历年解析2005年高考数学全国卷命题述评.doc

ff7b4ff39820e3ac6ca24efdd9876cf9.pdf 雍安育才高级中学数学组 欧 宏 n 掌握NE5000E/80E/40E产品的体系结构n 掌握NE5000E/80E/40E的单板构成n 掌握NE5000E/80E/40E换板操作n 了解NE5000E/80E/40E升级操作2005年高考数学全国卷命题述评雍安育才高级中学数学组欧宏一、总体评价 2005年普通高等学校招生全国统一考试大纲(数学)(以下称考试大纲)中明确指出：数学科考试按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想。教育部考试中心命制的【全国卷I】、【全国卷】、【全国卷】三套试卷文、理六份试题，正是按照上述原则和指导思想命制的。试题注意了数学学科的特点，突出了知识的基础性和综合性，以主干知识为主体，注意在知识网络交汇点设计试题，着力体现概念性、思辨性、量化的灵活性、解法的多样性及应用的广泛性，在数学思想方法及数学理性思维方面作了比较深入的考查。试题“温和平缓”，既似曾相识，又推陈出新；既符合考生实际，又符合高考对选拔的要求，相比之下，【全国卷I】比全国卷】、【全国卷】两卷稍难，但没有使学生望而生畏的题目，新题不难，难题不怪，“纯净淡雅”，平易近人，既全面考查了基础知识，又突出了对重点内容的考查，既关注了考查数学的方法和技巧，又注重了对能力的考查和思维水平的提升。所有这些，对中学数学教学都具有很好的导向作用。二、试题特点1全面考查重点突出（见附件1，附件2） 2005年教育部考试中心命制的三套试卷文、理共六份试题，涉及了高中数学的各个章节内容。理科【全国卷 】1 第(6)、(16)、(22)题，【全国卷】第(3)、(9)、(17)、(22)题，【全国卷I】(8)、(9)、(13)、(22)等题，着重考查了函数与反函数的概念、函数的单调性、函数的最大值与最小值、函数的图象及其变换、导数的概念及其几何意义、不等式的性质与解法等重要知识。理科【全国卷】第(1)、(7)、(8)、(19)题，【全国卷】第(1)、(4)、(7)、(14)题，【全国卷I】第(7)、(11)、(17)题，文科【全国卷】第(1)、(7)、(8)、(17)题，【全国卷】第(1)、(4)、(12)、(17)题，【全国卷I】第(7)、(11)、(17)题，主要考查了三角函数及三角变换的基本知识；理科全国卷第(20)题，【全国卷】第(11)、(18)题，【全国卷I】(19)题，考查数列的通项与前n项和、等差数列和等比数列的性质。 每份试题中都有3、4道立体几何问题，涉及几何元素之间位置关系和数量关系、多面体的体积、球的表面积的计算。立体几何解答题的求解一般都能“一题两法”。既可以用传统的逻辑推理。又可以以空间向量为工具。显然，这对推进数学课程改革具有积极的导向作用。 六份试题共有24道解析几何题。着重考查直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线概念和性质以及参数之间的关系。有些试题还将线性规划和平面向量与解析几何知识有机结合，既体现了知识之间的交汇融合，又突出了对能力考查。 六份试题中共有8道概率与统计问题，每份试题都有一道大题，涉及相互独立事件同时发生的概念、互斥事件有一个发生的概率、随机变量的概率分布、数学期望等基础知识。理科【全国卷】(15)题还将概率与直线方程相结合。文科【全国卷】(13)题以全体考生熟悉的材料为背景考查统计中的分层抽样方法。所有这些，既是基础知识又是重点内容。对这类知识的考查，是符合“重点知识构成试题主体”这一考纲精神的。2贴近课本适度延伸 六份试题中有不少源于课本的题目。例如，【全国卷】理科第(1)题与课本(指全日制普通高级中学教科书。