高二数学组合资料分组分配问题人教

高二数学组合资料分组分配问题1.组合数公式例1: 求证证明:2.平均分组与不平均分组问题例2：有6本不同的书.(1) 甲乙丙每人两本,有_种分法?(2) 分成三堆,每堆两本,有_种分法?(3) 分成三堆, 一堆1本, 一堆2本, 一堆3本,有_种分法?(4) 分给甲乙丙,一人1本, 一人2本, 一人3本,有_种分法?(5) 分成三堆, 有两堆各1本, 另一堆4本,有_种分法?解析:(1)属平均有序分组问题 先取2本给甲再取2本给乙余下2本给丙共有种.(2) 属平均无序分组问题 应在平均有序分组后消序共有种.可证明：设分成三堆,每堆两本,有x种分法,再分给甲乙丙时乘以有得.(3)由于是不平均分组,属有序分组 先取1本作一堆再取2本作一堆余下3本作一堆 共有种.(4)先不平均分成三堆有种,然后再分给甲乙丙共有种.(6) 三组中有两组是平均分组,这两组是无序的,应对这两组消序.共有种.点评:平均分组是无序的,各组合数相乘时产生了顺序,故应消序(除以平均组数的全排列);不平均分组是有序的,不需要消序;局部平均分组应局部消序.练习:(1)把7本书分成5堆,有两堆各2本,另三堆各1本, 有_种分法?答案:.3.元素抽取问题例3：从四双鞋子中取4只,恰有两只是一双的取法有_种?解法一:先从四双鞋子中取一双再从余下三双中取一双,从中取一只再从余下两双中取一双,从中取一只故共有种.解法二:先从四双鞋子中取一双再从余下六只中取一只再从余下四只中取一只故共有种.解法三:先从四双鞋子中取一双再从余下三双中取两双再从取出两双中各取一只故共有种.分析:哪个对呢？解法一错在哪里?第二步中取出一只假设为M第三步中取出的那只假设为N但是第二步中也可能取出N而第三步中取出M这样对同一结果却在分步选取中进行了有序的选取,产生了重复的结果(MN与NM).故要消序.故有解法一: 种.解法二: 种.这样才是正确的.点评:分步抽取,用乘法原理是有序的抽取,当结果不讲顺序时应除以进行消序.练习:从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要有甲乙型各一台,有_种取法?解法一:直接分类甲2乙1 甲1乙2 共有种.解法二:排除法.解法三: 分步抽取需要消序先各取1台 再从余下7台中取一台不管取到谁,总会重复一半故有种.点评:取元素“至少”“至多”问题直接法就是分类列举；间接法就是去掉反面。4.插板法模型对于没有个体区分的相同对象的分配问题常使用插板法模型.模型一:把12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子里,要求每个盒子里至少放一个小球,有_放法?解析:首先4个盒子看作是由3块挡板分隔成的4个空间.将12个小球排成一排,它们之间有11个间隔,从这11个间隔中选出3个放上插板.共有种方法.模型二: 把12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子里,每个盒子可空,有_放法?解析:因为每个盒子可空,所以隔板之间允许无球,把3块隔板也看作3个对象,连同12个小球共有15个对象排成一列,则只须将3块隔板放在15个位置中的3个位置即可.共有种方法.练习:(1)方程x+y+z+s=12有_组正整数解?(2)方程x+y+z+s=12有_组非负整数解?解析：(1) 相当于12个相同小球放入4个盒子里,每盒至少一个.用插板模型一.(2) 相当于12个相同小球放入4个盒子里,每盒可空.用插板模型二. 化归:下列几种不同情景的问题都可化归为隔板模型.(1) 一段楼梯共17级台阶,上楼时可一步一个台阶也可一步两个台阶,要11步走完,有_种走法?BA(2) 从56的方格中的顶点A到对角顶点B的最短路线有_条?解析:(1) 11步中有6个两步和5个一步,把5个一步看作5块隔板放在11个位置上即可.有种.(2) 最短路线包含6个横道