高考数学大一轮复习 12.6随机变量的均值与方差课件 理 苏教版.ppt

12 6随机变量的均值与方差 第十二章概率 随机变量及其概率分布 数学苏 理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量x的概率分布表为 1 均值称e x 为随机变量x的均值或 它反映了离散型随机变量取值的 x1p1 x2p2 xipi xnpn 数学期望 平均水平 2 均值与方差的性质 1 e ax b 2 v ax b a b为常数 x1 2p1 x2 2p2 xn 2pn 平均偏离程度 标 准差 ae x b a2v x 3 两点分布与二项分布的均值 方差 1 若x服从两点分布 则e x v x 2 若x b n p 则e x v x p p 1 p np np 1 p 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 随机变量的均值是常数 样本的平均值是随机变量 它不确定 2 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度 方差或标准差越小 则偏离变量平均程度越小 3 若随机变量x的取值中的某个值对应的概率增大时 期望值也增大 4 均值是算术平均数概念的推广 与概率无关 0 4 8 0 7 e 2 4 6 8 10 6 解析 v 4 2 2 2 02 22 42 8 例1 2013 浙江 设袋子中装有a个红球 b个黄球 c个蓝球 且规定 取出一个红球得1分 取出一个黄球得2分 取出一个蓝球得3分 1 当a 3 b 2 c 1时 从该袋子中任取 有放回 且每球取到的机会均等 2个球 记随机变量 为取出此2球所得分数之和 求 的概率分布 题型一离散型随机变量的均值 方差 思维点拨利用古典概型概率公式求p 解由题意得 2 3 4 5 6 所以 的概率分布为 2 从该袋子中任取 每球取到的机会均等 1个球 记随机变量 为取出此球所得分数 若e v 求a b c 思维点拨利用古典概型概率公式求p 解由题意知 的概率分布为 解得a 3c b 2c 故a b c 3 2 1 思维升华对于均值 方差的计算要尽可能的运用其性质 从而运算简便 运算性质 e ax b ae x b v ax b a2v x 跟踪训练1 2014 山东 乒乓球台面被球网分隔成甲 乙两部分 如图 甲上有两个不相交的区域a b 乙被划分为两个不相交的区域c d 某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球 规定 回球一次 落点在c上记3分 在d上记1分 其他情况记0分 对落点在a上的来球 队员小明回球的落点在c上的概率为 在d上的概率为 对落点在b上的来球 小明回球的落点在c上的概率为 在d上的概率为 假设共有两次来球且落在a b上各一次 小明的两次回球互不影响 求 1 小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率 解记ai为事件 小明对落点在a上的来球回球的得分为i分 i 0 1 3 记bj为事件 小明对落点在b上的来球回球的得分为j分 j 0 1 3 记d为事件 小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上 由题意 d a3b0 a1b0 a0b1 a0b3 2 两次回球结束后 小明得分之和 的概率分布与均值 解由题意 随机变量 可能的取值为0 1 2 3 4 6 p 3 p a3b0 a0b3 p a3b0 p a0b3 可得随机变量 的概率分布为 例2某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 简称系统 a和b 系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为和p 1 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 求p的值 题型二二项分布的均值 方差 思维升华 解析 对于 1 中p的值 可利用对立事件概率公式求解 例2某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 简称系统 a和b 系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为和p 1 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 求p的值 题型二二项分布的均值 方差 思维升华 解析 设 至少有一个系统不发生故障 为事件c 那么 例2某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 简称系统 a和b 系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为和p 1 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 求p的值 题型二二项分布的均值 方差 思维升华 解析 解析 思维升华 例2某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 