择样本函数；（ii）由置信度，查表找分位数；（iii）导出置信区间。已知方差，估计均值（i）选择样本函数(ii) 查表找分位数（iii）