2011年北京市东城区高三二模数学(理)试题及答案.doc

北京市东城区20092010学年度高三综合练习（二）数学试题（理科）20105本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束，将本试卷和答题卡一并收回.第卷（选择题，共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知复数是纯虚数，则实数a等于（ ）A2B1C1D12对于非零向量，“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3执行如图所示的程度框图，输出的T等于（ ）A10B15C20D30 4右图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为 （ ）A15B18C22D335已知不等式组，表示的平面区域为M，若直线与平面区域M有公共点，则k的取值范围是（ ）ABCD6已知函数是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）ABC（2，3）D（1，3）7已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且为双曲线的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（ ）ABCD8已知集合A=1，2，3，4，函数的定义域、值域都是A，且对于任意.设是1，2，3，4的任意的一个排列，定义数表若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为（ ）A216B108C48D24第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9命题“”的否定是 .10如图，从图O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD=，AC=6，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距离为 .11已知一个样本容量为100的样本数据的频率分布直方图如图所示，样本数据落在内的样本频数为 ，样本数据落在内的频率为 .12在平面直角坐标系xOy中，已知圆和直线与圆C相交所得的弦长等于 .13在函数的一个周期内，当时有最大值，当时有最小值，则函数解析式 .14已知数列，且= ，S2010= .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（本小题满分13分） 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， （I）求的值； （II）若的值.16（本小题满分13分） 袋中装有标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等. （I）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （II）用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和均值.17（本小题满分14分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，DAB=90，AD/BC，AD侧面PAB，PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB的中点. （I）求证：PECD； （II）求四棱锥PABCD的体积； （III）求PC与平面PDE所成角的正弦值.18（本小题满分13分）已知抛物线的焦点F在y轴上，抛物线上一点到准线的距离是5，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，过M，N两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为T. （I）求抛物线的标准方程； （II）求的值； （III）求证：的等比中项.19（本小题满分13分） 已知数列的前设 （I）证明数列是等比数列； （II）数列若对一切恒成立，求实数m的取值范围.20（本小题满分14分） 已知函数 （I）若函数上为单调增函数，求a的取值范围； （II）设参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）18 BACDACDA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9101132，0.41213146，4020注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分三、解答题（本大题共6小题，共80分）15（本小题满分13分）解：（I）因为，所以3分所以7分 （II）由余弦定理，得11分解得c=1.13分16（本小题满分13分）解：（I）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则5分 （II）由题意X所有可能的取值为：1，2，3，4.6分所以随机变量X的分布列为X1234P 10分随机变量X的均值为13分17（本小题满分14分）解：（I）证明：因为AD侧面PAB，PE平面PAB，所以ADPE. 2分又因为PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，所以PEAB.因为ADAB=A，所以PE平面ABCD.4分而CD平面ABCD，所以PECD. 5分 （II）由（I）知：PE平面ABCD，所以PE是四棱锥PABCD的高.由DA=AB=2，BC=AD，可得BC=1.因为PAB是等边三角形，可求得所以9分 （III）以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.令 12分设PC与平面PDE所成的角为所以PC与平面PDE所成角的正弦值为14分18（本小题满分13分） （I）解：由 题意可设抛物线的方程为所以抛物线的标准方程为3分 （II）解：点F为抛物线的焦点，则F（0，1）.依题意可知直线MN不与x轴垂直，所以设直线MN的方程为因为MN过焦点F，所以判别式大于零.