简称系统 a和b 系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为和p 2 设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 求 的概率分布及均值e 例2某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 简称系统 a和b 系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为和p 2 设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 求 的概率分布及均值e 解析 思维升华 例2某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 简称系统 a和b 系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为和p 2 设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 求 的概率分布及均值e 解析 思维升华 所以 随机变量 的概率分布为 例2某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 简称系统 a和b 系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为和p 2 设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 求 的概率分布及均值e 解析 思维升华 例2某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 简称系统 a和b 系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为和p 2 设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 求 的概率分布及均值e 解析 思维升华 求随机变量x的均值与方差时 可首先分析x是否服从二项分布 如果x b n p 则用公式e x np v x np 1 p 求解 可大大减少计算量 例2某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 简称系统 a和b 系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为和p 2 设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 求 的概率分布及均值e 解析 思维升华 跟踪训练2 2013 福建 某联欢晚会举行抽奖活动 举办方设置了甲 乙两种抽奖方案 方案甲的中奖率为 中奖可以获得2分 方案乙的中奖率为 中奖可以获得3分 未中奖则不得分 每人有且只有一次抽奖机会 每次抽奖中奖与否互不影响 晚会结束后凭分数兑换奖品 1 若小明选择方案甲抽奖 小红选择方案乙抽奖 记他们的累计得分为x 求x 3的概率 解方法一由已知得 小明中奖的概率为 小红中奖的概率为 且两人中奖与否互不影响 记 这2人的累计得分x 3 的事件为a 则事件a的对立事件为 x 5 即这2人的累计得分x 3的概率为 解方法二由已知得 小明中奖的概率为 小红中奖的概率为 且两人中奖与否互不影响 记 这2人的累计得分x 3 的事件为a 则事件a包含有 x 0 x 2 x 3 三个两两互斥的事件 所以p a p x 0 p x 2 p x 3 即这2人的累计得分x 3的概率为 2 若小明 小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖 问 他们选择何种方案抽奖 累计得分的均值较大 解方法二设小明 小红都选择方案甲抽奖中奖次数为x1 都选择方案乙抽奖中奖次数为x2 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为e 2x1 选择方案乙抽奖累计得分的均值为e 3x2 因为e 2x1 e 3x2 所以他们都选择方案甲进行抽奖时 累计得分的均值较大 解方法二设小明 小红都选择方案甲所获得的累计得分为x1 都选择方案乙所获得的累计得分为x2 则x1 x2的概率分布如下 因为e x1 e x2 所以他们都选择方案甲进行抽奖时 累计得分的均值较大 例3现有甲 乙两个项目 对甲项目每投资10万元 一年后利润是1 2万元 1 18万元 1 17万元的概率分别为 已知乙项目的利润与产品价格的调整有关 在每次调整中 价格下降的概率都是p 0 p 1 设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整 记乙项目产品价格在一年内的下降次数为x 对乙项目每投资10万元 x取0 1 2时 一年后相应利润是1 3万元 1 25万元 0 2万元 随机变量x1 x2分别表示对甲 乙两项目各投资10万元一年后的利润 1 求x1 x2的概率分布和均值e x1 e x2 题型三均值与方差的应用 思维点拨求概率分布 应先确定x的取值 