高考数学大一轮复习 12.2古典概型课件 理 苏教版.ppt

12 2古典概型 第十二章概率 随机变量及其概率分布 数学苏 理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 基本事件的特点 1 任何两个基本事件是的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 2 古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型 简称古典概型 1 试验中所有可能出现的基本事件 2 每个基本事件的发生都是的 互斥 只有有限个 等可能 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 在适宜条件下 种下一粒种子观察它是否发芽 属于古典概型 其基本事件是 发芽与不发芽 2 掷一枚硬币两次 出现 两个正面 一正一反 两个反面 这三个结果是等可能事件 3 从市场上出售的标准为500 5g的袋装食盐中任取一袋 测其重量 属于古典概型 4 有3个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个小组 每位同学参加各个小组的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 5 从1 2 3 4 5中任取出两个不同的数 其和为5的概率是0 2 6 在古典概型中 如果事件a中基本事件构成集合a 且集合a中的元素个数为n 所有的基本事件构成集合i 且集合i中元素个数为m 则事件a的概率为 甲 乙 丙三人随机地站成一排 共有甲 乙 丙 甲 丙 乙 乙 甲 丙 乙 丙 甲 丙 甲 乙 丙 乙 甲共6种排法 其中甲 乙两人相邻而站共甲 乙 丙 乙 甲 丙 丙 甲 乙 丙 乙 甲4种排法 故p 解析 例1袋中有大小相同的5个白球 3个黑球和3个红球 每球有一个区别于其他球的编号 从中摸出一个球 1 有多少种不同的摸法 如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型 该模型是不是古典概型 题型一基本事件与古典概型的判断 解析 思维点拨 解析 思维点拨 古典概型的判断依据是 有限性 和 等可能性 例1袋中有大小相同的5个白球 3个黑球和3个红球 每球有一个区别于其他球的编号 从中摸出一个球 1 有多少种不同的摸法 如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型 该模型是不是古典概型 题型一基本事件与古典概型的判断 解析 思维点拨 解由于共有11个球 且每个球有不同的编号 故共有11种不同的摸法 又因为所有球大小相同 因此每个球被摸中的可能性相等 故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型 例1袋中有大小相同的5个白球 3个黑球和3个红球 每球有一个区别于其他球的编号 从中摸出一个球 1 有多少种不同的摸法 如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型 该模型是不是古典概型 题型一基本事件与古典概型的判断 例1袋中有大小相同的5个白球 3个黑球和3个红球 每球有一个区别于其他球的编号 从中摸出一个球 2 若按球的颜色为划分基本事件的依据 有多少个基本事件 以这些基本事件建立概率模型 该模型是不是古典概型 思维点拨 解析 思维升华 古典概型的判断依据是 有限性 和 等可能性 思维点拨 解析 思维升华 例1袋中有大小相同的5个白球 3个黑球和3个红球 每球有一个区别于其他球的编号 从中摸出一个球 2 若按球的颜色为划分基本事件的依据 有多少个基本事件 以这些基本事件建立概率模型 该模型是不是古典概型 解由于11个球共有3种颜色 因此共有3个基本事件 分别记为a 摸到白球 b 摸到黑球 c 摸到红球 又因为所有球大小相同 所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为 而白球有5个 思维点拨 解析 思维升华 例1袋中有大小相同的5个白球 3个黑球和3个红球 每球有一个区别于其他球的编号 从中摸出一个球 2 若按球的颜色为划分基本事件的依据 有多少个基本事件 以这些基本事件建立概率模型 该模型是不是古典概型 故一次摸球摸到白球的可能性为 同理可知摸到黑球 红球的可能性均为 显然这三个基本事件出现的可能性不相等 所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型 思维点拨 解析 思维升华 例1袋中有大小相同的5个白球 3个黑球和3个红球 每球有一个区别于其他球的编号 从中摸出一个球 2 若按球的颜色为划分基本事件的依据 有多少个基本事件 以这些基本事件建立概率模型 该模型是不是古典概型 一个试验是否为古典概型 在于这个试验是否具有古典概型的两个特点 有限性和等可能性 只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型 思维点拨 解析 思维升华 例1袋中有大小相同的5个白球 3个黑球和3个红球 每球有一个区别于其他球的编号 从中摸出一个球 2 若按球的颜色为划分基本事件的依据 有多少个基本事件 以这些基本事件建立概率模型 该模型是不是古典概型 跟踪训练1下列试验中 是古典概型的个数为 向上抛一枚质地不均匀的硬币 观察正面向上的概率 向正方形abcd内 任意抛掷一点p 点p恰与点c重合 从1 2 3 4四个数中 任取两个数 求所取两数之一是2的概率 在线段 0 5 上任取一点 求此点小于2的概率 解析 中 硬币质地不均匀 不是等可能事件 所以不是古典概型 的基本事件都不是有限个 不是古典概型 符合古典概型的特点 