高二数学空间直线例题解析人教

高二数学空间直线例题解析一. 本周教学内容： 空间直线 1. 空间两条直线的位置关系 位置关系 图 示 表示方法 公共点个数Aab 两 两直线 直 相 交 abA 一个 线 ba 共 两直线 ab 没有 面 平行Ab 两直线不在同 a、b是异面 没有 一平面内 直线 2. 平行公理： 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理： 一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那麽这两个角相等。 推论：两条相交直线分别与另外两条直线平行，那麽这两组直线所成的锐角（或直角）相等 。 3. 异面直线 （1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。 （2）画法： （3）异面直线判定： 用定义：（多用反证法） 判定：平面内一点和平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线。 4. 异面直线所成的角： 过空间的任一点与这两条异面直线平行的两直线所成锐角（成直角）叫两条异面直线所成的角。 求两条异面直线所成的角的一般步骤是： （1）构造：用平移法作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是要求的角； （3）计算：利用三角形求角； （4）结论 若两条异面直线所成角是直角，则称两异面直线垂直。 异面垂直 空间两直线垂直 相交垂直 4. 异面直线的公垂线及距离： （1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线（公垂线存在且唯一） （2）公垂线段：公垂线夹在异面直线之间的部分 （3）异面直线间的距离 ：公垂线段的长 若一个平面过一条直线并与另一条直线平行，则这直线与平面的距离就等于异面直线间的距离。 若两个平行平面分别过两条异面直线则两平行平面的距离等于两异面直线间的距离。 【典型例题】 例1. 在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足 （1）求证：M、N、P、Q共面 （2）当对角线ACa，BDb，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a、b表示) 在同一平面内 MNAC又NPBD MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角 MNPQ是正方形MNP90 AC与BD所成的角为90 【说明】在空间证明两直线平行的基本依据就是公理4平行直线具有传递性。 在平面几何中有关平行的定理只能解决在一个平面内的直线平行问题，在两个平面内的两条直线平行的判定中仍借助于公理4，这是证明空间两直线平行的基本出发点。 求K的值就要建立K的方程，解方程的思想仍是求值的重要数学思想。 例2. 已知a，b是异面直线，求证：过b上的点所做的与a平行的直线都在同一平面内证明：如图在b上任取一点P，作与a平行的直线c b，c确定一个平面a 假设存在与直线a平行的直线l，满足L与b交于Q但la la Q b、l确定一个平面，记作b abb，且lc la，这与La Q矛盾 L a，即过b上的点所作的与a平行的直线都在同一平面内 注意：要掌握反证法的逻辑思维方法和表达方法。 例3. 正方体AC1中 （1）和棱AA1异面棱是哪些？和AA1异面的面对角线有哪些？ （2）面对角线B1C成异面垂直的棱有哪些？面对角线？ （3）求BD和B1C所成的角 （4）求BD1和B1C所成的角 （5）BD1不和哪些面对角线垂直？ （6）BD1与C C1之间的距离。 解：（1）和棱AA1异面的棱是BC，CD，B1 C1，C1 D1 面对角线BD，B C1，B1C，C D1，D C1，B1 D1 （2）棱：C1D1，AB 面对角线：A D1 （3）D1B1C为所求角 B1D1B1CC1Da BD与B1C所成角为60 （4）找 D1 C1平面B1 C D1B是面B1 C的斜线 B1 C是B D1在平面 B1 C上的射影 B1 C B C1 B D1 B1 C（三垂直定理） B D1和B1 C所成角是90 割补法 （5）凡异面则都垂直（6条）不垂直6条BD，B1D1，AD1，CD1，A1B，BC1（6）解一：连A1C交BD1于E取CC1 中点F连EF，EF为CA1C1的中位线。 EFA1C1 又CC1 面A1C1 CC1 A1C1 EFCC1 又D1FBF E是BD1中点 EF为异面直线BD1与CC1间的距离 EFA1C1a 解二：（转化为线面距离）平面BB1D1D过直线BD1 直线C1C平面BB1D1D CC1到面BB1D1D的距离就是异面直线BD1与CC1的距离 连AC交BD于O，OCBO，OCBB1 OC平面BB1D1D OC就是CC1与平面BB1D1D的距离 两异面直线见距离为OCACa 例4. 如图，空间四边形ABCD中，E、F分别为AB与CD的中点，若ACBD2，求异面直线AC与BD所成的角。 