再求x的取值对应的概率 解x1的概率分布为 e x1 1 2 1 18 1 17 1 18 由题设得x b 2 p 即x的概率分布为 故x2的概率分布为 所以e x2 1 3 1 p 2 1 25 2p 1 p 0 2 p2 1 3 1 2p p2 2 5 p p2 0 2 p2 p2 0 1p 1 3 思维升华解决实际应用问题时 关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件 例3 2 当e x1 e x2 时 求p的取值范围 思维点拨 思维升华 解析 题型三均值与方差的应用 由e x1 e x2 找出关于p的不等式 即可求出p的范围 例3 2 当e x1 e x2 时 求p的取值范围 题型三均值与方差的应用 思维点拨 思维升华 解析 解由e x1 1 18 整理得 p 0 4 p 0 3 0 解得 0 4 p 0 3 因为0 p 1 所以当e x1 e x2 时 例3 2 当e x1 e x2 时 求p的取值范围 题型三均值与方差的应用 p的取值范围是0 p 0 3 思维点拨 思维升华 解析 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平 方差反映了随机变量稳定于均值的程度 它们从整体和全局上刻画了随机变量 是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据 一般先比较均值 若均值相同 再用方差来决定 例3 2 当e x1 e x2 时 求p的取值范围 题型三均值与方差的应用 思维点拨 思维升华 解析 跟踪训练3某中学高二年级设计了一个实验学科的能力考查方案 考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题 并独立完成所抽取的3道题 规定 至少正确完成其中2道题的便可通过该学科的能力考查 已知6道备选题中考生甲能正确完成其中4道题 另2道题不能完成 考生乙正确完成每道题的概率都为 且每道题正确完成与否互不影响 1 求考生甲能通过该实验学科能力考查的概率 解因为考生甲要通过实验考查 就必须正确完成所抽3道题中的2道或3道 2 记所抽取的3道题中 考生甲能正确完成的题数为 写出 的概率分布 并求e 及v 解由已知 1 2 3 所以考生甲正确完成题数 的概率分布为 3 试用统计知识分析比较甲 乙考生在该实验学科上的能力水平 解乙考生正确完成题数 的概率分布为 所以e e 表明甲 乙两考生正确完成题数的平均取值相同 所以v v 这表明 的取值比 的取值相对集中于均值2的周围 因此甲生的能力比乙生强 典例 14分 甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球 已知甲袋中共有m个球 乙袋中共有2m个球 从甲袋中摸出1个球为红球的概率为 从乙袋中摸出1个球为红球的概率为p2 1 若m 10 求甲袋中红球的个数 答题模板系列8离散型随机变量的均值与方差问题 思维点拨 规范解答 思维点拨 规范解答 概率的应用 知甲袋中总球数为10和摸1个为红球的概率 求红球 解设甲袋中红球的个数为x 依题意得x 10 4 思维点拨 规范解答 2 若将甲 乙两袋中的球装在一起后 从中摸出1个红球的概率是 求p2的值 思维点拨 规范解答 思维点拨 规范解答 利用方程的思想 列方程求解 思维点拨 规范解答 3 设p2 若从甲 乙两袋中各自有放回地摸球 每次摸出1个球 并且从甲袋中摸1次 从乙袋中摸2次 设 表示摸出红球的总次数 求 的概率分布和均值 规范解答 思维点拨 答题模板 温馨提醒 规范解答 思维点拨 答题模板 温馨提醒 求概率分布和均值 关键是求 的所有可能值及每个值所对应的概率 规范解答 思维点拨 答题模板 温馨提醒 解 的所有可能值为0 1 2 3 规范解答 思维点拨 答题模板 温馨提醒 所以 的概率分布为 规范解答 思维点拨 答题模板 温馨提醒 规范解答 思维点拨 答题模板 温馨提醒 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步 确定随机变量的所有可能值 第二步 求每一个可能值所对应的概率 第三步 列出离散型随机变量的概率分布 第四步 求均值和方差 第五步 反思回顾 查看关键点 易错点和答题规范 规范解答 思维点拨 答题模板 温馨提醒 1 本题重点考查了概率 离散型随机变量的概率分布 均值 2 本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范 如第 3 问中 不明确写出 的所有可能值 不逐个求概率 这都属于解答不规范 方法与技巧 1 均值与方差的性质 1 e ax b ae x b v ax b a2v x a b为常数 2 若x服从两点分布 则e x p v x p 1 p 3 若x服从二项分布 即x b n p 则e x np v x np 1 p 方法与技巧 2 求离散型随机变量均值与方差的基本方法 1 已知随机变量的概率分布求它的均值 方差 按定义求解 2 已知随机变量x的均值 方差 求x的线性函数y ax b的均值 方差 可直接用x的均值 方差的性质求解 3 如果所给随机变量是服从常用的分布 如两点分布 二项分布等 利用它们的均值 方差公式求解 失误与防范 1 