（下同)第一册(下)7习题41第5题基本一样，【全国卷】文、理第(3)题与课本第一册(上)第64页第2题类似；【全国卷】理第(9)题、文第(10)题与课本第一册(上)第22页第7题(1)基本相同，都是以求两个集合的交集为表现形式，实际考查一元二次不等式的解法；【全国卷】理第(13)题、文第(14)题与课本第二册(上)第82页第2(1)题，【全国卷】第(21)题与课本第三册(选修I)第44页例2都只是具体数字不同其余完全相同；【全国卷】文、理第(15)题是课本第二册(下)第116页第4题的简单变式；【全国卷I】文、理第(14)题与课本第二册(下)第115页第12题中的(2)除数字不同外没有本质区别；【全国卷】文科第(15)题与课本第三册(选修I)第38页习题23第3题所涉及的函数完全相同，课本题是求导数，而考题是求切线；【全国卷】文科第(6)题是课本第二册(上)第110页例l中的一部分；文科【全国卷】第(17)题是课本第一册(下)第37页例2的引申。 还有一些试题也都源于课本或是课本中例题、习题的组合、类比、引申和拓展。教材丰富的内涵是命制高考试题的不竭源泉，一定量源于课本的试题有利于遏制“题海战术”，有利于积极引导教师和学生回归课本，夯实基础，以不变应万变，同时也体现了考试的公平性。3强化数学思想，注重能力考查 考试大纲明确指出数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，他蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。对重要数学思想方法的考查是考查学生的必经之路。 六份试题突出了数学学科的特点，以数学知识为载体，以学科整体意义和思想价值立意，对数学思想和方法作了深入的考查。 (1)函数与方程的思想 函数是方程与不等式的“中介”，他们既有区别，又联系紧密，六份试题既通过客观试题考查函数与方程思想的基本应用，又利用解答题从深层次上对函数与方程思想进行了综合考查。例1、（【全国卷】）文、理（16）已知在ABC中，ACB=90，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是 。PABC图1分析：如图1，设点到，的距离分别为、，由平面几何的知识易得，其中、都是正实数，问题转化为在此条件下，求的最大值问题。下面有两条途径可供选择，一是应用基本不等式解之，二是利用二次函数性质求其最大值。思路一：由分析知，所以，即，所以，当且仅当，即，时，的最大值为。思路二：由分析知，所以，所以所以当且仅当，时，的最大值为。本题是以平面几何知识为载体的条件不等式问题，反映了不等式与函数的自然交汇，解答过程中体现了函数思想的灵活应用。例2（【全国卷】文、理9）已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为（ ）A B C D图2M分析：见图2，由向量数量积的性质知，即是是直角三角形，那么，点就是双曲线上确定的点，如果设点的坐标为，则点到轴的距离为，欲求应该建立关于的方程（组），根据已知，所以，并且。解这个方程组，就可以得到的值。本题的另一个思路：因为，所以是的斜边上的高，由等面积法，其中可以求得，问题集中到两条焦半径的积上，设， ，则，所以，所以 上述两种求解思路中，充分利用了方程的思想,这里,我们瞄准目标，利用双曲线的定义和勾股定理。快速、简捷地找到了各量间的关系，求解时既有“设而不求”,又有整体代换。体现了对方程思想的深层次考查。例3(【全国卷I】，文、理(17)题)设函数图像的一条对称轴是直线（）求；（）求函数的单调增区间；（）证明直线于函数的图像不相切。 分析：本题考查三角函数的性质及其图象的基本知识，突出考查函数与方程的思想、推理运算能力。其中第(1)问求，应该建立关于的方程，这显然有多条途径。思路1：由于正弦函数图象的对称轴为，故，所以，即，又，所以，于是，故。思路2：因为是的对称轴，所以，又，可得。思路3：因为的周期为，又是其对称轴，所以，即，又，可得。思路4：（从函数图象的对称性出发：，的图象关于直线对称）因为是的对称轴，所以，即，又，可得。