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例析不等式证明中常用的几种代换http:/www.DearEDU.com裴华明 对于某些不等式的证明,如果能恰当的引入有关的变量代换,则常会使一些陌生的问题熟悉化,复杂的问题简单化。下面通过实例来介绍几种常见的代换方法,仅供参考。一. 常值代换 将不等式中的某些特殊的已知数值用字母代换,可使问题得到巧妙的解决。 例1. 试证 证明:设, 则 因为 所以 则 即 所以,故原不等式成立。二. 三角代换 给出的条件中如果是,可设,;如果是,可设,;如果是,可设;如果是,可设等。 例2. 已知,求证 证明:设,则 例3. 已知,求证 证明:设,则 三. 平均值代换 若,可作代换;若,可作代换,其中,或, 例4. 已知,求证 证明:设,其中,则 因为 所以(当且仅当时,等号成立)四. 增量代换 两个量(或两个以上)a、b不相等,如,则可作代换(,称为增量),即把a表示为b加上一个正数的形式,这样可使不等化为相等,使问题得以简化。 例5. 已知,求证 证明:依题意,设(),则 故原不等式成立。五. 整体代换 对于不等式中较为复杂的式子,有时可用一个字母来表示,可使不等式的形式得以简化,便于观察,寻找思路。 例6. 在中,、所对的边分别为a、b、c,求证: 证明:设 三式相加,有,则原不等式化为 而 所以原不等式成立。六. 部分代换 在不等式证明过程中,为了简化书写过程,可将其中某些式子进行代换。 例7. 已知,求证: 证明:原不等式可转化为 设 则上式可化为 而(当且仅当时取等号),故原不等式成立。七. 轮换代换 如果不等式是关于几个字母的轮换形式,所作代换常成轮换代换。 例8. 已知,且,求证: 证明:由题意可作代换,设,则原不等式可化 即 而,(当且仅当时取等号),将以上三式相乘即可。 故原不等式成立。八. 放缩代换 有些不等式在证明时,须根据要求“去掉或增加一些项(或数)”,使不等式各项和变小(大
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