是古典概型问题 答案1 例2 2013 山东 某小组共有a b c d e五位同学 他们的身高 单位 米 及体重指标 单位 千克 米2 如下表所示 题型二古典概型的概率 思维点拨列举出基本事件 1 从该小组身高低于1 80的同学中任选2人 求选到的2人身高都在1 78以下的概率 解从身高低于1 80的4名同学中任选2人 其一切可能的结果组成的基本事件有 a b a c a d b c b d c d 共6个 设 选到的2人身高都在1 78以下 为事件m 其包括事件有3个 故p m 思维点拨列举出基本事件 2 从该小组同学中任选2人 求选到的2人的身高都在1 70以上且体重指标都在 18 5 23 9 中的概率 解从小组5名同学中任选2人 其一切可能的结果组成的基本事件有 a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e 共10个 设 选到的2人的身高都在1 70以上且体重指标都在 18 5 23 9 为事件n 且事件n包括事件有 c d c e d e 共3个 则p n 思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件a包含的基本事件的个数 这就需要正确列出基本事件 基本事件的表示方法有列举法 列表法和树形图法 具体应用时可根据需要灵活选择 跟踪训练2 2014 天津 某校夏令营有3名男同学a b c和3名女同学x y z 其年级情况如下表 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛 每人被选到的可能性相同 1 用表中字母列举出所有可能的结果 解从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为 a b a c a x a y a z b c b x b y b z c x c y c z x y x z y z 共15种 2 设m为事件 选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学 求事件m发生的概率 解选出的2人来自在不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为 a y a z b x b z c x c y 共6种 因此 事件m发生的概率p m 例3 2013 陕西 有7位歌手 1至7号 参加一场歌唱比赛 由500名大众评委现场投票决定歌手名次 根据年龄将大众评委分为五组 各组的人数如下 题型三古典概型与统计的综合应用 1 为了调查评委对7位歌手的支持情况 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委 其中从b组中抽取了6人 请将其余各组抽取的人数填入下表 思维点拨各组抽取人数的比率是相等的 因此 由b组抽取的比率可求得其它各组抽取的人数 解由题设知 分层抽样的抽取比例为6 所以各组抽取的人数如下表 2 在 1 中 若a b两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人 求这2人都支持1号歌手的概率 思维点拨各组抽取人数的比率是相等的 因此 由b组抽取的比率可求得其它各组抽取的人数 解记从a组抽到的3个评委为a1 a2 a3 其中a1 a2支持1号歌手 从b组抽到的6个评委为b1 b2 b3 b4 b5 b6 其中b1 b2支持1号歌手 从 a1 a2 a3 和 b1 b2 b3 b4 b5 b6 中各抽取1人的所有结果为 由以上树状图知所有结果共18种 其中2人都支持1号歌手的有a1b1 a1b2 a2b1 a2b2共4种 故所求概率p 思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型 已成为高考考查的热点 概率与统计结合题 无论是直接描述还是利用频率分布表 频率分布直方图 茎叶图等给出信息 只需要能够从题中提炼出需要的信息 则此类问题即可解决 跟踪训练3 2014 湖南 某企业有甲 乙两个研发小组 为了比较他们的研发水平 现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下 1 若某组成功研发一种新产品 则给该组记1分 否则记0分 试计算甲 乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差 并比较甲 乙两组的研发水平 解甲组研发新产品的成绩为1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 乙组研发新产品的成绩为1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 2 若该企业安排甲 乙两组各自研发一种新产品 试估计恰有一组研发成功的概率 解记e 恰有一组研发成功 典例 14分 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球 球的编号分别为1 2 3 4 1 从袋中随机取两个球 求取出的球的编号之和不大于4的概率 审题路线图系列6六审细节更完善 审题路线图 规范解答 基本事件为取两个球 两球一次取出 不分先后 可用集合的形式表示 把取两个球的所有结果列举出来 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 两球编号之和不大于4 注意 和不大于4 应为小于4或等于4 审题路线图 规范解答 1 2 1 3 利用古典概型概率公式p 规范解答 审题路线图 解从袋中随机取两个球 其一切可能的结果组成的基本事件有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 共6个 