函数复习讲义.doc

专题一 函数复习一、函数1、（1）映射的概念：设、是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对中每个元素，按法则，在中有唯一确定的元素与之对应，则称为从到的映射，记作 其中称为元素(在映射下)的像，并记作，即。元素称为元素(在映射下)的一个原像，集合称为映射的定义域，记为，即，中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域，记作或，即。（1） 映射的理解映射三要素：集合,集合,对应法则，即定义域，值域，对应法则。对于每个，元素的像是唯一的；而对每个，元素的原像不一定是唯一的；映射的值域是的一个子集，即不一定。（3）设是从集合到集合的映射，若中任一元素都是中某元素的像，则称为到上的映射或满射；2、函数的概念(1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为(2)函数的定义域、值域在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。(3) 函数的三要素：定义域、值域和对应法则(4) 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。3函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。5、反函数：（1） 存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个值，都有唯一的值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有有反函数；周期函数一定不存在反函数。（2） 反函数的性质：反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。函数的图象与其反函数的图象关于直线对称，注意函数的图象与的图象相同。互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。设的定义域为A，值域为B，则有，但。2、 函数的单调性1、函数的单调性定义：设函数的定义域为，区间，如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间；如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间。如果用导数的语言来，那就是：设函数，如果在某区间上，那么为区间上的增函数；如果在某区间上，那么为区间上的减函数；2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：（1）定义法（取值作差变形定号）；导数法,在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等，特别要注意型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为. （3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减（4）若与在定义域内都是增函数（减函数），那么在其公共定义域内是增函数（减函数）。3、单调性的说明：（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性；二是大小，即；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可； （3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递减区间为和。4、函数的最大（小）值设函数的定义域为，如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值；如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。3、 函数的奇偶性1、函数的奇偶性的定义：对于函数的定义域内任意一个，都有或，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。对于函数的定义域内任意一个，都有或，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）2.函数的奇偶性的判断：（1）可以利用奇偶函数的定义判断（2）利用定义的等价形式, ，（）（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称3函数奇偶性的性质：（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.（2）若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设是定义域为R的任一函数， ，。（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.（5）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇四、函数的周期性1、函数的周期性的定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。2周期性的性质（1）若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；（2）若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；（3）如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；（4）若f(x+a)=f(x+b) 则T=|b-a|；函数满足，则是周期为2的周期函数；若恒成立，则；若恒成立，则；5、 二次函数1、二次函数的解析式的三种形式：(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0)。(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。(3)两点式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。2二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标（1）a0时，抛物线开口向上，函数在上单调递减，在上单调递增，时，；（2）a0) ，(1)x1,x2,x2,则(3)x1b,x2b,则 (4)x1b (0(0(0(0)的解集为或者是6、 指数与指数函数1、指数运算；2.指数函数：（），定义域R，值域为（）.当，指数函数：在定义域上为增函数；当，指数函数：在定义域上为减函数.当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反. 7、 对数与对数函数1、对数运算：；2对数函数：如果（）的次幂等于，就是，数就叫做以为底的的对数，记作（，负数和零没有对数）；其中叫底数，叫真数.当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.8、 幂函数1、幂函数的概念：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数2、幂函数的图像及性质定义域RRR奇偶性奇偶奇非奇非偶奇第象限增减性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增第象限单调递减幂函数 的图像在第一象限的分布规律是：所有幂函数 的图像都过点；当时函数的图像都过原点；当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如）；当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如）当时，的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如）当时，的的图像不过原点，且在第一象限是“下滑”曲线（如）3、幂函数性质的拓展当时，幂函数有下列性质：（1）图象都通过点，；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，时，图象是向下凸的；时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过点后，图象向右上方无限伸展。当时，幂函数有下列性质：（1）图象都通过点；（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向上与轴无限地接近；向右无限地与轴无限地接近；（4）在第一象限内，过点后，越大，图象下落的速度越快。无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。9、 函数图象1、函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；描点连线，画出函数的图象。运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；平移变换：、水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x) y=f(x-h)；、竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到；1）y=f(x) y=f(x)+h；2）y=f(x) y=f(x)-h。对称变换：、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；y=f(x) y=f(-x)、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；y=f(x) y= -f(x)、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) y= -f(-x)、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。