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文档简介

第二讲 授课题目（不定积分）：5.2 凑微分法 教学目的与要求：熟练掌握基本的不定积分公式，熟悉“凑微分法”与“变量代换法” 的一般原则。 教学重点与难点：重点：凑微分法，变量代换法。难点：凑微分法, 变量代换法。 讲授内容：一、 凑微分法利用基本性质和基本积分公式，可以解决一些较为简单的函数的积分问题。但是，很多函数是经过复合而成的，无法直接利用公式。来看下面几个例子。例1 求这个不定积分不直接在表.5.1中，因为不是的导数。解 因为而，所以。例2 求解按照等价命题 例3 求这样想： ，联想到 ，再想到如果最后一个等式正是我们想要的。利用等价命题，就可以得到。在以上的例子中，基本想法是找使具体做法是利用链法则，按的具体情况凑出了。这种计算不定积分的方法叫做凑微分法，或叫换元法（integration by substitution）例4 求如果我们能想到和 那么这个不定积分就可以看作如果是的反导数，根据链法则所以，将看作是 ， 由于 就可以得到 还可以通过求导数来验证结果是正确的。 把上面的思路理清楚：如果 是的反导数，而是某个可导函数，那么根据链法则或者 ，例5 求解 注意运算中的一个细节：,知道这一点非常重要。在凑微分的过程中，下面这些微分等式至关重要。；; ； ； ； ； ；它们就像建筑中的模块，在凑微分过程中起到重要作用。可以总结一些常见的凑微分公式如下（表5.2）。 表5.2 被积分表达式中含有 凑微分法 例6 求解 因为所以例7 求解 因为设u=x2，所以例8 求解 设u=3x一般地 例9 求 解 设u=2x2,du=4xdx,二、 第二类换元法如果上述凑的方法行不通，而且被积函数中含有开方运算，这时就要“无中生有”了引入新变量，将被积函数中的根号“去掉”例10 求从被积表达式中难以看出怎样凑出 .可以做个变换或者 那么 再看下面的例子。例11 求同样，从被积表达式中难以直接看出怎样凑出.但是，可以想到做个变换 那么 而 注意到和 =例12 求注意到这里用到了（为什么？）一般地，对于正的奇数,和都采用类似的方法计算。例13 求解 因为所以一般地，对于正的偶数 和 都采用类似的方法计算。 小结与提问：总结一下，利用凑微分法解题的要点是：根据被积函数的特点凑出中间变量及其微分形式，或者说，将被积表达式表示成 ，从而将积分化为推广的积分表的形式，即 的形式。应用这种方法 ，必须熟悉怎样将某些函数移进微分号内，这是微分运算的相反过程 课外作业：1. 填空，凑成微分形
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