高中数学 6.6直接证明与间接证明课件 文 新人教A版.ppt

第六节直接证明与间接证明 1 本考点在历年高考中均有体现 主要以直接证明中的综合法为主 2 分析法的思想应用广泛 反证法仅作为客观题的判断方法 一般不会单独命题 3 题型以解答题为主 主要在与其他知识点交汇处命题 1 直接证明 1 综合法 定义 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出 的证明方法 所要证明的结论成立 框图表示 p表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 q表示所要证明的结论 文字表示为 因为 所以 或 由 得 思维过程 由因导果 2 分析法 定义 从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为 已知条件 定理 定义 公理等 为止的证明方法 框图表示 q表示要证明的结论 文字表示为 要证 只需证 即证 思维过程 执果索因 判定一个明显成立的 条件 即时应用 1 思考下列思维特点 从 已知 逐步推向 未知 即逐步寻找已知成立的必要条件 从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 即逐步寻找结论成立的充分条件 满足综合法的是 满足分析法的是 请填写相应序号 2 已知t a 2b s a b2 1 则s t的大小关系是 3 在正项等比数列 an 和正项等差数列 bn 中 a1 b1 a3 b3 a1 a3 则a5与b5的大小关系为 解析 1 由分析法 综合法的定义可判断 满足综合法 满足分析法 2 由s t a b2 1 a 2b b2 2b 1 b 1 2 0 故s t 3 由a1 a3 得b1 b3 所以b1 b5 且b1 0 b5 0 又即又a1 b1 所以a5 b5 答案 1 2 s t 3 a5 b5 2 间接证明 1 反证法的定义假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明 从而证明 的证明方法 2 利用反证法证题的步骤 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 由假设出发进行正确的推理 直到推出矛盾为止 由矛盾断言假设不成立 从而肯定原命题的结论成立 简言之 否定 归谬 断言 假设错误 原命题成立 即时应用 1 判断下列说法是否正确 请在括号内打 或 综合法是由因导果法 综合法是顺推法 分析法是执果索因法 分析法是逆推法 反证法是间接证法 2 用反证法证明 如果a b 那么 其中假设内容应是 3 用反证法证明命题 三角形三个内角至少有一个不大于60 时 应假设 解析 1 由分析法 综合法 反证法的定义可知 都正确 2 否定结论 的否定是 3 因为 至少有一个 的反面是 一个也没有 所以 三角形三个内角至少有一个不大于60 的否定是 三角形三个内角一个也没有不大于60 即 三角形三个内角都大于60 答案 1 2 3 三角形三个内角都大于60 综合法的应用 方法点睛 利用综合法证题的基本思路 例1 已知x y z 1 求证 解题指南 由基本不等式x2 y2 2xy 得到关于x y z的三个不等式 将三式相加整理变形 然后利用x y z 1得 x y z 2 1从而可证 规范解答 x2 y2 2xy x2 z2 2xz y2 z2 2yz 2x2 2y2 2z2 2xy 2xz 2yz 3x2 3y2 3z2 x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz 即3 x2 y2 z2 x y z 2 x y z 1 x y z 2 1 3 x2 y2 z2 1 即x2 y2 z2 反思 感悟 利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方法之一 即充分利用已知条件与已知的基本不等式 经过推理论证推导出正确结论 是顺推法或由因导果法 其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法 这就需保证前提正确 推理合乎规律 这样才能保证结论的正确 变式训练 设a 0 b 0 a b 1 求证 证明 方法一 a 0 b 0 a b 1 又方法二 a b 1 故等号成立的条件是 分析法的应用 方法点睛 分析法的特点与思路分析法的特点和思路是 执果索因 即从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 或本身已经成立的定理 性质或已经证明成立的结论等 通常采用 欲证 只需证 已知 的格式 在表达中要注意叙述形式的规范 例2 2012 南通模拟 已知m 0 a b r 求证 解题指南 利用分析法 去分母后移项作差 最后变形可证 规范解答 m 0 1 m 0 所以要证原不等式成立 只需证明 a mb 2 1 m a2 mb2 即证m a2 2ab b2 0 即证 a b 2 0 而 a b 2 0显然成立 故原不等式得证 反思 感悟 1 逆向思考是用分析法证题的主要思想 通过反推 逐步寻找使结论成立的充分条件 正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键 2 在求解实际问题时 对于较复杂的问题 可以采用两头凑的办法 即通过分析法找出某个与结论等价 或充分 的中间结论 然后通过综合法由条件证明这个中间结论 使原命题得证 变式训练 已知a b 0 求证 证明 因为a b 0 要证原不等式成立 只需证即证 a3 b3 2 a2 b2 3 即证a6 2a3b3 b6 a6 3a4b2 3a2b4 b6 只需证2a3b3 3a4b2 3a2b4 因为a b 0 所以即证2ab 3 a2 b2 而a2 b2 2ab 3 a2 b2 6ab 2ab成立 以上步骤步步可逆 所以 综合法 分析法的综合应用 方法点睛 综合法与分析法的应用技巧综合法与分析法各有特点 在解决实际问题时 