例析三个二次的关系

三个二次例析三个“二次”的关系 055350 河北隆尧一中 焦景会一元二次方程，一元二次函数，一元二次不等式，是中学数学的重要内容，它们常被称为三个“二次”，高考中出现的三个“二次”的相关联问题，以及运用三个“二次”的相关性解决其它问题，较为复杂，有一定难度，为此举例分析如下：基础知识点：1、二次函数的三种表示形式（1）一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0)；（2）顶点式：若二次函数顶点坐标为(k, h)，则f(x)=a(xk)2+h(a0)；（3）双根式：若二次函数图象与x轴交点坐标为(x1, 0), (x2, 0)，则f(x)=a(xx1)( xx2) (a0)。2、二次函数的性质设f(x)=ax2+bx+c(a0)，则定义式为R，值域为，对称轴为，在是减函数，在是增函数，当b=0时，f(x)是偶函数，当b0时，f(x)是非奇非偶函数，特别的，当a0时，f(x)在p, q上有最大值M，最小值m，设x0=(p+q)，则（1）若p，则f(p)=m, f(q)=M ；（2）若q，则f(q)=m, f(p)=M； （3）若px0，则f()=m，f(q)=M；（4）若x0q，则f()=m，f(p)=M。3、二次方程f(x)=0的实根分布一般情况下，需从三个方面考虑：判别式；区间端点函数值的正负；对称轴x=与区间端点的关系。设x1、x2是实系数二次方程ax2+bx+c=0(a0)两实根，则x1、x2的分布范围与二次方程系数之间的关系如下：（1） ； (2) ；(3) (4) ；(5) 有且仅有一个在内或或。3、二次不等式的转化策略（1）f(x)0的解集为且（2）当时，（点与对称轴越近，则函数值越小）；当时，（点与对称轴越近，则函数值越小）。（3）在上恒成立或或；（4）恒成立或。典型问题分析：例1：（2007广东）已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x3a ，如果函数y=f(x)在区间1，1上有零点，求a的取值范围。解：若，则在区间上没有零点。下面就分三种情形讨论：（1） 方程在区间上有重根，此时，解得 。当时，的重根。当时，的重根。故当方程在区间上有重根时。（2） 在区间只有一个零点且不是重根，此时有。，当时，方程在区间上有两个异根，故。（3） 方程在区间上有两个异根，因为 ， 对称轴为，应满足（I），（II），解不等式组（I）得，解不等式组（II）得，故方程在区间上有两个异根时。综上a的取值范围。例2：设f(x)=x2ax+2，当x1，+)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围。解：法：由题意ax2ax2+2，在1，+内恒成立，而f(x)=x22ax+2=(xa)2+2a2在1，+上最小值为由af(x)min，知a3，1为所求。法：f(x)a 在1，+上恒成立的条件为（1）, （2）， 综上得。法：由f(x)a x2+2a(2x+1)，设y1=x2+2, y2=a(2x+1)，作函数y1与 y2在1，+图象。当y1与 y2相切及y2过点(1，3)时为极限位置，可得a3，1。点评：方法： 在1，