理科第（）问实际上是证明函数的导函数值不等于，由（）知，所以。根据余弦函数的值域得，又直线的斜率等于，由导数的几何意义知直线与函数不相切。 关于(I)的以上四种思路，虽然入手角度不同，解题的难易程度和思维层次也各不相同，但却都毫无例外地应用了方程思想。而第()问涉及的曲线不是常规的二次曲线，利用导数的几何意义求解显得十分自然,构造导函数，根据导函数的值域判断直线5x-2y+c=0与函数的图象不相切，体现了函数思想的巧妙运用。导数作为高中数学新增内容，为研究函数的性态提供了一般方法，其几何意义又为研究曲线的切线问题开辟了新的途径。 此外，【全国卷】文、理第(10)、(14)、文(21)题、理(17)题，【全国卷】理(21)、文(22)题，【全国卷I】文(1)，(4)题，文、理(6)，(14)题，及各试卷中的数列问题、导数问题和解析几何问题也都涉及了函数与方程的思想方法。有些试题从表现形式上很难看出与函数有关，但在具体求解中离不开函数思想的运用，如【全国卷 】理(17)题考查概率的基本知识，但采用逆向设问方式，体现了对方程思想的考查；【全国卷】理(21)、文(22)题都是解析几何问题，在求四边形PMQN的面积的最值时，利用了函数的单调性，将函数与方程思想融人非函数问题中考查，这一命题思路进一步说明了函数在中学数学中地位的重要性。 (2)数形结合的思想 数学是研究数量关系与空间形式的科学,“数”与“形”及它们的联系与转化是数学研究的永恒主题，以坐标系为纽带使函数的解析式与函数图象、方程与曲线建立了一一对应的关系，从而对数量关系的研究可以转化为对图形性质的研究，反之也可以将对图形性质的研究转化为对数量关系的研究。在解题中从数、形两个方面对问题进行分析，既充分发挥形的直观性,又注重数的严谨性。这种解决数学问题过程中“数”与“形”相互转化、交互使用的策略，就是数形结合的思想。 各试卷的许多客观性试题，都富有鲜明的几何意义解题时若数形联想、以形助数，可迅速作出正确判断与选择,这里仅举一例以予说明。 例4(【全国卷】，理(8)题略) 本题是一道较新颖的考题。在从“数”和“形”两个方面给出了相关信息的条件下，求其中某一参数的值。首先由二次函数的一次项系数b0，所以a0,故a=1，这是由“形”到“数”的思维过程。显然，本题对数形结合思想的考查既深入又灵活，是一道考查到位的好题。 (3)分类与整合的思想 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种不同情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类与整合的思想。分类与整合既是一种逻辑方法，又是一种重要的数学思想，高考对分类与整合思想考查的一个重要目的是检测学生的理性思维。 【全国卷】理(17)题考查指数函数的性质和绝对值不等式的解法，当根据指数函数的单调性将不等式转化为绝对值不等式 后，最基本的想法就是分类求解，再整合作答；【全国卷I】理(19)题不仅要在q=1和q1的不同情况下，求q的取值范围，而且，的大小也依赖q的取值，对分类与整合的考查达到了较高的层次。 (4)转化与化归的思想 许多问题的解答都离不开转化与化归思想，解题过程实际上是一个不断转化的过程。【全国卷I】文、理第(5)题是一个不规则多面体的体积问题，显然应该利用割补法将其转化为规则多面体(如图3)再求解。【全国卷】理(17)、文(18)题考查相互独立事件同时发生或对立事件有一个发生的概率的计算，对于()，求“计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率”，如果正面考虑，有三类七种情况，复杂程度可想而知，正难则反，将问题转化为求该事件的对立事件的概率。复杂程度大大降低，既体现了转化思想的优越性，又体现出“算”中考“想”的命题思想。(5)特殊与一般思想 由特殊到一般再由一般到特殊是人们认识客观世界的基本过程之一，由于特殊与一般思想的运用水平，能反映出考生的数学素养和一般能力，所以考查特殊与一般的思想在高考中占有重要的位置。