从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有 1 2 1 3 两个 因此所求事件的概率p 规范解答 审题路线图 典例 14分 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球 球的编号分别为1 2 3 4 2 先从袋中随机取一个球 该球的编号为m 将球放回袋中 然后再从袋中随机取一个球 该球的编号为n 求n m 2的概率 温馨提醒 规范解答 审题路线图 审题路线图 温馨提醒 两球分两次取 且有放回 两球的编号记录是有次序的 用坐标的形式表示 基本事件的总数可用列举法表示 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 规范解答 注意细节 m是第一个球的编号 n是第2个球的编号 n m 2的情况较多 计算复杂 将复杂问题转化为简单问题 计算n m 2的概率 n m 2的所有情况为 1 3 1 4 2 4 p1 审题路线图 温馨提醒 规范解答 注意细节 p1 是n m 2的概率 需转化为其对立事件的概率 n m 2的概率为1 p1 审题路线图 温馨提醒 规范解答 解先从袋中随机取一个球 记下编号为m 放回后 再从袋中随机取一个球 记下编号为n 其一切可能的结果 m n 有 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 共16个 审题路线图 温馨提醒 规范解答 又满足条件n m 2的事件为 1 3 1 4 2 4 共3个 所以满足条件n m 2的事件的概率为p1 故满足条件n m 2的事件的概率为1 p1 1 审题路线图 温馨提醒 规范解答 1 本题在审题时 要特别注意细节 使解题过程更加完善 如第 1 问 注意两球一起取 实质上是不分先后 再如两球编号之和不大于4等 第 2 问 有次序 2 在列举基本事件空间时 可以利用列举 画树状图等方法 以防遗漏 同时要注意细节 如用列举法 第 1 问应写成 1 2 的形式 表示无序 第 2 问应写成 1 2 的形 审题路线图 温馨提醒 规范解答 式 表示有序 3 本题解答时 存在格式不规范 思维不流畅的严重问题 如在解答时 缺少必要的文字说明 没有按要求列出基本事件 在第 2 问中 由于不能将事件n m 2的概率转化成n m 2的概率 导致数据复杂 易错 所以按要求规范解答是做好此类题目的基本要求 审题路线图 温馨提醒 规范解答 方法与技巧 1 古典概型计算三步曲第一 本试验是不是等可能的 第二 本试验的基本事件有多少个 第三 所求事件是什么 它包含的基本事件有多少个 2 确定基本事件的方法 1 当基本事件总数较少时 可列举计算 2 列表法 树状图法 3 较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件 对立事件 相互独立事件的概率公式简化运算 失误与防范 1 古典概型的重要思想是事件发生的等可能性 一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时 它们是不是等可能的 失误与防范 2 概率的一般加法公式 p a b p a p b p ab 公式使用中要注意 1 公式的作用是求a b的概率 当ab 时 a b互斥 此时p ab 0 所以p a b p a p b 2 要计算p a b 需要求p a p b 更重要的是把握事件ab 并求其概率 3 该公式可以看作一个方程 知三可求一 1 2013 课标全国 改编 从1 2 3 4中任取2个不同的数 则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析基本事件的总数为6 构成 取出的2个数之差的绝对值为2 这个事件的基本事件的个数为2 所以所求概率p 2 甲乙两人一起去游泰山 他们约定 各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览 每个景点参观1小时 则最后一小时他们同在一个景点的概率是 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 解析最后一个景点甲有6种选法 乙有6种选法 共有36种 他们选择相同的景点有6种 所以p 3 2013 安徽改编 若某公司从五位大学毕业生甲 乙 丙 丁 戊中录用三人 这五人被录用的机会均等 则甲或乙被录用的概率为 2 4 5 6 7 8 9 10 1 3 解析由题意知 从五位大学毕业生中录用三人 所有不同的可能结果有 甲 乙 丙 甲 乙 丁 甲 乙 戊 甲 丙 丁 甲 丙 戊 甲 丁 戊 乙 2 4 5 6 7 8 9 10 1 3 丙 丁 乙 丙 戊 乙 丁 戊 丙 丁 戊 共10种 其中 甲与乙均未被录用 的所有不同的可能结果只有 丙 丁 戊 这1种 故其对立事件 甲或乙被录用 的可能结果有9种 所求概率p 4 2014 江西改编 掷两颗均匀的骰子 则点数之和为5的概率为 2 3 5 6 7 8 9 10 1 4 解析掷两颗骰子 点数有以下情况 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 5 1 5 2 5 3 2 3 5 6 7 8 9 10 1 4 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 共36种 其中点数之和为5的有 1 4 2 3 3 2 4 1 共4种 故所求概率为 5 连掷两次骰子分别得到点数m n 则向量 m n 与向量 1 1 的夹角 90 的概率是 2 3 4 6 7 8 9 10 1 5 解析 m n 1 1 m n 0 m n 基本事件总共有6 6 36 个 符合要求的有 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 