第十一章反常积分习题课

第十一章 反常积分习题课一 概念叙述1叙述收敛的定义答：收敛 存在2叙述（是暇点）收敛的定义答：收敛 存在当，有3 叙述收敛的柯西准则答：无穷积分收敛的柯西准则是：任给，存在，只要，便有4 叙述（是暇点）收敛的柯西准则答：瑕积分（瑕点为）收敛的充要条件是：任给，存在，只要，总有二 疑难问题1试问收敛与有无联系？答：首先，肯定不是收敛的充分条件，例如，但发散那么是否是收敛的必要条件呢？也不是！例如，都收敛，因为前两个无穷积分经换元得到，=，则，是条件收敛，对于第三个无穷积分，经换元而得=，它也是条件收敛的 从这三个无穷积分的收敛性可以看到，当时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛注：若，则发散注：1）若收敛,且存在, 则定有；2）若收敛,且在上为单调，则；3）若收敛，且在上一致连续，则；4）若收敛，且收敛，则证：1）设若（不妨设），则由极限保号性，当时满足于是有 ，于是而这与收敛相矛盾，故2）不妨在上单调增，若在上无上界，则，当时，使类似于1）的证明，推知，矛盾所以在上单调增而有上界，于是由单调有界定理知存在依据已证得的命题1），3）由在上一致连续，则，（设 时，就有又因收敛，故对上述，当时，有现对任何，取，且使此时由便得这就证得 4）因为收敛，则存在，于是存在，由1)得证2收敛，与收敛，收敛的关系？答：1）因为绝对收敛收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例，则收敛 收敛2）收敛 收敛，例 条件收敛，但，发散，发散，则发散例 收敛，但发散3）收敛 收敛，例 ，对，总存在，使当时，都有 故但对于，例 绝对收敛，即收敛，因为绝对收敛，即收敛，而，是暇点，取 ，则，因为收敛因为，收敛，是暇点，取 ，则，因为，则发散例 收敛，但发散3（为瑕点）收敛，与收敛 ，收敛的关系？ 答：1）收敛 收敛因为绝对收敛收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例 2）收敛收敛，收敛收敛反例 收敛，但发散3）若（为瑕点）收敛，则（为瑕点）收敛证 因，则由比较原则，可得收敛，从而收敛3下列说法对吗？1）因为在没有定义，则是瑕积分；2）因为在没有定义，则是的暇点 答：若被积函数在点的近旁是无界的，这时点称为的瑕点1）错误，因为，则在的近旁有界，因此不是瑕点，是定积分若在上连续，（常数），则可看成正常积分，事实上，定义知在上连续，即存在，而，由于在上连续，知变下限函数在上连续，有，即故可看成正常积分。2）错误，因为，则在近旁有界，因此不是瑕点注 我们经常通过证（）来判断为的瑕点例 因为，则是的暇点 4定积分，无穷积分有什么区别？答 1) 在可积 在可积 在可积收敛 收敛 收敛2），但对于不一定具有这个性质，因为此时可能发散3）在可积，则在上有界，但收敛不能保证在上有界，例如，不仅不存在，而且在上无界再如条件收敛，但在上无界5定积分与瑕积分有什么区别？答 收敛（为瑕点） 收敛（为瑕点） 收敛（为瑕点）在可积 在可积 在可积2），但对于（为瑕点）不一定具有这个性质，因为此时可能发散3）在可积，则在上有界，但（为瑕点）收敛不能保证在上有界注 反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上积分时，先要检查是否有瑕点，不能把定积分的性质直接平移到反常积分中5定积分哪些性质可以平移到反常积分中？答：定积分的线性运算，牛顿莱布尼茨公式，换元积分，分部积分，在反常积分中，仍然成立若广义积分收敛，也有线性运算法则，不等式性质，也有凑微分，变量替换，分部积分公式，换句话说可以像正常的定积分一样运算。例如这里由在连续必有原函数，设的原函数为。