4.3.2空间两点间的距离公式

北大附校2019年春期高2017级数学三案合一教师版 第三讲 空间两点间的距离公式 第十周使用4.3.2 空间两点间的距离公式毕节市七星关区北大附属实验学校 武敏【教学目标】1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神.【核心素养】数学抽象，直观想象，数学运算，逻辑推理【教学重点】空间两点间的距离公式.【教学难点】一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.【课时安排】1课时.【教学过程】导入新课角和距离是几何中的基本度量.几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离.一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容. 知识链接数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值，即；平面直角坐标系中,两点之间的距离是.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？ 思考：1.已知矩形中，.求的值.(使用两种解法）2.已知长方体中，边，和长分别为1，2和3，求对角线的长.(类比思考1，本题能不能使用建系的方法来处理）探究1：设是空间中任意一点，它到原点的距离是多少？(从特殊的情况入手，化解难度.)师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成 生：在教师的指导下作答得出|OP| =师：如果|OP| 是定长r，那么x2 + y2 + z2 = r2表示什么图形？注意引导类比平面直角坐标系中，方程x2 + y2 = r2表示的图形中，方程x2 + y2 = r2表示图形，让学生有种回归感.生：猜想说出理由.（任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角系中，方程x2 + y2 = r2表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣.)探究2：如果是空间中任意一点P1 (x1，y1，z1)到点P2 (x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样呢？一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导.得出结论： |P1P2| =；人的认识是从特殊情况到一般情况的.例1、先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离： （1）A(2，3，5)，B(3，1，4)；（2） A(6，0，1)，B(3，5，7).解析（1），图略（2），图略例2、 在z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，3，1)的距离相等. 解：设点M的坐标是(0，0，z).依题意，得=.解得z = 3.所求点M的坐标是(0，0，3).【课后小结】（1） 空间两点间的距离公式是什么？（2） 空间中到定点的距离等于定长的点得轨迹是什么？（3） 如何利用坐标法来解决一些几何问题？第一步；建立坐标系，用坐标系表示有关的量第二步：进行有关代数运算第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系课后反思： 【练习案】(青鸟）1.证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的ABC是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明ABC是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得：|AB|=|BC|=,|CA|=.由于|BC|=|CA|=,所以ABC是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.2.已知A(,5-,2-1),B(1,+2,2-),则|AB|的最小值为( )A.0 B. C. D.活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.解析:|AB|=.当=时,|AB|的最小值为.故正确选项为B.3.已知三棱锥PABC(如图),PA平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB与轴所成的较小的角.解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC为y轴正方向,射线AP为z轴正方向,A为坐标原点建立空间直角坐标系O ,过点B作BEO,垂足为E,B(m,m,0),E(m,0,0).在RtAEB中,AEB=90,|AE|=m,|EB|=m,tanBAE=.BAE=30,即直线AB与x轴所成的较小的角为30.【练习案】(实验） 1.证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的ABC是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明ABC是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得：|AB|=|BC|=,|CA|=.由于|BC|=|CA|=,所以ABC是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.2.已知A(,5-,2-1),B(1,+2,2-),则|AB|的最小值为( )A.0 B. C. D.活动：