高中数学 第2章 5离散型随机变量的均值与方差课件 北师大版选修23.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 3 概率 第二章 5离散型随机变量的均值与方差 第二章 1 理解离散型随机变量的均值的含义 2 理解离散型随机变量的方差的含义 3 利用离散型随机变量的均值和方差解决实际问题 本节重点 离散型随机变量的均值与方差 本节难点 准确确定随机变量的分布列 求均值与方差 x1p1 x2p2 xnpn 平均水平 e x ex 2 标准差 偏离于均值的平均程度 相同的单位 ae x b np a2d x np 1 p 1 随机变量均值的注意点 1 均值 期望 是随机变量的一个重要特征数 它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平 2 随机变量的均值与样本的平均值既有联系又有区别 随机变量的均值是一个常数 而样本的平均值是一个随机变量 它是变化的 它依赖于所抽取的样本 但随着样本容量的增加 样本的平均值越来越接近于总体均值 3 随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位 2 随机变量函数的均值如果y ax b 其中a b是常数 x是随机变量 那么y也是随机变量 既然y是x的线性函数 我们不由地会引发思考 y的均值与x的均值有没有联系呢 如果有 有什么联系 现在 我们来探讨这个问题 p y ax b p x xi i 1 2 3 n y与x的概率分布列为 于是e y ax1 b p1 ax2 b p2 axn b pn a x1p1 x2p2 xnpn b p1 p2 pn ae x b 即e ax b ae x b 因此 我们得到随机变量函数的均值的一个应用很广泛的性质 随机变量x的线性函数的均值等于这个随机变量均值ex的同一线性函数 即当a b为常数时 随机变量函数y ax b的均值e ax b ae x b 特别地 当a 0时 e b b 即常数的均值就是这个常数本身 当a 1时 e x b e x b 即随机变量x与常数之和的均值等于x的均值与这个常数的和 当b 0时 e ax ae x 即常数与随机变量x乘积的均值等于这个常数与x的均值的乘积 3 方差是随机变量另一个重要的数字特征 它表现了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散的程度 二者间的关系十分密切 4 随机变量函数的方差对于随机变量函数y ax b a b是常数 而言 e y ae x b 那么y的方差又如何呢 我们来作进一步的探究 d ax b ax1 b ae x b 2p1 ax2 b ae x b 2p2 axn b ae x b 2pn a2 x1 e x 2p1 x2 e x 2p2 xn e x 2pn a2d x 由此 我们得到随机变量函数的方差的一个重要性质 当a b为常数时 随机变量函数y ax b的方差d ax b a2d x 特别地 当a 0时 d b 0 即常数的方差等于0 当a 1时 d x b d x 即随机变量x与常数之和的方差等于这个随机变量x的方差的本身 当b 0时 d ax a2d x 即常数与随机变量x乘积的方差等于这个常数的平方与这个随机变量x的方差的乘积 5 求离散型随机变量的均值和方差主要有三种方法 方法一 用定义直接求出 方法二 利用常见离散型随机变量的数字特征公式求之 常见类型有 1 单点分布 e x c c为常数 d x 0 2 两点分布 e x p d x p 1 p 3 二项公式 e x np d x np 1 p 方法三 随机变量分解法 将随机变量x分解成若干个随机变量xi之和 把求e x 转化为求e xi e x e x1 x2 xn e x1 e x2 e xn 若e xi 易于求出 则e x 的计算就非常简便 这种处理方法称为随机变量分解法 答案 d 解析 设 处为x 处为y 则由分布列的性质得2x y 1 均值e 1 p 1 2 p 2 3 p 3 4x 2y 2 求离散型随机变量的均值 1 写出 的分布列 2 求均值e 超几何分布的均值和方差 设在12个同类型的零件中有2个次品 抽取3次进行检验 每次抽取一个 并且取出不再放回 若以x和y分别表示取出次品和正品的个数 1 求x的分布列 均值及方差 2 求y的分布列 均值及方差 分析 本题考查离散型随机变量的均值与方差 x的取值应是0 1 2 第 2 问求y分布列及均值 可充分利用x与y的关系y x 3来解 同时注意本题的抽取是 不放回抽取 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者 若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数 则均值e 结果用最简分数表示 分析 可以将 从7名学生中选出2名志愿者 看作 从7件产品中抽取2件产品 将 选出的志愿者中女生的人数 看作 任取2件产品中的次品数 则随机变量 服从超几何分布 二项分布的均值与方差 2014 辽宁理 18 一家面包房根据以往某种面包的销售记录 绘制了日销售量的频率分布直方图 如图所示 均值与方差的应用 2014 福建理 18 为回馈顾客 某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励 规定 每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球 球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额 1 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元 其余3个均为10元 求 顾客所获的奖励额为60元的概率 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望 2 商场对奖励总额的预算是600