解：取AD的中点G，连结EG，FG，则EGBD，GFAC， EGF120是异面直线AC与BD所成角的补角，异面直线AC与BD所成的角是60。 评析：异面直线所成角为锐角或直角，所以其余弦值不能为负数，若求出角的余弦值为负数说明它是异面直线所成角的补角此题若答异面直线所成角是120就是错误的 例5. 间四边形ABCD，ABBCCDDAa对角线ACBDb，E、F、G、H分别为四边中点。 求：（1）四边形FEGH的面积（2）BD与AC的距离 解：（1）E，H分别为AB，AD中点 EHBD 同理FGBD EHFG 四边形EFGH为平行四边形， 取BD中点O连AO，CO ABAD，BCCD AOBD，COBD BD平面AOC BDAC 又H，G为AD，CD中点 HGAC EHHG BDACb EHHGb 四边形为正方形 SEFGHEH2 （2）在AOC中作OMAC于M ABADBCCD AOBCBO OCOA M为AC中点 BD平面AOC BDOM OM为AC与BD的公垂线段即异面直线BD与AC的距离 在RtAOD中AO2AD2（BD）2a2b2 在RtAMO中OM2OA2AM2 a2b2b2 OM即BD与AC间的距离为。 两条直线的位置关系是最简单、最基本的位置关系，由于空间任意两条直线无论重合或相交或平行的时候，这两条直线在同一平面上，所以除了空间平行直线的传递性以外，以上几种情况都可归结为平面上的直线关系，剩下的是空间不共面的两条直线，即异面直线的相互关系了，异面直线是立体几何的重点和难点之一，几乎每年都被考查，考查内容涉及以下几个方面： l）异面直线的定义； 2）异面直线所成的角； 3）已给出异面直线的公垂线时，两异面直线间的距离； 4）用反证法证明有关异面直线的问题 例6. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是_（92年全国高考选择题） 解析：如图将AM平移到M1B1，CN平移到N1B1，则M1、N1分别是AB，CC1的中点。且M1B1N1是AM与CN所成的角。连CM1，中，。由余弦定理得 说明：求异面直线所成角首先要做必要的平行线，原则上做一条平行线可解决问题，就不做两条。平行线的做法远不止一种，本题还可过N点引B1M1的平行线，也可过MM1做一个平面与侧面BC1平行，在所在平面内过M做B1N1的平行线。 例7. 下列命题中正确的一个是（ ） （A）若a与b是异面直线,b与c也是异面直线，则a与c也是异面直线 （B）已知异面直线a，b两条直线c，d分别与a，b都相交于，则c，d也是异面直线 （C）四个角都是直角的四边形一定是矩形 （D）两条异面直线可能没有公垂线 分析：假设ABCD是空间四边形， 则ABCD一定是异面直线 BCAB，BCABB，BCCD，BCCDC BC为异面直线AB，CD公垂线 同理AD也是AB，CD公垂线矛盾。（唯一性） 答案：C 例8. 关于异面直线a，b下述命题中不正确的一个是（ ） A. 过直线a有且只有一个平面平行于b B. 过直线a有且只有一个平面垂直于b C. 存在分别经过直线a与b的两个互相平行的平面 D. 存在分别经过直线a与b的两个互相垂直的平面 分析：当异面直线a与b不垂直时，由线面垂直定义可知过a的任何平面中都有直线a与b不垂直，故直线b一定不过a的平面垂直。 在处理有关异面直线的问题时，要把立体几何的各部分知识内容联系起来考虑，才能较全面的认识异面直线的性质 答案：B 1. 已知a，b为异面直线，a，b为平面若 aa bb，且abc则下列结论中一定正确的是（ ） （A） ac 且bc （B） ac 且bc （C） ac或bc （D） ac或bc 2. 在四面体ABCD中，ABBCCDDAACBDa，E、F分别是AB、CD的中点。 （1）求证EF是AB和CD的公垂线 （2）求AB和CD间的距离 3. 如图， P是ABC所在平面外一点， D、E分别是PAB、PBC的重心，求证：且。 4. 已知：a、b为异面直线，a上两点A、B，b上两点C、D，线段AC、AD、BD、BC的中点分别为E、F、G、H，求证： （1）直线EG与a和b均是异面直线；FH与a和b均是异面直线。 （2）线段EG和FH相交且互相平分。 5. 在空间四边形ABCD中，对角线ACBD，若AC6，BD4，M、N分别是AB、CD的中点。 求（1）MN的长；（2）求MN与BD所成角的正切值。 6. 空间四边形ABCD中，P、Q、R、S分别是四条边AB、BC、CD、DA的中点，已知，且四边形PQRS面积是，求异面直线AC、BD所成的角。参考答案 1. 分析： 选D 2. 解：（1）BCD和ACD为两个全等的等边三形，且F为CD的中点 BFCD，AFCD，且BFAF CD平面AFB 由BFAF，且E为AB的中点，得EFAB EF是AB和CD的公垂线 3. 分析：分线段成比例二直线平行，找对应线段成比例 证明：法一：连PD交AB于M，则M为AB中点，同理N为BC中点， 总结：重心的性质PDDM21间接找出DE与AC的关系 分析：由结论出发DEAC，则DE和AC在同一平面，故有法2 方法二：连结AD交PB于G，D为PAB重心，G为PB中点，又E为重心，直线CE过G点，又，故 4. 证明：如图 CAE，DBG。 与a、b为异面直