【全国卷】文、理(12)题，以计算机中常用的十六进制与常规的十进制对应数表为背景，从一个具体的运算结果出发，要求考生以此抽象出一般规律：将十六进制的计算转化为十进制的相应运算，用所得结果除于16，即转化为十六进制的数。这里特殊为一般提供了规律：“前商后余”，使问题得以解决。本题是一道阅读理解、信息加工题，考查了学生的学习潜能和创新意识。【全国卷】1理(7)是三角形中的条件等式问题，若按常规方法，则推演较繁，且易出错，但若将问题特殊化，取A=60。，B=30。，则既满足已知条件，又能排除(B)、(C)、(D)。 (6)有限与无限思想 客观世界是有限与无限的统一体，我们既可以通过有限来把握无限，也可以借助无限来确定有限，即“从与对立面的统一中去把握对立面”，数学归纳法、数列极限、函数极限等都是由有限把握无限的极好例证，随着高中数学课程改革的逐步深入，对有限与无限思想的考查力度会不断加大。这是高考命题的一个新趋势。 【全国卷】文、理(4)题考查了不规则几何体的体积，由于P，Q都是动点，直接求解不易把握，但若取其极限状态：让点P与点A重合，则点Q与点C1，重合，此时，四棱锥B-APQC变为三棱锥C1-ABC，显然它的体积是选(C)。解题过程干净、漂亮!他的计算量竟如此之小，仅用简单的口算即可完成。然而，极限思想却发挥得淋漓尽致。 【全国卷】理(5)考查函数极限问题，但是当x趋近于1时，函数中的两个分式都趋向于无穷大，无法得到该函数的极限值，改变思维方向，从整体入手，先化简函数式，约去分子、分母中的“零因子”，即得所求的极限值。这是无限向有限的转化，是无限与有限思想的体现。 另外，【全国卷】理(18)涉及到数列前n项和的极限问题，【全国卷I】理(22)首先利用导数证明了一个在n=l时成立的命题，再由数学归纳法原理证明n是任意正整数时命题也成立，都实现了由有限向无限的飞跃。 (7)或然与必然思想 面对随机现象的不确定性(或然性)，人们更想掌握其中的规律性(必然性)，近年来，高考突出了对概率内容的考查，是符合实际需要的。 六份试题中【全国卷】理(15)、(17)、文(13)、(18)题，【全国卷】理(19)、文(18)题，【全国卷I】文、理(20)题都涉及了概率及概率与统计知识：体现了对或然与必然思想的考查，使学生亲历了于“或然”中抓住“必然”的实践。限于篇幅，这里就不一一分析了。4重视知识交汇，突出理性思维 六份试题紧扣大纲，在全面考查基础知识的同时，对支撑学科体系的重点内容作了重点考查，注重了知识的“交汇点”，如涉及函数、导数、数列、方程与不等式。三角函数与三角变换，平面向量、函数图象与方程的曲线。空间图形与平面图形，简单计数、概率与统计等重要板块知识的试题在试卷中占有较高比例。这些试题概念性强、充满思辩性、量化突出，“多考一点想，少考一点算”。以此考查学生的理性思维能力。 例如【全国卷】（文、理科第6题 ）若，则（ ）Aabc Bcba Ccab Dbac如果设，那么，是该函数的三个函数值，利用导数可得到在区间，上是增函数，而在，上是减函数，而，不在同一个单调区间内，并且又都不是极大值点不能同时比较（思维受阻！），及时调整思维，由，得，又易算出，所以从而结合选择项作出正确选择，此题虽小，但内涵隽永。将导数、函数性质、不等式等知识交汇一体，对考生估算、猜想以及综合运用知识解决问题的能力作了较为深入的考查，体现了较高的理性思维价值。5凸现课改理念，倡导素质教育随着新课程改革的实施和不断深入，数学教学应进一步倡导学生的主体参与性，关注学生创新意识、实践能力的培养和综合素质的提高。研究性学习是新课程理念下的重要学习方式，因而备受命题专家的关注。如【全国卷I】文(22)、理(21)题运用向量的情景和语言，研究了斜率为1的直线与椭圆在特定位置关系下的椭圆的离心率及定值问题。本题有更一般的情形，发展空间大，它为研究性学习提供了良好的素材，这对于培养学生的创新意识和实践能力，提高学生的综合素质是十分有益的。