高二数学直线的方向向量与直线的向量方程知识精讲人教实验B

高二数学直线的方向向量与直线的向量方程知识精讲一. 本周教学内容：3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示二. 教学目的：1、掌握用向量表示直线的方法及确定点在直线上的位置的方法；会用向量的方法证明线线平行、线面平行、面面平行；能通过向量计算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角。2、（1）理解平面的法向量的概念，并会求平面的法向量；（2）了解平面法向量的应用，并能用法向量论证相关的立体几何问题；（3）掌握正射影的概念，并能作出简单图形F在某一平面内的正射影F0，并说出其图形的形状；（4）掌握三垂线定理及其逆定理，并能应用此定理解题。三. 教学重点、难点 重点：（1）直线的方向向量，平行关系的论证，用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角。（2）平面法向量的概念及其应用，正射影的概念，三垂线定理及逆定理；难点：（1）直线的方向向量，平面的共面向量的选取及其表示。 （2）对平面法向量的理解及灵活运用，三垂线定理的证明思路及三垂线定理的应用。四. 知识分析321 直线的方向向量与直线的向量方程1、思考：如何确定空间中的点的位置？分析：确定平面内点的位置，通常采用两个方法“平面直角坐标系”或“该点相对于某一已知点的方向及距离”。那么，空间内呢？我们也可以用“该点的空间直角坐标系（x，y，z）”或“在空间中该点相对于某一已知点的方向及距离”来描述。注意：两个词“方向”、“距离”，给我们什么启示？结论：在空间我们可以用向量确定空间一点的位置或点的集合。【位置向量】 已知向量，在空间固定一个基点O，再作向量，则点A在空间的位置就被向量所惟一确定了。这时，我们称这个向量为位置向量。注：“基点”是必需的；相对于确定的基点来说，空间内的点与向量有了一一对应关系。2、思考：如何确定空间中的直线？分析：在平面内确定直线通常采用的是“点向”和“两点”，那么空间中呢？探究：通过实际观察，在空间中我们仍旧可以采用“点向”或“两点”来确定直线。问题是如何操作呢？方案：求轨迹的一般步骤（1）点向：过点A，且平行于向量 设P为直线上任一点，则有，故存在，使 ，这样直线上每一个点P都与惟一的一个实数t相对应，向量方程就是过A且方向向量为的直线的参数方程，每一个确定的t都对应着一个点Pl。这个方程也可以表示成（直线的点向式参数方程）这个方程的几何意义如图1所示。（2）两点：过点A和点B （可以看成过点A，方向向量为） 这样，我们可得方程（两点式） 这个方程的几何意义如图2所示。探究：观察到方程中的系数满足1 t t 1, 这与点A , P , B三点共线有关系吗？（1）若令t0或1，则点P在直线AB的什么位置？（2）若令t或2，则点P在直线AB的什么位置？（t时得出线段AB中点的向量表达式）（3）若令t或3，则点P在直线AB的什么位置？（4）若令t1，则点P在直线AB的什么位置？【应用基础】1、怎样用向量的方法证明线线平行？分析：设直线l1的方向向量为，直线l2的方向向量为，则由向量共线的条件得：（或l1与l2重合）2、怎样用向量的方法证明线线垂直？分析：设直线l1的方向向量为，直线l2的方向向量为，则有（3、怎样用向量的方法求两直线的夹角？分析：考虑到两向量夹角与两直线夹角定义的区别,有 4、怎样用向量的方法证明线面平行？分析：已知两个不共线向量，与平面共面，一条直线l方向向量为，则由共面向量定理，可得：l/或l在内存在两个实数x，y，使另外，如果A，B，C三点不共线，则点M在平面ABC内的充分必要条件是，存在一对实数x，y，使向量表达式成立。322 平面的法向量与平面的向量表示1、平面法向量的定义：已知平面，如果向量的基线与平面垂直，则就叫做平面的一个法向量或说向量与平面正交。2、平面法向量的性质：平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量；一个平面的所有法向量共线（或平行）3、怎样求平面的法向量？首先我们利用向量的方法证明线面垂直判定定理，证明中一定要注意共面向量定理的应用。【线面垂直判定定理】如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面已知a, b是平面内的两条相交直线，且直线na，nb（如图）求证：n.证明：设m是内的任一条直线。在n，a，b，m上分别取非零向量。因为a与b相交，由共面向量定理可知，存在惟一的数对(x，y)，使，由已知条件，可推知.因此，得nm.因为直线n垂直于平面内的任一直线，所以直线n垂直于平面。线面垂直判定定理启发我们，如果已知两个不共线向量，与平面共面，那么我们只要找到一个向量与向量，都垂直，则向量就是平面的一个法向量。举例如下： 例1. 已知点A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，c），其中abc0，如图所示，求平面ABC的一个法向量。解：由已知可得（0，b，0）（a，0，0）（a，b，c），（0，0，c）（a，0，0）（a，0，c）。设平面ABC的一个法向量为，则由，解得不妨令，则因此，可取（bc，ac，ab）为平面ABC的一个法向量。4、借助平面的法向量判断两平面的平行与垂直 设分别是平面的法向量，则有或与重合5、平面的向量表示探究：我们知道，在空间中过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，那么过一点有几个平面与已知向量垂直呢？（结论：有且只有一个）问题：过点A与向量垂直的平面该如何表示呢？分析：我们不妨仿照求曲线方程的一般步骤，用“求平面方程的一般步骤”来试试。过程：设点M为平面上任一点，则向量于是就应有。这个式子就是平面的一个向量表示式，我们也可以把它看成是平面的一个向量方程。