设则6分由于切线MT的方程为切线NT的方程为由，得8分则所以10分 （III）证明：由抛物线的定义知即的等比中项.13分19（本小题满分13分） （I）证明：由于当得所以2分因为故数列是首项为2，公比为2的等比数列.6分 （II）由（I）可知=9分所以11分故当恒成立.13分20（本小题满分14分）解：（I）3分因为上为单调增函数，所以上恒成立.所以a的取值范围是7分 （II）不妨设即证只需证11分由（I）知上是单调增函数，又，所以14分北京市东城区2010-2011学年第二学期高三综合练习数学（理科） 学校_班级_姓名_考号_本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1至2页，第卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若复数（）为纯虚数，则等于（A）0 （B）1 （C）-1 （D）0或1（2）给出下列三个命题：，；，使得成立；对于集合，若，则且.其中真命题的个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（3）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（A） （B） （C） （D）（4）极坐标方程（）表示的图形是（A）两条直线 （B）两条射线 （C）圆 （D）一条直线和一条射线（5）已知正项数列中，则等于（A）16 （B）8 （C） （D）4（6）已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为（A） （B） （C） （D）（7）外接圆的半径为，圆心为，且， ，则等于 （A） （B） （C） （D）（8）已知函数则函数的零点个数是（A）4 （B）3 （C）2 （D）1第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）的展开式中，的系数为 （用数字作答）（10）某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为；若从调查小组中的公务员和教师中随机选人撰写调查报告，则其中恰好有人来自公务员的概率为 相关人员数抽取人数公务员32教师48自由职业者644（11）在中，若，则 （12）如图，是半径为的圆的直径，点 在的延长线上，是圆的切线，点在直径上的射影是的中点，则= ； （13）已知点在不等式组表示的平面区域内，则点到直线距离的最大值为_（14）对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知，（）求的值；（）求函数的值域（16）（本小题共14分）如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，四边形是边长为的正方形（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的余弦值（17）（本小题共13分）甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为（）求的值；（）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望(18) （本小题共13分）已知函数()（）若，求证：在上是增函数； （）求在1，e上的最小值（19）（本小题共13分）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点（）求曲线的方程；（）证明：曲线在点处的切线与平行；（）若曲线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围（20）（本小题共14分）在单调递增数列中，不等式对任意都成立.（）求的取值范围；（）判断数列能否为等比数列？说明理由；（）设，求证：对任意的，.北京市东城区2010-2011学年第二学期高三综合练习（二）高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）B （4）A（5）D （6）D （7）C （8）A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11） （12） （13） （14）注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（）因为，且，所以，因为 所以 6分 （）由（）可得 所以 ， 因为，所以，当时，取最大值； 当时，取最小值 所以函数的值域为 13分 （16）（共14分）（）证明：连结，与交于点，连结因为，分别为和的中点， 所以 又平面，平面， 所以平面 4分（）证明：在直三棱柱中， 平面，又平面， 所以 因为，为中点， 所以又， 所以平面 又平面，所以 因为四边形为正方形，分别为，的中点， 所以， 所以所以 又， 所以平面 9分（）解：如图，以的中点为原点，建立空间直角坐标系 则 由（）知平面，所以为平面的一个法向量设为平面的一个法向量，由可得令，则所以从而因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为14分（17）（共13分）解：（）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故，解得或又，所以 6分（）依题意知的所有可能取值为2，4，6，所以随机变量的分布列为：所以的数学期望13分（18）（共13分）（）证明：当时，当时，所以在上是增函数 5分（）解：，当，若，则当时，所以在上是增函数，又，故函数在上的最小值为若，则当时，所以在上是减函数，又，所以在上的最小值为若，则当时，此时是减函数； 当时，此时是增函数又，所以在上的最小值为综上可知，当时，在上的最小值为1；当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为13分（19）（共13分）（）解：由已知，动点到定点的距离与动点到直线的距离相等 由抛物线定义可知，动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线所以曲线的方程为 3分（）证明：设，由得 所以， 设，则 因为轴， 所以点的横坐标为 由，可得 所以当时， 所以曲线在点处的切线斜率为，与直线平行8分（）解：由已知， 设直线的垂线为： 代入，可得 （*） 若存在两点关于直线对称，则，又在上，所以， 由方程（*）有两个不等实根所以，即所以，解得或 13分（20）（共14分）（）解：因为