三、对中学数学教学的启示1全面落实双基，着力突出重点 数学基础知识、基本技能是解决数学问题的基础，数学重点内容是数学知识的主体，一些学生学习成绩(包括考试成绩)不理想，尽管原因是多方面的。但“双基”未落实、重点知识未掌握无疑是主要原因。因此，在高中数学教学中，我们应当尽可能地从学生熟知的实际出发，揭示知识、技能和基本方法的形成、应用和发展的过程，努力使学生通过自身的情感体验尽快将新知识纳入自己已有的认知系统，并着力引导学生做好重点知识的梳理和总结。2提炼数学思想，发展理性思维 数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的催化剂。因此，在高中数学教学中，我们应当有意识地引导学生挖掘和提炼数学知识本身所蕴涵着的丰富的数学思想和方法，并能恰当地运用它们解决问题，使学生逐步学会用函数与方程思想建立知识与知识之间的相互联系，用数形结合思想体现数与形之间的相互映证。用分类与整合的思想落实局部与局部之间的相互融合。用化归思想完成问题与问题之间的相互转化。用特殊与一般的思想发展具体与抽象的辩证思维。用有限与无限的思想实现量变向质变的伟大跨越，用或然与必然的思想揭示随机现象内部所蕴涵的规律。与此同时，逐步培养学生逻辑推理、演绎证明、运算求解、直觉猜想、归纳抽象等思维方式，发展学生的理性思维能力。3增强应用意识，重视能力培养 这里所说的能力，考试大纲中指出他包括思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识。在全面落实“双基”的同时，我们应当善于引导学生在知识的探索和问题的求解中逐步培养自己的能力。例如，关于思维能力(能力的核心)的培养。我们可以通过一题多解或多题一解培养思维的灵活性和发散性：通过命题的推广或一题多变培养思维的深刻性和广阔性：通过探究发现或特值检测培养思维的敏捷性和严密性：通过公式鉴赏或错例辨析培养思维的科学性和批判性。又如对实践能力的培养，我们应当重视数学与社会生产实践的联系，引导和鼓励学生关注身边的数学问题以及社会热点问题，支持学生用数学的眼光观察和分析问题，筛选和提取有用的信息和数据，研究它们的数量关系，将实际问题数学化，并用数学知识加以解决，以此培养学生的数学应用意识和实践能力。对于运算能力，重点应放在培养学生怎样恰当选择法则、公式进行式子变形和数据处理，怎样寻找和设计合理、简捷的运算途径。应使学生不但会精确计算，而且还会估算和近似计算。对于空间想象能力。主要培养学生识图、画图和对图形的想象能力，通过有图想图和无图想图，即心中有个图，以此实现文字语言、符号语言和图形语言的相互转译。此外，我们应当有意识地培养学生的自主学习能力和创新意识，使学生敢于用学过的知识试着解决从未见过的新问题，或用即刻学到的知识解决从未见过的新问题。4改革教学方式，倡导返璞归真 目前高中数学课堂教学的主要方式仍是以教师讲授为主，高三更是如此，这种方式，无法揭示数学的本质，阻碍了学生思维的发展，不利于学生能力的提高。因此，我们应当努力营造民主、开放的课堂教学氛围，引导学生自主探索，合作交流，遵循数学的学科规律，返璞归真，着意在知识的产生和发展上作研究，在知识的深刻理解、全面掌握上下功夫。不要把数学教学变为解题教学和题型训练，注意知识的纵向发展和横向联系，理清脉络，完善体系，努力使所学知识整体化、系统化、网络化。5钻研大纲教材，发挥课本功能 教学大纲和考试大纲是实施课堂教学、规范考试的纲领性、权威性文件，必须遵照执行，而课本一般说来是最科学、最规范的教学蓝本。因此，无论是新课还是复习课，都应遵照大纲要求，紧扣教材内容。既要使学生掌握课本的知识内容，又要使学生掌握解决课本例题、习题过程中所用的方法和技巧，有效发挥课本的功能，无疑，那种扔掉教材另搞一套的做法是不可取的，即便是高三，也是如此。上文提及的六份试题中众多试题源于课本就是一个很好的诠释。6遵循教学规律，科学安排进度 在中学数学教学中，“三年课程两年完，留下一年搞复习”是普遍现象。这种肆意加快教学进度的做法是欠科学的，是有违教