常把分析法与综合法综合起来运用 通常用分析法分析 综合法书写 这一点在立体几何中应用最为明显 同时 在三角 解析几何中也大多是利用分析法分析 用综合法证明的办法来证明相关问题 提醒 综合法是从已知条件出发 逐步推向未知 每步寻找的是必要条件 分析法是从待求结论出发 逐步靠拢已知 每步寻找的是充分条件 例3 如图 四边形abcd是正方形 pb 平面abcd ma 平面abcd pb ab 2ma 求证 1 平面amd 平面bpc 2 平面pmd 平面pbd 解题指南 1 欲证平面amd 平面bpc 只需证am pb ad bc从而得am 平面pbc ad 平面pbc 从而得证 2 欲证平面pmd 平面pbd 只需连接ac交bd于e 取pd中点为f 连接mf ef 即证ae 平面pbd 而ae与mf又平行从而得证 规范解答 1 因为pb 平面abcd ma 平面abcd 所以pb ma 因为pb 平面bpc ma 平面pbc 所以ma 平面bpc 同理 da 平面bpc 又ma 平面amd ad 平面amd ma ad a 所以平面amd 平面bpc 2 连接ac 设ac bd e 取pd中点f 连接ef mf 因为四边形abcd为正方形 所以e为bd的中点 因为f为pd中点 所以 p m d b f a e c 又所以四边形aefm为平行四边形 所以mf ae 因为pb 平面abcd 所以pb ae 又因为abcd是正方形 所以ae bd 所以ae 平面pbd 又因为mf ae 所以mf 平面pbd 又因为mf 平面pmd 所以平面pmd 平面pbd 互动探究 在本例中条件不变的情况下 如何证明平面pdc 平面mad 证明 ma 平面abcd ma dc 又 abcd是正方形 dc ad 又 ad ma a dc 平面mad 又 dc 平面pdc 平面pdc 平面mad 反思 感悟 利用分析法分析结论成立的充分条件 探究面面平行需具备的条件 面面垂直所要具备的条件 找到条件后 再用综合法书写证明过程 这是此类问题的常规解法 需要灵活掌握 变式备选 abc的三个内角a b c成等差数列 三条边为a b c 求证 a b 1 b c 1 3 a b c 1 证明 abc三个内角a b c成等差数列 b 60 由余弦定理 有b2 c2 a2 2cacos60 得c2 a2 ac b2 两边同加上ab bc 得c b c a a b a b b c 两边同除以 a b b c 得 即 a b 1 b c 1 3 a b c 1 反证法的应用 方法点睛 1 反证法的解题原则反证法的原理是 正难则反 即如果正面证明有困难时 或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时 可以考虑用反证法 2 反证法中常见词语的否定形式 例4 若a b c均为实数 且a x2 2y c z2 2x 求证 a b c中至少有一个大于0 解题指南 否定结论 至少有一个大于0的否定是都不大于0 只需证a b c 0不成立即可 而后下结论 规范解答 假设a b c都不大于0 即a 0 b 0 c 0 则a b c 0 而a b c x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 3 0 且 x 1 2 y 1 2 z 1 2 0 a b c 0 这与a b c 0矛盾 因此a b c中至少有一个大于0 反思 感悟 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 矛盾可以是 与已知条件矛盾 与假设矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与事实矛盾等方面 反证法常常是解决某些 疑难 问题的有力工具 是数学证明中的一件有力武器 变式训练 在 abc中 a b c的对边分别为a b c 若a b c三边的倒数成等差数列 求证 ba b c 相加得这与矛盾 故 b 90 不成立 因此 b 90 变式备选 已知a 1 求证三个方程 x2 4ax 4a 3 0 x2 a 1 x a2 0 x2 2ax 2a 0中至少有一个方程有实数根 证明 假设三个方程都没有实数根 则 这与已知a 1矛盾 所以假设不成立 故原结论成立 满分指导 不等式证明题的规范解答 典例 12分 2012 鄂州模拟 已知a b c d r 用分析法证明并指明等号何时成立 解题指南 由于a b c d r 故ac bd 0或ac bd 0 要分两种情况分析 可证 规范解答 1 当ac bd 0时 2分故不等式显然成立 此时a b c d 0时等号成立 4分 2 当ac bd 0时 要证原不等式成立 只需证 ac bd 2 a2 b2 c2 d2 6分即证a2c2 2abcd b2d2 a2c2 a2d2 b2c2 b2d2 8分即证2abcd a2d2 b2c2 即0 bc ad 2 10分 a b c d r 上式恒成立 故不等式成立 此时等号成立的条件为bc ad 由 1 2 知原不等式成立 12分 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 泉州模拟 用反证法证明 如果a b 则a3 b3 假设的内容是 a a3 b3 b a3 b3 c a3 b3且a3 b3 d a3 b3或a3 b3 解析 选d 反证法应否定结论即a3 b3 即为a3 b3或a3 b3 2 2012 南阳模拟 在证明命题 对于任意角 cos4 sin4 cos2 的过程 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 中应用了 a 分析法 b 综合法 c 分析法和综合法综合使用 d 间接证法 解析 选b 从已知条件出发 推出要证的结论 满足综合法 3 2012 黄冈模拟 已知则以下结论正确的是 a a b b a b c a b d a b大小不定 解析 选b 4 2012 枣庄模拟 若a 0 b 0 那么必有 a a3 b3 a2b ab2 b a3 b3 a2b ab2 c a3