在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式 2 对于应用问题 必须对实际问题进行具体分析 一般要将问题中的随机变量设出来 再进行分析 求出随机变量的概率分布 然后按定义计算出随机变量的均值 方差 1 已知随机变量 的分布列为p k k 1 2 3 n 则p 2 5 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析p 2 5 p 3 p 4 p 5 2 随机变量 的概率分布如下 其中a b c为等差数列 若e 则v 的值为 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 解析由概率分布得a b c 1 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 由期望e 得 a c 由a b c为等差数列得2b a c 答案 3 2013 湖北改编 如图 将一个各面都涂了油漆的正方体 切割为125个同样大小的小正方体 经过搅拌后 从中随机取一个小正方体 记它的油漆面数为x 则x的均值e x 2 4 5 6 7 8 9 1 10 3 2 4 5 6 7 8 9 1 10 3 解析125个小正方体中8个三面涂漆 36个两面涂漆 54个一面涂漆 27个没有涂漆 答案 2 3 5 6 7 8 9 1 10 4 4 某班从4名男生 2名女生中选出3人参加志愿者服务 若选出的男生人数为 则 的方差v 解析依题意 随机变量 服从超几何分布 可能的取值为1 2 3 2 3 5 6 7 8 9 1 10 4 的概率分布为 2 3 4 6 7 8 9 1 10 5 5 一射手对靶射击 直到第一次命中为止 每次命中的概率都为0 6 现有4颗子弹 则射击停止后剩余子弹的数目x的均值为 解析x的所有可能取值为3 2 1 0 其概率分布为 e x 3 0 6 2 0 24 1 0 096 0 0 064 2 376 2 376 6 设随机变量 b 5 0 5 又 5 则e 和v 的值分别是 2 3 4 5 7 8 9 1 10 6 解析因为随机变量 b 5 0 5 所以n 5 p 0 5 所以e np 5 0 5 所以e e 5 5e 5 2 3 4 5 7 8 9 1 10 6 因为v np 1 p 5 0 5 1 0 5 所以v v 5 52v 25 7 若p为非负实数 随机变量 的概率分布如下表 则e 的最大值为 v 的最大值为 2 3 4 5 6 8 9 1 10 7 1 8 某项游戏活动的奖励分成一 二 三等奖且相应获奖概率是以a1为首项 公比为2的等比数列 相应资金是以700元为首项 公差为 140元的等差数列 则参与该游戏获得资金的均值为元 2 3 4 5 6 7 9 1 10 8 解析a2 2a1 4a1 1 a1 500 9 某超市为了响应环保要求 鼓励顾客自带购物袋到超市购物 采取了如下措施 对不使用超市塑料购物袋的顾客 超市给予9 6折优惠 对需要超市塑料购物袋的顾客 既要付购买费 也不享受折扣优惠 假设该超市在某个时段内购物的人数为36人 其中有12位顾客自己带了购物袋 现从这36人中随机抽取两人 1 求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 解设 两人都享受折扣优惠 为事件a 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 两人都不享受折扣优惠 为事件b 因为事件a b互斥 故这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是 2 设这两人中享受折扣优惠的人数为 求 的概率分布和均值 解据题意 得 的可能取值为0 1 2 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 所以 的概率分布为 10 为了某项大型活动能够安全进行 警方从武警训练基地挑选防爆警察 从体能 射击 反应三项指标进行检测 如果这三项中至少有两项通过即可入选 假定某基地有4名武警战士 分别记为a b c d 拟参加挑选 且每人能通过体能 射击 反应的概率分别为 这三项测试能否通过相互之间没有影响 1 求a能够入选的概率 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 规定 按入选人数得训练经费 每入选1人 则相应的训练基地得到3000元的训练经费 求该基地得到训练经费的概率分布与均值 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解记 表示该训练基地得到的训练经费 则 的所有可能值为0 3000 6000 9000 12000 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 所以 的概率分布为 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 所以 该基地得到训练经费的均值为8000元 2 3 4 5 6 1 解析由已知得 3a 2b 0 c 2 即3a 2b 2 其中0 a 0 b 1 2 3 4 5 6 1 3