于是（为瑕点）；（为瑕点）6总结对无穷积分(或瑕积分)收敛判别的一般步骤：1）首先用比较法则及其推论来判别是否绝对收敛,当判得(或)收敛时, (或)绝对收敛；2) 当判得(或)发散时，还需依赖其它方法（如狄利克雷判别法、阿贝尔（Abel）判别法，或者直接使用收敛定义或柯西收敛准则）来判别(或)是否条件收敛注意：1）看到有限区间上的积分，一定要观察有无瑕点，有瑕点的是瑕积分，没有暇点的是定积分，定积分是一个数，总认为是收敛的2）假如一个积分中既有无穷积分又有瑕积分，首先利用，使变成两个积分的和，使其中一个积分是无穷积分，另一个是瑕积分3）假如积分中有两个暇点，利用，使变成两个积分的和，一个积分中只有1个瑕点 4）假如积分中既有，又有，先利用7 在确定反常积分类型时有哪些值得注意的地方？答 （1）有时，无穷积分与瑕积分存在于同一个反常积分中，例如这个形式上的无穷积分，其实还含有瑕点(当)这时需要先把它拆成几个单纯形式的反常积分：当且仅当这四个反常积分都收敛时，原来的反常积分才是收敛的显然，其中的瑕积分都是发散的，故原来的反常积分亦为发散（2）不要把瑕积分混淆为定积分，例如其实它是一个以为瑕点的瑕积分，必须先化为而后讨论等号右边的两个瑕积分，当且仅当它们都收敛时，等号左边的瑕积分才是收敛的显然，这里两个瑕积分（等号右边）都是发散的，故原来的瑕积分亦为发散需要注意的是，不要误将这个瑕积分当作是定积分，并利用奇函数在-1,1上的积分值为0，轻率地得出这样一个错误的结论8. 两个发散的无穷积分的代数和是否必为发散？答 不一定如果，则有 发散；至于是否收敛，则无肯定结论 三 重要例题1重要结论：1）当时, 反常积分收敛；时反常积分发散 2），当时, 反常积分收敛；时反常积分发散3）与当时绝对收敛，当时条件收敛，当时发散2计算下列反常积分：1）； 2）；3）（）解1）2） 3）法1：为去根号，令，则，于是 法2：为去根号，还可以令，则，于是 3判断下列无穷积分的敛散性： 1）； 2）； 3）；1）分析 ，根据定理3，是比高阶的无穷大量，即不论是何值，而根据柯西判别法，只能判定收敛，因此我们取为任何一个大于的数解 取为任何一个大于的数，不妨取，因为，因此根据柯西判别法知，对任何，无穷积分都收敛2）取使中分子分母最高次数相同，则取因为，因此根据柯西判别法知，是发散的3）解 ，根据定理3，是比的高阶的无穷大量，当，而根据柯西判别法，只能判定收敛，因此需要取，即当时，收敛；当时，而根据柯西判别法，只能判定发散，因此需要取，即当时，发散小结：的取法：取法1 若或或，则的选取方法是让中分子分母的最高次数相同，其中 以说明为例，由定理1、2有取，则，根据柯西判别法，若，则收敛，若，则发散取法2 若中含有或，则要借助于下面定理来取定理 对任意的正数和任意常数，当，函数是比的高阶的无穷大量，函数是比高阶的无穷大量4 判别下列瑕积分的收敛性：1）； 2）；3）； 4）；5）解 五个瑕积分的被积函数在各自的积分区间上分别保持同号上恒为负，在上恒为正，等所以它们的瑕积分收敛与绝对收敛是同一回事1）此瑕积分的瑕点为分析 ，当时，由于，则，而极限为0只能判收敛，而要判收敛，取，因此取的一个数取时，有，所以瑕积分1）收敛2）此瑕积分的瑕点为分析 ，当，分子分母为无穷小量，考虑等价无穷小替换，取，则取时，由=1，推知该瑕积分发散小结：取法：取法1：先找等价无穷小量，让分子分母中无穷小量次数相同，即当，让的次数相同当，让的次数相同取法2：利用，而极限等于0只能判收敛，取3）此瑕积分的瑕点为， ，当时，由于，则，而极限为0只能判收敛，而要判收敛，取，因此取的一个数取时，有，所以瑕积分3）收敛4）此瑕积分的瑕点为，当时，由于，则，而极限为0只能判收敛，而要判收敛，取，因此取的一个数取时，有，所以瑕积分4）收敛5）此瑕积分的瑕点为，对于，此瑕积分的瑕点为， 取时，则，瑕积分发散，因此发散 5讨论下列积分的收敛性1）； 2）1）分析: 被积函数在上为非负函数,为参数 时,0点为瑕点； 时, 1为瑕点； 时为正常积分解: 时原积分为正常积分； 时, 瑕点为 此时 ,故收敛； 时, 瑕点为 当时, ,故原积分在时收敛, 在时发散综上, 时, 收敛, 时发散2)当，是正常积分，当时，当时, , 故时, 收敛, 时, 发散；(由于只