5 1 5 4 6 1 6 5 共1 2 3 4 5 15 个 6 若a b为互斥事件 p a 0 4 p a b 0 7 则p b 2 3 4 5 7 8 9 10 1 6 解析因为a b为互斥事件 所以p a b p a p b 故p b p a b p a 0 7 0 4 0 3 0 3 7 2014 江苏 从1 2 3 6这4个数中一次随机地取2个数 则所取2个数的乘积为6的概率是 2 3 4 5 6 8 9 10 1 7 解析取两个数的所有情况有 1 2 1 3 1 6 2 3 2 6 3 6 共6种情况 乘积为6的情况有 1 6 2 3 共2种情况 所求事件的概率为 8 用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色 每个矩形只涂一种颜色 则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是 2 3 4 5 6 7 9 10 1 8 解析由于只有两种颜色 不妨将其设为1和2 若只用一种颜色有111 222 若用两种颜色有122 212 221 211 121 112 所以基本事件共有8种 又相邻颜色各不相同的有2种 故所求概率为 2 3 4 5 6 7 9 10 1 8 9 设连续掷两次骰子得到的点数分别为m n 令平面向量a m n b 1 3 1 求使得事件 a b 发生的概率 2 3 4 5 6 7 8 10 1 9 解由题意知 m 1 2 3 4 5 6 n 1 2 3 4 5 6 故 m n 所有可能的取法共36种 a b 即m 3n 0 即m 3n 共有2种 3 1 6 2 所以事件a b的概率为 2 求使得事件 a b 发生的概率 2 3 4 5 6 7 8 10 1 9 解 a b 即m2 n2 10 共有 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 3 1 6种 其概率为 10 2013 天津 某产品的三个质量指标分别为x y z 用综合指标s x y z评价该产品的等级 若s 4 则该产品为一等品 现从一批该产品中 随机抽取10件产品作为样本 其质量指标列表如下 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 1 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率 解计算10件产品的综合指标s 如下表 其中s 4的有a1 a2 a4 a5 a7 a9 共6件 故该样本的一等品率为 0 6 从而可估计该批产品的一等品率为0 6 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 在该样本的一等品中 随机抽取2件产品 用产品编号列出所有可能的结果 设事件b为 在取出的2件产品中 每件产品的综合指标s都等于4 求事件b发生的概率 解 在该样本的一等品中 随机抽取2件产品的所有可能结果为 a1 a2 a1 a4 a1 a5 a1 a7 a1 a9 a2 a4 a2 a5 a2 a7 a2 a9 a4 a5 a4 a7 a4 a9 a5 a7 a5 a9 a7 a9 共15种 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 在该样本的一等品中 综合指标s等于4的产品编号分别为a1 a2 a5 a7 则事件b发生的所有可能结果为 a1 a2 a1 a5 a1 a7 a2 a5 a2 a7 a5 a7 共6种 所以p b 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 1 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点 则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率 解析如图所示 从正六边形abcdef的6个顶点中随机选4个顶点 可以看作随机选2个顶点 剩下的4个顶点构成四边形 有a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种 若要构成矩形 只要选相对顶点即可 有a d b e c f 共3种 故其概率为 答案 2 3 4 5 1 2 2014 湖北改编 随机掷两枚质地均匀的骰子 它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1 点数之和大于5的概率记为p2 点数之和为偶数的概率记为p3 则p1 p2 p3的大小关系为 2 3 4 5 1 解析随机掷两枚质地均匀的骰子 所有可能的结果共有36种 答案p1 p3 p2 2 3 4 5 1 3 2014年3月8日发生的马来西亚航空公司mh370失联事件 引起了全世界人们长达数周的密切关注 为了消除人们对航空安全的担忧 某航空公司决定对该公司所属的波音777 200 波音777 300 空客a350 空客a380四架客机进行集中安全大检查 若检测人员分两周对客机进行全方位的检测 每周检测两架客机 则波音777 200 波音777 300两架客机在同一周被检测的概率为 2 3 4 5 1 解析设波音777 200 波音777 300 空客a350 空客a380四架客机分别记为a b c d 检测人员分两周对客机进行全方位的检测 每周检测两架客机基本事件是 a b c d a c b d a d b c b c a d b d a c c d a b 共6种 其中波音777 200 波音777 300两架客机在同一周被检测即 a b c d c d a b 共2种 所以波音777 200 波音777 300两架