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龙贝格求积法的研究 龙贝格求积法的研究 桂波涛（咸阳师范学院数学与信息科学学院 信息与计算科学 陕西 咸阳） 摘 要：龙贝格求积公式算法的基本思想，龙贝格递推公式和龙贝格求积法的算法是本篇论文研究的最终目的与思想。龙贝格求积法主要是通过对梯形求积公式及复化梯形求积公式、Simpson求积公式及复化Simpson求积公式、Cotes求积公式及复化Cotes求积公式的研究与对比，分别从它们的公式、截断误差、算法的终止准则和Matlab程序四方面进行分析与对比得出来的，最后引出龙贝格求积公式。然后通过对梯形递推公式、Simpson递推公式和Cotes递推公式进行研究与推理，最后得到龙贝格递推公式。进一步阐述龙贝格求积公式的由来。因复化Cotes求积公式的线性组合可得到龙贝格求积公式，复化Simpson求积公式的线性组合就是复化Cotes求积公。而复化梯形求积公式的线性组合正是复化Simpson求积公式，进而简单化到研究最基本的复化梯形求积公式，进一步进行分析与推理，便可以得到龙贝格求积公式。The Research Of Romberg Integral MethodGui Bo-tao(College of Mathematics and Information Science，Xianyang Normal University)Abstract：The Romberg quadrature formula algorithms basic philosophy, the Romberg recurrence formula and the algorithm of the Romberg quadrature method are research on the ultimate goal of this paper and thinking. The trapezoidal quadrature formula and compound of trapezoidal quadrature formula, Simpson quadrature formula and compound of Simpson quadrature formula, Cotes quadrature formula and compound of Cotes quadrature formula , from their formula, truncation error, the algorithm termination criteria and Matlab procedures in four areas for analysis and comparison, Finally leads to the Romberg quadrature formula. And then through to research and reasoning of trapezoidal recurrence formula , Simpson recurrence formula and Cotes recurrence formula, the last can get The Romberg quadrature formula. This paper further elaborate the origin of quadrature formula. Compound of Cotes quadrature formula can be a linear combination of Romberg quadrature formula, compound of Cotes quadrature formula is the complex linear combination of compound of the Simpson quadrature pound of the Simpson quadrature formula is complex linear combination of compound of trapezoidal quadrature formula, To simplify the study of the most basic compound of trapezoidal quadrature formula, and carry out further analysis and reasoning, they would get the Romberg quadrature formula.关键词：复化梯形求积公式；复化Simpson求积公式；复化Cotes求积公式；龙贝格求积公式Keywords ：the compound trapezoid quartered formula；the compound Simpson quartered formula；the compound Cotes quartered formula；the Romberg quartered formula 引言假设f(x)为定义在有限区间上的可积函数，我们要计算定积分如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么可以直接利用公式 来计算它.