6、三垂线定理已知平面和一点A，过点A作平面的垂线l与平面相交于点，则就是点A在平面内的正射影，以下简称射影由上述定义可知，平面内的任一点在内的射影都是它自身图形F上所有的点在平面内的射影所成的集合，叫做图形F在平面内的射影（如图）如果一条直线AB和平面相交于点B，但不和平面垂直，那么直线AB叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点B叫做斜足，斜线上一点A与斜足B之间的线段叫做斜线段AB【三垂线定理】如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直已知：AB，AC分别是平面的垂线和斜线，BC是AC在平面内的射影，求证：证明：取向量，因为所以.又因为,所以因此, 得.类似地可以证明：【三垂线定理的逆定理】如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直想一想，如果在三垂线定理中，已知条件改为：直线l / 平面，并且直线l垂直于斜线AC在平面内的射影BC，直线l是否还垂直于斜线AC？注意：三垂线定理与它的逆定理的区别。例1. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，且底面ABCD,PD与底面成30角，E为垂足。（1）求证：（2）求异面直线AE与CD所成角的大小。解析：以A为原点，AB、AD、AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图，则A(0，0，0)、B(a，0，0)、C(a，a，0)、D(0，2a，0)。底面ABCD，是PD与底面ABCD所成的角。过E作EFAD于F，那么在RtAEF中，于是（1）（2）设与的夹角为，则即AE与CD所成角的大小为。点评：恰当地建立空间直角坐标系，准确地求出各相关点的坐标，采用向量的数量积运算是解决本题的关键。例2. 如图，已知四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D不共面，而AEEB，BFFC，CGGD，DHHA，（1）用向量证明：E、F、G、H四点共面；（2）用向量证明：BD/面EFGH；（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O有解析：证明：（1）连结BG则由共面向量定理推论知：E、F、G、H四点共面。（2）EH/BD又面EFGH，BD面EFGH。BD/面EFGH。（3）连OM、OA、OB、OC、OD、OE、OG。由（2）知同理EG、FH交于一点M且被M平分点评：注意证明线面平行的向量方法。例3. 已知三个非零向量，且p，q，r不全为零，求证：、共面。解析：（1）若共面，设该平面为。考虑到，同理共面。（2）若不共面，则向量 所以p, q , r 不全为零，不妨设r0，则，于是、共面。点评：证明三向量共面的理论是共面向量定理，简记为其中一个向量可用其余两个向量线性表示出来，如（2），难点是发现例4. 正方体AC1的棱长为1，求平面ADB1的一个法向量。解析：建立如图所示坐标系。从而A(1，0，0)，B(0，0，0)，C(1，1，1)，D(1，1，0)那么设是平面ADB1的法向量，那么解得：x 0 , y z，不妨令z 1，得点评：给z赋不同的值，就可得到不同的法向量，一个平面的法向量不惟一，但这些法向量都共线。 1. 已知：a（2，4，x），b（2，y，2），若，且ab，则x+y（ ）A. 3或1B. 3或1C. 3D. 1 2. 正方体中，分别为上的点，且，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 3. 平行六面体中，则（ ）A. B. C. D. 4. 在下列各对向量中，互相垂直的一对为（ ）A. B. 与C. D. 5. 在下列各结论中，不正确的是（ ）A. 两非零向量垂直的充要条件为B. 若向量，则C. 已知是两非零向量，则D. 是的充要条件 6. 已知向量，若，设，则与x轴正方向夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 7. 两个非零向量平行的充要条件是（ ）A. B. C. 存在非零实数k，使D. 存在非零实数k，使 8. 已知（1，2，3），（3，0，1），（），给出下列等式：；其中正确的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 9. 已知a、b为两条不同直线，、为两个不同的平面，且a，b，则下列命题中假命题是（ ）A. 若/b，则/B. 若，则bC. 若a、b相交，则，相交D. 若、相交，则a，b也相交 10. 若x、y、z表示不同的直线或平面，命题“若xy，xz，则y/z”针对下面说法：x、y、z都表示平面。x、y、z都表示直线。x表示直线，y、z表示平面。x表示平面，y、z表示直线。其中正确命题的个数有（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 11. 已知a（2，1，3），b（4，2，x），且ab，则x_。 12. “直线l垂直于a内的无数条直线”是“la”的_。 13. 已知A（1，0，3），B（1，2，1），B（0，2，1），则平面ABC的一个单位法向量为_。 14. 已知点A（1，1，1），平面，且点A在平面内，则点M（x，y，z）在平面内的条件为_。 15. 已知：M、N分别为正方体的棱BB1和B1C1的中点。求：（1）MN与CD所成的角；（2）MN与AD所成的角。 16. 正三棱柱，所有棱长都为2，P为上一点。（1）求证：不可能与平面垂直；（2）当时求AP的长。 17. 已知P是正方形ABCD平面外一点，M、N分别是PA、BD上的点，且PM：MABN：ND5：8，求证：直线MN/平面PBC。 18. 已知：PA矩形ABCD，M、N分别为AB、PC中点。（1）求证：MN/平面PAD；（2）求证：MNCD；（3）若PDA45，求证MN平面PCD。参考答案 1. A2. A3. A4. C5. D 6. A7. D8. A9. D10. C 11. 12. 必要不充分条件 13. （0，） 14. 15. 解：（1）由正方体的性质可知：CD面BC1，CDMN。即CD与MN成90的角。（2）AD/BC，MN与BC所成的角即为AD与MN所成的角，显然为45 16. 证明：（1）取AC中点O，连BO，则BOAC，又BOAA1，BO面AC1，而点P在棱AA1上，故PB不可能与面AC1垂直