y=f(x) x=f(y)、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到；y=f(x) y=f(2a-x)。翻折变换：、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到； 、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到 伸缩变换：、函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；y=f(x)y=af(x)、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到f(x)y=f(x)y=f()（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。10、 函数与方程1、函数零点概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。2、 两个函数与图象交点的横坐标就是方程的解；反之，要求方程的解，也只要求函数与图象交点的横坐标11、 抽象函数1、 抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：正比例函数型： -；幂函数型： -，；指数函数型： -，； 对数函数型： -，； 三角函数型： - （2） 利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如（1）设函数表示除以3的余数，则对任意的，都有A、 B、 C、 D、（答：A）（3）利用一些方法（如赋值法（令0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）若，满足，则的奇偶性是_（答：奇函数）；十二、导数1、定义：设函数在点的某个区域内有定义，当自变量在处取得增量（点+仍在该区域内）时，相应的函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为或，即。2、利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量；第二步：求平均变化率；第三步：取极限得导数.3、导数的几何意义是：曲线上点（）处的切线的斜率。4、导数的常见形式有：，。5、单侧导数：是一个极限，其存在条件的充要条件是左、右极限都存在且相等，因此在点处可导的充要条件是左、右极限及都存在且相等。这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作，。左导数和右导数统称为单侧导数。6、函数的连续性: (1)定义:如果函数在点处及其附近有定义,而且,就说函数在点处连续.(2)函数在点处连续的充要条件是.注:等式的含义有三点:在点处及其附近有定义; 存在; 在点处的极限值等于这一点的函数值.(3) “ 函数在点处不连续”就说的图象在点处间断.(4) 函数在区间上连续: 若函数在开区间内每一点处连续,就说函数在开区间内连续; 若函数在开区间内每一点处连续,并且,就说函数在闭区间上连续.(5)初等函数在其定义域内每一点处都连续.(6) 连续函数的性质:闭区间上的连续函数的图象是坐标平面上的一条有始点和终点的连续曲线.它有如下性质: (最大值和最小值定理)若是闭区间上的连续函数,则在闭区间上有最大、最小值.零点定理：若是闭区间上的连续函数,且,则方程在区间上至少有一个实数解. 介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得（）.7、可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。8、导函数：如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称导数，记为 。如果f(x)在(a,b)内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间a,b上可导，f(x)为区间a,b上的导函数，简称导数。9、函数的求导法则：如果函数及都在点具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点具有函数，且；10、反函数的求导法则：，即反函数的导数等于直接函数导数的倒数。11、复合函数的求导法则：如果在点可导，而在点可导，则复合函数在点可导，且其导数为。12、常数和基本初等函数的导数公式, ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，。13、 函数的极值、极限1、 函数极值（1）定义：一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。（2）计算步骤：求导数求方程的根检查在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值无意义的点也要讨论。即可先求出f(x)=0的根和f(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断。2、函数极限：(1) 函数的六种极限定义:的意义是当自变量取正值并且无限增大时,无限趋进于一个常数;的意义是当自变量取负值并且绝对值无限增大时,无限趋进于一个常数;都存在,且等于;的意义是当自变量从右侧(即)无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋近于一个常数;的意义是当自变量从左侧(即)无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋近于一个常数;的意义是当自变量无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋近于一个常数; 注: ,都存在,且等于;(2)函数极限的运算法则: 如果,存在,且,那么,.这些法则对于其他情况仍然成立.（3） 几个常用极限；（01）;（1）（4） 洛必达法则：定理一：设（1）当时，函数及都趋于零；（2）在点的某去心领域内，及都存在且；（3）存在（或为无穷大），那么定理二：（1）当时，函数及都趋于零；（2）当时，及都存在且；（3）存在（或为无穷大），那么以上定理适用于求解型的极限。14、 微积分及定积分1、定积分几何意义：表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相反数2、微积分基本定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数，牛顿-莱布尼茨公式：此公式进一步揭示了定积分与原函数之间的联系。3、定积分的计算定义法：分割近似代替求和取极限利用定积分几何意义微积分基本公式：换元法与分部积分法（是常数）。设，则4、定积分的基本应用：（1）定积分在几何上的应用计算平面图形的面积（2）定积分在物理上的应用：变速直线运动的路程，变力作功。十五、函数的应用1、抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；2建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；3求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.实际问题函数模型抽象概括实际问题的解函数模型的解还原说明运用函数的性质这些步骤用框图表示是：例、如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（ba）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.解： 设四边形EFGH的面积为S，则SAEH=SCFG=x2,SBEF=SDGH=（a-x）（b-x），S=ab-22+（a-x）（b-x）=-2x2+（a+b）x=-2（x-2+由图形知函数的定义域为x|0xb.又0ba,0b,若b,即a3b时，则当x=时，S有最大值;若b,即a3b时，S（x）在（0,b上是增函数，此时当x=b时，S有最大值为-2(b-)2+=ab-b2,综上可知，当a3b时，x=时，四边形面积Smax=,当a3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.专题 解题方法、技巧一、求函数解析式的方法（注意定义域优先原则）1、 待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。例1、已知函数是二次函数，若且，试求的表达式。 解：由知在轴截距为0，设其解析式为，。2、 凑配法已知形如的表达式，求的表达式。例2、已知，求。，以代得。3、 换元法若原函数直接求解困难或者比较繁琐，可采用换元替代的方法求解。例3、已知求。解：令则，再以代，即得，。4、 赋值法（方程的思想）已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。5、 利用奇偶性适用于有明显奇偶性的函数例5、为定义在上的奇函数，并且当时，求。解：当时，根据奇函数的性质有6、 周期性例6、为定义在上的偶函数，关于对称，时，求当时，的表达式。解：，是以4为周期的周期函数，当时，。7、 消元法消去方程中的某一个参数例7、已知，设为奇函数，为偶函数，求，。解由得，由得推论：任意一个非奇非偶函数都可以写成一个奇函数和一个偶函数的和的形式。例8、已知求。解：。注：无论用哪种方法，都应注意函数的定义域。二、求值域（最值）的方法1、 配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系）。例1、求函数的值域解：。2、 换元法（包括整体换元和三角换元）通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。例2、已知，求值域。解：令则，。例3、已知，求值域。解：令则，。3、 函数有界性（常用于分离常数法和反代法中，在此一并讲解）直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性。例4、已知函数，求值域。解：方法一，分离常数法 ，利用函数，即有界