但是，在实际问题中，这样做往往有困难。有些被积函数f(x)的原函数不能用初等函数表示成有限的形式，例如，等等；有些被积函数，尽管它们的原函数可以用初等函数表示成有限的形式，但是表达式却很复杂，对于这些问题，使用这个公式来计算定积分是不方便的.甚至有些被积函数f(x)没有具体的解析表达式，仅知道f(x)在某些离散点处的值，这就无法应用这个公式了.因此，有必要研究计算定积分的数值方法.本文先介绍基本的求积公式，如梯形求积公式、Simpson求积公式、Cotes求积公式，然后给出相应的复化公式，最后再由它们进一步引出龙贝格求积公式，通过对它们的误差及算法程序进行分析，进一步指出龙贝格求积公式的优越性。1 梯形求积公式1.1 梯形求积公式所谓梯形求积公式就是用梯形面积来近似曲边梯形面积，如图2.1所示，y=f(x)y=L1(x)abOyx因此有 （1.1）或写成 （1.2）式中，。称式（1.1）或（1.2）为梯形求积公式。定理1.1 若函数在上有连续的二阶导数，则梯形公式的截断误差为 （1.3）例 1 用梯形公式计算积分 并估计误差。解 记a = 0,b = 1,f(x) = ，则 因此，利用梯形公式计算得 由 得截断误差估计为 1.2 梯形递推公式由梯形求积公式 得到梯形值递推公式 式中， ，1.3 复化梯形公式1.3.1 复化梯形公式将区间等分，子区间的长为称为步长，此时分点在每个子区间上使用梯形求积公式，如图2.2所示。y=f(x)yxOx0x1x2x3x4由此可得 （1.4）称为复化梯形值，称式（1.4）为复化梯形公式。定理1.2 若函数在上有连续的二阶导数，则复化梯形公式截断误差为由定理2.2，可以得到复化梯形公式的绝对误差限为 （1.5）1.3.2 算法的终止准则由复化梯形公式的截断误差有 若变化不大，即，则 因此 （1）式（1）表明，用作为定积分的近似值，其误差大致为，因此终止准则为 式中是预先给定的精度。1.3.3 复化梯形公式的Matlab程序利用复化梯形公式，在Matlab中编写计算积分的程序为：function t = ftrapz(a,b,n)h = (b-a)/n;t = h*(f(a)+f(b)/2;for i = 1:(n-1)t = t+h*f(a+h*i);endI = t 例 2 利用复化梯形公式计算积分,将区间1000等分。 解 首先编写函数程序：function f = f(x)f = exp(sin(x);在Matlab中输入命令：ftrapz(0,1,1000)则输出结果为：I = 1.63192 Simpson求积公式2.1 Simpson求积公式 将区间二等分，用3个插值节点构造抛物线，并以此抛物线为顶的曲边梯形面积近似以曲线为顶的曲边梯形面积。如图3.1所示。y=f(x)abOyxy=L2(x)经推导得到 （2.1）或 （2.2）其中，称式（2.1）或（2.2）为求积公式。可以证明：若函数在上有连续的4阶导数，Simpson公式的截断误差为 （2.3）例 3 用Simpson公式计算积分 并估计误差。解 记a = 0,b = 1,f(x) = ，则 因此，利用Simpson公式计算得 由 得截断误差估计为：2.2 Simpson递推公式由上式（1）可以看出，用和的线性组合可以得到一个比和都好的近似公式，因此用作为的近似计算公式，通过验算，可以得到 即复化Simpson公式。从前面的推导知道，复化Simpson公式要优于复化梯形公式。2.3复化Simpson公式2.3.1 复化Simpson公式将区间等分，自区间的长度为，在每个子区间上采用Simpson公式，在用Simpson公式时，还需要将子区间再二等分，因此有个分点，即，经推导得到 （2.4）称为复化Simpson值，称（2.4）为复化Simpson公式。定理2.1 若函数在上有连续的四阶导数，则复化Simpson公式截断误差为其误差限为 （2.5）2.3.2 算法的终止准则由复化Simpson公式的截断误差有 若变化不大，即，则 因此得到 （2）式（2）表明，用作为定积分的近似值，其误差大致为，因此终止准则为 式中是预先给定的精度。2.3.3 复化Simpson公式的Matlab程序利用复化Simpson公式，在Matlab中编写计算积分的程序为：function fsimpson(a,b,n)h = (b-a)/n;t = h*(f(a)+f(b)/6;for i = 0:(n-1)t = t+h*(4*f(a+(i+1/2)*h)+2*f(a+i*h)/6;endI = t 例 4 利用复化Simpson公式计算积分,将区间1000等分。解 在Matlab中输入命令：fsimpson(0,1,1000)则输出结果为：I = 1.63223 Cotes求积公式3.1 Cotes求积公式 将区间四等分， 用5个插值节点构造的4次Lagrange插值函数近似，经推导得到 （3.1）或写成 （3.2）式中， 称式（3.1）或式（3.2）为Cotes求积公式。可以证明：若函数在区间上有连续的6阶导数，则Cotes求积公式的截断误差为 =3.2 Cotes递推公式由上式（2）可以看出，用和的线性组合可以得到一个比和都好的近似公式，因此用作为的近似计算公式，通过验算，可以得到 即复化Cotes公式。从前面的推导知道，复化Cotes公式要优于复化Simpson公式。3.3 复化Cotes公式3.3.1 复化Cotes公式类似于复化梯形公式和复化Simpson公式的推导过程，可以得到复化Cotes公式，即 （3.3）式中，。称为复化Cotes值，称式（3.3）为复化Cotes公式。定理3.1 若函数在区间上有连续的6阶导数，则复化Cotes公式的截断误差为其误差限为 （3.4）3.3.2 算法的终止准则由复化Simpson公式的截断误差有 若变化不大，即，则 因此得到 （2）式（2）表明，用作为定积分的近似值，其误差大致为，因此终止准则为 式中是预先给定的精度。3.3.3复化Cotes公式的Matlab程序利用复化Cotes公式，在Matlab中编写计算积分的程序为：function fcotes(a,b,n)h = (b-a)/n;t = 7*h*(f(a)+f(b)/90;for k = 0:(n-1)t1 = 32*f(a+(k+1/4)*h);t2 = 12*f(a+(k+1/2)*h);t3 = 32*f(a+(k+3/4)*h);t4 = 14*f(a+k*h);t = t+h*(t1+t2+t3+t4)/90;endI = t 例 5 利用复化Cotes公式计算积分,将区间1000等分。解 在Matlab中输入命令：fcotes (0,1,1000)则输出结果为：I = 1.63204 Romberg求积公式4.1 算法的基本思想复化梯形公式的线性组合 （4.1）可得到复化Simpson公式，而复化Simpson公式通常优于复化梯形公式；进一步计算，复化Simpson公式的线性组合 （4.2）是复化Cotes公式，而复化Cotes公式一般优于Simpson公式。将复化Cotes公式作线性组合 （4.3）称为Romberg公式。可以猜想，Romberg公式应优于复化Cotes公式。按照这种方法做下去，将预期得到收敛很好的计算公式，这就是Romberg求积公式的基本思想。4.2 递推公式令为将区间等分的梯形值；为将区间等分的Simpson值；为将区间等分的Cotes值；为将区间等分的Romberg值。有如下递推关系： （4.4） （4.5） （4.6）由递推公式（4.4）（4.6），可以得到Romberg求积法。4.3 算法与程序（Romberg求积法）4.3.1 算法4.1（1）置，精度要求，（2）计算=（3）置=，并计算（4）置， ，（5）计算（6） 若，转(7)；否则，置，转（5）（7） 若，则停止计算（输出），否则转（3）按照算法4.1编写程序（函数名：）.function I=R_quad_iter(fun,a,b,ep)% 求积公式，其中，% 为被积函数；% ,为积分区间的端点，要求；% 为精度要求，缺省值为.if nargin1 T(m+1,k+1)=(4k*T(m+1,k)-T(m,k)/(4k-1); M=M/2; k=k+1; end if abs(T(k,k)-T(k-1,k-1)ep break; end m=m+1; end I=T(k,k);例 6 用Romberg方法计算积分的近似值，要求误差不超过解 根据递推关系中的公式计算，得 因为 所以 由此对比可以看出，Romberg算法优于复化梯形方法，复化Simpsom方法和复化Cotes方法。结论本篇论文主要讨论数值积分的各种求积计算方法：例如梯形求积公式，Simpson公式,Cotes公式以及它们相应的复化求积公式和龙贝格求积公式。通常只用n1,2,4的梯形公式、Simpson公式和Cotes公式，若精度不够可采用等分区间得到其复化求积公式，尤以复化梯形公式和复化Simpson公式最常用，特别是本文所讨论的重点-龙贝格求积公式，它是由梯形公式出发加速得到的，且计算程序简单，是在计算机上数值求积的有效算法。本篇论文的主要问题是，前面介绍的复化梯形公式，复化公式，复化公式对提高精度是非常有效的，再利用上述公式时，步长都是固定的，因此称为定步长的复化求积公式。在使用上述方法之前，需要首先确定一个合适的步长，但是步长取的太大，精度难以保证，而如果步长取的太小，则会加大计算量。而事先给出一个合适的步长往往存在很大困难。故数值求积方法还有变步长求积公式如高斯公式，有待进一步研究。谢 辞论文得以完成，要感谢的人实在太多了，首先要感谢导师田卫军，因为论文是在 田老师的悉心指导下完成的。田老师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。本论文从选题到完成，每一步都是在的田老师指导下完成的，倾注了 田老师大量的心血。田老师指引我论文写作的方向和架构，并对本论文初稿进行逐字批阅，指正出其中误谬之处，使我有了思考的方向，他的循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪，他的严谨细致、